2023年初中幾何模型及常見結(jié)論的總結(jié)歸納

初中幾何模型及常見結(jié)論的總結(jié)歸納

三角形的概念

三角形邊、角之間的關(guān)系：①任意兩邊之和不小于第三邊（任意兩邊之差不不小于第三邊）；②三角形內(nèi)

角和為180°（外角和為360°）；③三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和。

三角形的三線：（1）中線（三角形的頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線）；三角形三邊中線交于一點(diǎn)（重心）

如圖，。為三角形的重心，重心。分中線長(zhǎng)度之比為2:1（BO：OE=2:1）;DE、EF、分別為

三角形5C、AB,AC邊上的中位線（三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線），DE〃BC且DE」BC。

2

幾何問題中的“中點(diǎn)”與“中線”常常是聯(lián)絡(luò)再一起的。因此碰到中點(diǎn)這樣的條件（或關(guān)鍵詞）我們可以

考慮中線定理與中位線定理進(jìn)行思索。

中線（中點(diǎn)）的應(yīng)用：

①在面積問題中，中線往往把三角形的面積等分，假如兩三角形高相似，我們往往把面積之比轉(zhuǎn)化為底邊

之比。（面積問題轉(zhuǎn)化為線段比的問題）如上圖，我們可以得到

SMBF=SMCF，SABOF：&ABO=OF：AO=1:2

②在波及中線有關(guān)的線段長(zhǎng)度問題，我們往往考慮倍長(zhǎng)中線。

D如圖，已知AB,AC的長(zhǎng)，求AF的取值范圍時(shí)。我們可以通過倍長(zhǎng)中線。運(yùn)用三

角形邊的關(guān)系在三角形ABD中構(gòu)建不等關(guān)系。（|AB-Aqy2A尸YAB+AC）.

⑵角平分線（三角形三內(nèi)角的角平分線）；三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）

B

DC

如圖，。為三角形ABC的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）；內(nèi)心。到三邊的距離相等OE=OE=OD=r（角平分

線的性質(zhì)定理）；ZBAO+ZCBO+ZACO=90°；

達(dá)AABCffU周長(zhǎng)）；

有關(guān)角平分線角度問題的常見結(jié)論:

ZBOC=9Q°--ZA

2

ZBOC=-ZA

2

角平分線的性質(zhì)定理:

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。

如圖，AD是三角形ABC的內(nèi)角平分線，那么竺=弛

ACCD

（3）垂線（三角形頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線）；三角形三條邊上的高交于一點(diǎn)（垂心）

如圖，。為三角形ABC的垂心，我們可以得到比較多的銳角相等如NABO=NACO；ZABC=ZCOD

等。因此垂線（或高）這樣的條件在題目中出現(xiàn)，我們往往可以得出比較多的銳角相等。（等角或同角的

余角相等），此外，假如規(guī)定垂線段的長(zhǎng)度或與垂線段有關(guān)的長(zhǎng)度問題，我們一般用面積法求解。在上圖

中，若已知AAAC,CE的長(zhǎng)度，求5石的長(zhǎng)。

尤其注意：在等腰三角形中，我們一般所指的三線合一就是指中線、角平分線、高線。三線合一：已知三

角形三線中的任意兩個(gè)條件是重疊的，那么就可以得出第三條線也是重疊的。在詳細(xì)運(yùn)用時(shí)，我們往往時(shí)

把三線合一的等腰三角形補(bǔ)充完整再加以運(yùn)用。

三角形全等

三角形全等我們要牢記住它的五個(gè)鑒定措施。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）

在詳細(xì)運(yùn)用時(shí)，我們需要找出鑒定三角形全等的多種條件，不外乎是有關(guān)邊相等或相等的問題。

對(duì)于尋找角相等：常有四種措施：①兩條平行線被第三條直線所截得出的“三線八角”的結(jié)論；②對(duì)頂角

相等；③銳角互余；④三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和。

對(duì)于尋找邊相等：常有三種措施：①特殊圖形中隱含的條件（如等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方

形。。。。。）；②運(yùn)用三線合一的正逆定理；③通過已經(jīng)有的全等三角形性質(zhì)得出。

對(duì)于證明角相等，證明邊相等，我們都要優(yōu)先考慮邊或角所在的三角形全等。（一定要注意對(duì)應(yīng)）假如不

能直接通過全等證明，我們就要轉(zhuǎn)化角或轉(zhuǎn)化邊（用上面的幾種措施）然后再考慮全等。

全等三角形的基本圖形：

平移類全等；對(duì)稱類全等；旋轉(zhuǎn)類全等；

幾何問題中常用的模型

平行和中點(diǎn)

三角形（梯形）的中位線。

倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等