專題11 旋轉(zhuǎn)（解析版）

數(shù)學(xué)八年級(jí)下暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題十一旋轉(zhuǎn)（解析版）【專題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)】......................................1【考點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)的作圖】............................................12【考點(diǎn)三坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問(wèn)題】....................................18【聚焦考點(diǎn)1】旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某一方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫旋轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)動(dòng)的方向稱為旋轉(zhuǎn)方向.要點(diǎn)詮釋：旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.注意：①旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)；②圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角決定；③將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一角度，意味著圖形上每一點(diǎn)同時(shí)按相同的方向旋轉(zhuǎn)了相同的角度.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連的線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等_.即旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小.(4)對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；要點(diǎn)詮釋：圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).【典例剖析1】【典例1-1】怎樣將圖中的甲圖案變成乙圖案．【分析】平移前后對(duì)應(yīng)線段是平行的，故本題既需要旋轉(zhuǎn)，又需要平移兩種圖形變換．【解答】解：步驟：（1）將圖甲繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使樹(shù)干與地面垂直．（2）接著將圖（1）向右平移至與圖乙重合即可．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和平移變化，學(xué)生要明確，僅靠一種變換不能達(dá)到目的．【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE，連接BE，DE．（1）用等式表示線段BE，BM，MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC可得∠BAE＝∠CAD，然后SAS證△ABE≌△ACD即可；（2）作EH⊥AB交BC于H，可證△BEF≌△BHF得BE＝BH，再證MH＝MD，再借助MN∥HF，由平行線分線段成比例即可證出．【解答】解：（1）BE+MD＝BM，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，∴BE+MD＝BM；（2）EN＝DN．理由如下：如圖，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F，由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABC，∴∠ABE＝∠ABD，在△BEF和△BHF中，，∴△BEF≌△BHF（ASA），∴BE＝BH，由（1）知：BE+MD＝BM，∴MH＝MD，∵M(jìn)N∥HF，∴，∴EN＝DN．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的對(duì)稱性等知識(shí)，作EH⊥AB構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【典例1-3】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D剛好落在AC邊上，連接EC．（1）若∠BAC＝50°，求∠BCE的度數(shù)；（2）若AB＝3，BC＝4，求四邊形ABCE的面積．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BCA＝40°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAE＝∠BAC＝50°，AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得∠ACE的度數(shù)，進(jìn)而可得∠BCE的度數(shù)；（2）根據(jù)勾股定理得到AC＝5，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE＝BC＝4，根據(jù)三角形的面積公式可得△ABC和△ACE的面積，進(jìn)一步可得四邊形ABCE的面積．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝50°，∴∠BCA＝40°，∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝40°+65°＝105°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝5，S△ABC＝×3×4＝6，由旋轉(zhuǎn)可得DE＝AC＝5，∠ADE＝∠B＝90°，∴S△ACE＝×5×4＝10，∴S四邊形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝6+10＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1【變式1-1】如圖，點(diǎn)O為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，以O(shè)B為一邊作∠OBM＝60°，且BO＝BM，連接CM、OM．（1）判斷AO與CM的大小關(guān)系并證明．（2）若OA＝，OC＝，OB＝，判斷△OMC的形狀并證明．