概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)14-第一章第四節(jié)(概率統(tǒng)計(jì))

第一章隨機(jī)事件與概率

1.4古典概型(等可能概型)

內(nèi)容簡(jiǎn)介:

通過(guò)分析古代較早時(shí)候的博弈對(duì)決思想,提出了古典概型數(shù)學(xué)模型,證明了等可能概型的概率計(jì)算公式.重點(diǎn)解決了隨機(jī)抽樣概型、隨機(jī)取數(shù)概型、分房概型等常見(jiàn)的概率計(jì)算問(wèn)題，對(duì)有放回抽樣和無(wú)放回抽樣給出了對(duì)比分析.本節(jié)的理論和解題方法對(duì)于學(xué)習(xí)概率論知識(shí)具有重要的指導(dǎo)意義.

第一章隨機(jī)事件與概率

1.4古典概型(等可能概型)1.4.1提出問(wèn)題

1.隨機(jī)事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，如何計(jì)算它們的發(fā)生可能性——概率——的大?。?/p>

2.產(chǎn)品抽樣、抓鬮是否有先后順序、分配任務(wù)等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的概率怎樣分析？1.4.2預(yù)備知識(shí)

1.排列組合計(jì)算公式，乘法原理，加法原理.

2.樣本空間，樣本點(diǎn)計(jì)數(shù)，基本事件計(jì)數(shù).

在古代較早的時(shí)候,人們利用研究對(duì)象的物理或幾何性質(zhì)所具有的對(duì)稱性確定了計(jì)算概率的一種方法.

例如,在例1.2.1拋擲硬幣試驗(yàn)中,令ω1表示“出現(xiàn)正面”,ω2表示“出現(xiàn)反面”,則樣本空間Ω={ω1,ω2}中有兩個(gè)樣本點(diǎn),ω1和ω2發(fā)生的可能性是相等的,因而可以規(guī)定P({ω1})=P({ω2})=0.5,即“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各占一半.1.4.3問(wèn)題分析

定義1

(2)

每個(gè)基本事件

的發(fā)生是等可能的.,

如果隨機(jī)試驗(yàn)E滿足下述條件：

(1)試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的.則稱這個(gè)試驗(yàn)為等可能概型.它在概率論發(fā)展初期是主要的研究對(duì)象,所以也稱為古典概型.

在古典概型中,任一隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)k與樣本空間Ω中包含基本事件總數(shù)n的比值,等于隨機(jī)事件A的概率P(A),即

(1.4.1)式就是事件A的古典概率公式.定理1.4.4建立理論證不妨設(shè)事件A所包含的k個(gè)基本事件為{ω1}，{ω2}，…，{ωk}，由等可能性知,P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωk})=1/n，又由于基本事件{ω1}，{ω2}，…，{ωk}兩兩互不相容,由有限加法公式得到:.

講評(píng)對(duì)于古典概型應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)古典概型是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ),因此它是非常重要的概率模型..

(2)判斷是否古典概型的關(guān)鍵是等可能性,而有限性較容易看出；就是事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)不要重復(fù)計(jì)算或者漏掉；事件間的關(guān)系及運(yùn)算亦要熟悉。.

(3)計(jì)算古典概型概率時(shí),首先要判斷有限性和等可能性是否滿足；其次要弄清楚樣本空間是怎樣構(gòu)成的.對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題只要求基本事件的總數(shù)n,同時(shí)求出所討論事件A包含的基本事件數(shù)k,再利用公式(1.4.1)計(jì)算出P(A).

例1.4.1

有100件產(chǎn)品,其中有10件是次品,其余為合格品.任取5件.計(jì)算:

(1)5件都是合格品的概率；(2)至少有一件是次品的概率.解

設(shè)A表示事件{5件產(chǎn)品都是合格品},則表示{5件產(chǎn)品中至少有一件是次品}.

1.4.5方法應(yīng)用

可以分為兩種情形：(1)第一次取出產(chǎn)品后考察“是否合格”,然后放回,攪拌后再抽取第二件產(chǎn)品,繼續(xù)考察“是否合格”,依此進(jìn)行下去，這種抽取方式稱為放回抽樣.放回抽樣通常采取“一次性抽取”5件產(chǎn)品的方式；(2)第一次取出產(chǎn)品后考察“是否合格”,不作放回處理,接著再抽取第二件產(chǎn)品,繼續(xù)考察“是否合格”,依此進(jìn)行下去，這種抽取方式稱為不放回抽樣.

(1)放回抽樣的情況：從100件產(chǎn)品中一件一件地任取

5件的所有可能取法有1005種,即基

本事件總數(shù)n=1005.取5個(gè)都是合格品的所有可能取法有905種,即A包含的基本事件數(shù)為k=905,

所以P(A)=

若認(rèn)為從100件產(chǎn)品中一次性地任取5件，則所有可能取法有種,即基本事件總數(shù)n=.

5件都是合格品的所有可能取法有種,即A包含的基本事件數(shù)為k=,

P(A)=

所以由對(duì)立事件概率公式(1.3.8)得到，事件{至少有一件是次品}的概率為P(

)=1－P(A)=1－

(2)不放回抽樣的情況：

在100件產(chǎn)品中順次取出5件產(chǎn)品的所有可能取法有種,故基本事件總數(shù)n=.同理,A包含的基本事件數(shù)k=.所以,抽取到5件合格品的概率為

P(A)=

事件{至少有一件是次品}的概率=1－P(A)=1－可見(jiàn)，放回抽樣與不放回抽樣的事件概率不相同.