【分析】（1）根據(jù)已知可得△OBM是等邊三角形，得出OM＝OB，∠ABC＝∠OBM，由SAS證明△AOB≌△CMB，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）AO＝CM；證明如下：∵∠OBM＝60°，OB＝BM，∴△OBM是等邊三角形，∴OM＝OB，∠ABC＝∠OBM＝60°∴∠ABO＝∠CBM，在△AOB和△CMB中，，∴△AOB≌△CMB（SAS），∴OA＝MC；（2）△OMC是直角三角形；證明如下：∵△AOB≌△CMB，∴CM＝OA＝，∵△OBM是等邊三角形，∴OM＝OB＝，在△OMC中，OM2＝5，OC2+CM2＝（）2+（）2＝5，∴OM2＝OC2+CM2，∴△OMC是直角三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖（1）所示，魔術(shù)師把4張撲克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，請(qǐng)一位觀眾上臺(tái)，把某一張牌旋轉(zhuǎn)180°．魔術(shù)師解除蒙具后，看到4張撲克牌如圖（2）所示，他很快確定了哪一張牌被旋轉(zhuǎn)過(guò)．你能嗎？【分析】認(rèn)真觀察和思考發(fā)現(xiàn)，由于左邊這四張牌與右邊的牌完全相同．似乎沒(méi)有牌被動(dòng)過(guò)，所以旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形完全一樣，那么被動(dòng)過(guò)的這張牌上的圖案一定是中心對(duì)稱圖形．【解答】解：我能，方法如下：圖（1）與圖（2）中撲克牌完全一樣，說(shuō)明被旋轉(zhuǎn)過(guò)的牌是中心對(duì)稱圖形，而圖中只有方塊4是中心對(duì)稱圖形，故方塊4被旋轉(zhuǎn)過(guò)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，根據(jù)定義和撲克牌的花色特點(diǎn)可知，當(dāng)所有圖形都沒(méi)有變化的時(shí)候，旋轉(zhuǎn)的是成中心對(duì)稱圖形的那個(gè)．【變式1-3】如圖，△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝5，BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使得CE∥AD，連接BE，與AD交于點(diǎn)F．（1）求證：∠CAD＝∠CBE；（2）求四邊形ACEF的面積．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，可得∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，由CE∥AD可得∠CDA＝∠ECD＝30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BCD＝90°，∠CBE＝30°，從而可得結(jié)論；（2）證明四邊形ACEF是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求得，根據(jù)平行四邊形的面積公式可得結(jié)論．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，∴∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，∵CE∥AD，∴∠CDA＝∠ECD＝30°，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，∵∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝30°，∴∠BCD＝120°﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+30°＝120°，∵CB＝CE，∴，∴∠CAD＝∠CBE；（2）解：∵CE∥AD，∴∠EFD＝∠CEB＝30°，又∠CAD＝30°，∴∠EFD＝∠CAD＝30°，∴AC∥EF∴四邊形ACEF是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，∴∠ACG＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD﹣∠DCE＝180°﹣30°﹣90°﹣30°＝30°，∴，∴S?ACEF＝CE?AG＝4×＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定以及平行四邊形的面積等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【能力提升1】【提升1-1】如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上．且點(diǎn)A、B、E在同一條直線上．（1）求證：DA平分∠BDE；（2）若AC⊥DE，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠1＝∠B，AD＝AB，然后利用等邊對(duì)等角可得∠2＝∠B，從而可得∠1＝∠2，即可解答；（2）設(shè)AC與DE交于點(diǎn)O，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，再根據(jù)垂直定義可得∠AOE＝90°，從而可得∠C＝∠E＝90°﹣α，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠2＝∠B＝90°﹣α，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠4＝∠B+∠C，從而可得α＝90°﹣α+90°﹣α，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠1＝∠B，AD＝AB，∴∠2＝∠B，∴∠1＝∠2，∴DA平分∠EDB；（2）解：如圖，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)O，由旋轉(zhuǎn)得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，∵AC⊥DE，∴∠AOE＝90°，∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，∵AB＝AD，∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，∵∠4是△ABC的一個(gè)外角，∴∠4＝∠B+∠C，∴α＝90°﹣α+90°﹣α，解得：α＝72°，∴旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．【提升1-2】已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．（1）如圖（1），CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；（2）如圖（2），將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝DC，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCB＝∠ACB，證明四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠DEC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明即可．【解答】（1）證明：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠DCB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∵AB＝AC，∴平行四邊形ABDC為菱形；（2）解：∠ACE+∠EFC＝180°，理由如下：∵△ABC≌△DEC，∴∠ABC＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝∠ACF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°，∴∠ACE+∠EFC＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換、菱形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△AMB≌△CBD是解題的關(guān)鍵．【提升1-3】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△ADC，連接OD．（1）判斷△COD的形狀，并證明；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）直接寫(xiě)出α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CO＝CD、∠OCD＝60°即可知△COD是等邊三角形；（2）由旋轉(zhuǎn)可以得出OC＝DC，∠DCO＝60°，就可以得出△ODC是等邊三角形，就可以得出∠ODC＝60°，從而得出∠ADO＝90°，而得出△AOD的形狀；（3）由條件可以表示出∠AOC＝250°﹣a，就有∠AOD＝190°﹣a，∠ADO＝a﹣60°，當(dāng)∠DAO＝∠DOA，∠AOD＝ADO或∠OAD＝∠ODA時(shí)分別求出a的值即可．【解答】解：（1）△COD是等邊三角形，∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°∴CO＝CD∴△COD是等邊三角形．（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，△AOD是直角三角形．∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC＝150°由（1）△COD是等邊三角形∴∠ODC＝60°∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°當(dāng)α＝150°時(shí)，△AOD是直角三角形．（3）∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α∴∠AOC＝250°﹣a．∵△OCD是等邊三角形，∴∠DOC＝∠ODC＝60°，∴∠ADO＝a﹣60°，∠AOD＝190°﹣a，①當(dāng)∠DAO＝∠DOA時(shí)，2（190°﹣a）+a﹣60°＝180°，解得：a＝140°②當(dāng)∠AOD＝ADO時(shí)，190°﹣a＝a﹣60°，解得：a＝125°，③當(dāng)∠OAD＝∠ODA時(shí)，190°﹣a+2（a﹣60°）＝180°，解得：a＝110°∴α＝110°，α＝140°，α＝125°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．【聚焦考點(diǎn)2】旋轉(zhuǎn)的作圖在畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．注意：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)【典例剖析2】【典例2-1】分別畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°和180°后的圖形．【答案】解：如圖，△A1B1C1是如圖，△A2B2C2是【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可?！镜淅?-2】如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)．（2）請(qǐng)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2BC2，并寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．【答案】（1）解：如圖，△A∵A1∴根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知：A1（2）解：如圖，△A∴A2【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)作圖，再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可。針對(duì)訓(xùn)練2【變式2-1】如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、．(1)將以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的；(2)平移，若A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，畫(huà)出平移后對(duì)應(yīng)的；(3)若將繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得出先向右平移3個(gè)單位再向下平移6個(gè)單位到，找出平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、的位置，然后順次連接即可；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義結(jié)合圖形，連接兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】（1）解：即為所求作的三角形，如圖所示：（2）解：即為所求，如圖所示：（3）解：如圖，旋轉(zhuǎn)中心P為；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，解題的關(guān)鍵是作出平移或旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置．【變式2-2】如圖，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形(不用寫(xiě)作法).【解析】如圖所示，△A′B′C即為所求.【能力提升2】【提升2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,4),B(4,1),C(4,3).(1)畫(huà)出將△ABC向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1；(2)畫(huà)出將△ABC繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2【解析】(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求.(2)如圖所示，△A2B2C2即為所求.【提升2-2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC,AD＝AB＝CD＝4,∠B＝∠C＝60°，M是線段BC的中點(diǎn)，將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，得到△MD′C′,當(dāng)MD′與AB交于點(diǎn)E,且MC′與AD交于點(diǎn)F時(shí)，得到以點(diǎn)E、F、A為頂點(diǎn)的△AEF.