講評(píng)分析例1.4.1：

①我們應(yīng)該理解抽樣的兩種方式——“放回抽樣”和“不放回抽樣”；②理解“第一件合格品,第二件又是合格品”和“抽到兩件合格品”的“有序”和“無(wú)序”的排列與組合問(wèn)題；③樣本空間Ω和事件A的“有序”取法與“無(wú)序”取法必須保持一致.

例1.4.2

一袋中裝有N個(gè)小球,其中m個(gè)是紅球,剩下的為白球.從袋中任取出n(n≤N)個(gè)小球,問(wèn)其中恰有k(k≤m)個(gè)紅球的概率是多少？

分析袋中裝有2種顏色球,其中m個(gè)紅球,剩下N-m個(gè)為白球.從袋中任取出n(n≤N)個(gè)小球,求恰有k(k≤m)個(gè)紅球的概率,沒(méi)有順序,用組合知識(shí).

設(shè)X表示“取得的n個(gè)球中紅球的數(shù)量”,則{恰有k個(gè)紅球}的事件可表示為{X=k},因此所求概率

為

解

這個(gè)模型不要求摸球的順序,應(yīng)用組合式計(jì)算.所有可能的取法共有種.（1.4.2）

像這樣X(jué)取值的概率情況稱為超幾何分布.上式常稱為超幾何分布的概率公式.顯然,X可能的取值為0,1,…,m.

講評(píng)

例1.4.1和例1.4.2通常稱為古典概型中的摸球問(wèn)題.特點(diǎn)是:樣本空間由兩部分或兩部分以上的成份組成,考慮基本事件發(fā)生的先后順序，用乘法原理.

由以上舉出的例題可知,古典概型大體可以概括為三大類問(wèn)題：(1)摸球問(wèn)題(產(chǎn)品的隨機(jī)抽樣問(wèn)題)；(2)分房問(wèn)題;(3)隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題.

1.4.4建立理論2——幾何概率

在概率論的發(fā)展初期,人們就認(rèn)識(shí)到,僅假定樣本空間為有限集是不夠的,有時(shí)需要處理有無(wú)窮多個(gè)樣本點(diǎn)的情形.我們先看下面一個(gè)例子

引例

用計(jì)算機(jī)在[0,2]區(qū)間上任意打出一個(gè)隨機(jī)數(shù)X,求X小于1.2的概率.我們認(rèn)為“隨機(jī)數(shù)x在區(qū)間[0,2]上任何一處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等”,

其概率應(yīng)只與區(qū)間[0,1.2]的長(zhǎng)度有關(guān),概率應(yīng)該為區(qū)間[0,1.2]長(zhǎng)度與區(qū)間[0,2]長(zhǎng)度之比，即概率應(yīng)該等于.

描述這些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω,都是歐氏空間的一個(gè)區(qū)間或者區(qū)域,其樣本點(diǎn)具有“等可能分布”的性質(zhì).設(shè)區(qū)域AΩ,如果樣本點(diǎn)落入A中,我們就說(shuō)事件A發(fā)生了.這樣可作以下定義.

定義2

設(shè)Ω為歐氏空間的一個(gè)區(qū)域,以m(Ω)表示Ω的度量(一維為長(zhǎng)度,二維為面積,三維為體積等).

AΩ是Ω中一個(gè)可以度量的子集,定義P(A)=

（1.4.3）為事件A發(fā)生的概率,稱其為幾何概率.有些書(shū)也稱為幾何型概率.

例1.4.3

某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨,

而甲、乙兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小

時(shí)和2小時(shí).設(shè)甲、乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá),求它們中任何一船都不需要等待碼頭空出的概率.解設(shè)x,y分別為甲、乙兩船的到達(dá)時(shí)刻(單位:小時(shí)).則(x,y)為一個(gè)樣本點(diǎn),從而樣本空間

Ω={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}.

又設(shè)A為所求事件,則由題意易知

A={(x,y)∈Ω|x-y＞2或y-x＞1}.1.4.5方法應(yīng)用2——幾何概率如圖中陰影部分所示.于是所求概率為

例1.4.4

從區(qū)間[0,1]中任取三個(gè)隨機(jī)數(shù),求三數(shù)之和不大于1的概率.

解設(shè)x,y,z分別表示此三個(gè)數(shù),則易知樣本空間

Ω

={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}.這是三維空間中一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體.設(shè)A表示{三數(shù)之和不大于1},則有A={(x,y,z)∈Ω

|x+y+z≤1,x≥0,y≥0,z≥0}.

講評(píng)

例1.4.3是二維空間,度量用面積計(jì)算;例1.4.4是三維空間,度量用體積計(jì)算.A中樣本點(diǎn)組成如圖中錐體O-BCD于是有

1.4.6內(nèi)容小結(jié)與思考

本次課學(xué)習(xí)了概率的定義及其性質(zhì),

重點(diǎn)研究了古典概型及其概率計(jì)算問(wèn)題.為了利用古典概型的定義來(lái)計(jì)算概率.首先應(yīng)確定試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)n,再確定隨機(jī)事件A所包含的基本事件數(shù)k,則后者與前者之比,即為所求的概率P(A)=.

在基本理論方面,對(duì)概率加法公式、概率減法公式和對(duì)立事件概率公式要學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用.

在基本方法方面,分析事件A的對(duì)立事件用計(jì)算A發(fā)生的概率,

在處理有關(guān)“至少”或“至多”問(wèn)題時(shí)常常用到.

在古典概型的概率計(jì)算中,對(duì)摸球問(wèn)題,也叫隨機(jī)取樣問(wèn)題必須熟練掌握,特別是超幾何分布公式更是常用.1.4.7習(xí)題布置

習(xí)題1.44、5、6.參考文獻(xiàn)與聯(lián)系方式

[1]鄭一,王玉敏,馮寶成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).