在此過(guò)程中，△AEF的周長(zhǎng)的最小值是________【答案】4+2eq\r(3)【解析】如圖，連接AM,過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC于點(diǎn)Q,則AQ∥DP.∵AD∥BC,∴四邊形ADPQ是平行四邊形，∴QP＝AD＝4,∠C＝∠B＝60°，∴∠BAQ＝∠CDP＝30°，∴CP＝eq\f(1,2)CD＝2,BQ＝eq\f(1,2)AB＝2,∴BC＝2+2+4＝8.∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴CM＝BM＝4,∴CD＝CM.易知△MCD,△MAB,△MAD和△MC′D′是等邊三角形，∴∠BMA＝∠BME+∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF+∠AME＝60°，∴∠BME＝∠AMF.在△BME與△AMF中，eq\b\lc\{(\a\al\co1(∠B＝∠FAM,BM＝AM,∠BME＝∠AMF)),∴△BME≌△AMF(ASA),∴BE＝AF,ME＝MF,∴AE+AF＝AE+BE＝AB.∵∠EMF＝60°，∴△EMF是等邊三角形，EF＝MF.∵M(jìn)F的最小值為點(diǎn)M到AD的距離，等于DP的長(zhǎng)，又易得DP＝2eq\r(3),∴EF的最小值是2eq\r(3)，∵△AEF的周長(zhǎng)＝AE+AF+EF＝AB+EF,∴△AEF的周長(zhǎng)的最小值為4+2eq\r(3).【聚焦考點(diǎn)3】坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問(wèn)題坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【典例剖析3】【典例3-1】平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，﹣1），將OA繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得OB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣6，1） B．（﹣1，﹣6） C．（﹣6，﹣1） D．（﹣1，6）【分析】作BC⊥x軸于點(diǎn)C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念和三角函數(shù)值解答即可．【解答】解：作BC⊥x軸于點(diǎn)C，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，﹣1），將OA繞原點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得OB，∴OB＝OA，∠BOC＝90°，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣6），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【典例3-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)A（4，1），以點(diǎn)P為中心，把點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到點(diǎn)B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四個(gè)點(diǎn)中，直線PB經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A．M1 B．M2 C．M3 D．M4【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得B（2，1+2），利用待定系數(shù)法可得直線PB的解析式，依次將M1，M2，M3，M4四個(gè)點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)代入y＝x+1中可解答．【解答】解：∵點(diǎn)A（4，1），點(diǎn)P（0，1），∴PA⊥y軸，PA＝4，由旋轉(zhuǎn)得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2，∴B（2，1+2），設(shè)直線PB的解析式為：y＝kx+b，則，∴，∴直線PB的解析式為：y＝x+1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣+1，∴點(diǎn)M1（﹣1，﹣）不在直線PB上，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣1+1＝0，∴M2（﹣，0）在直線PB上，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝+1，∴M3（1，）不在直線PB上，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2+1，∴M4（2，2）不在直線PB上．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練3【變式3-1】小星利用平面直角坐標(biāo)系繪制了如下風(fēng)車(chē)圖形，他先將△OBA固定在坐標(biāo)系中，其中A（2，4），B（2，0），接著他將△OBA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°至△OB1A1，稱為第一次轉(zhuǎn)動(dòng)，然后將△OB1A1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°至△OB2A2，稱為第二次轉(zhuǎn)動(dòng)，…那么按照這種轉(zhuǎn)動(dòng)方式，轉(zhuǎn)動(dòng)2023次后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（4，﹣2） B． C． D．（2，4）【分析】依題意不難發(fā)現(xiàn)第4次旋轉(zhuǎn)后△OBA回到初始位置，而2023÷4＝505……3，據(jù)此可得當(dāng)△OBA旋轉(zhuǎn)2023次后的位置與旋轉(zhuǎn)第3次后的位置重合，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：∵△OBA每次繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴第4次旋轉(zhuǎn)后△OBA回到初始位置，又∵2023÷4＝505……3，∴當(dāng)△OBA旋轉(zhuǎn)2023次后的位置與旋轉(zhuǎn)第3次后的位置重合，即此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)A3重合，∵點(diǎn)A（2，4），∴點(diǎn)A3（4，﹣2），∴轉(zhuǎn)動(dòng)2023次后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣2）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是找出第4次旋轉(zhuǎn)后△OBA回到初始位置．【變式3-2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，有