雙曲線及其標準方程 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

人教A版

數(shù)學

選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標準方程自主預習新知導學一、雙曲線的定義1.雙曲線的定義

2.若動點P(x,y)到點A(-3,0),B(3,0)的距離之差為4,則點P的軌跡是(

)A.雙曲線B.雙曲線的一支C.一條直線D.一條射線解析:由題意知,|PA|-|PB|=4<|AB|,故點P的軌跡是雙曲線的一支.答案:B二、雙曲線的標準方程1.雙曲線的標準方程

答案:D合作探究釋疑解惑探究一求雙曲線的標準方程分析:先設(shè)出雙曲線的標準方程,構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組,求得a,b,從而求得雙曲線的標準方程.注意對平方關(guān)系c2=a2+b2的運用.反思感悟

1.求雙曲線標準方程的步驟(1)確定雙曲線的類型,并設(shè)出標準方程.(2)求出a2,b2的值.2.當雙曲線的焦點所在坐標軸不確定時,需分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論.特別地,當已知雙曲線經(jīng)過兩個點時,可設(shè)雙曲線方程為Ax2+By2=1(AB<0)來求解.【變式訓練1】

(1)已知雙曲線過M(1,1),N(-2,5)兩點,求雙曲線的標準方程;解:(1)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0).∵雙曲線過點M(1,1),N(-2,5),探究二雙曲線的定義及其應用(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16,求點M到另一個焦點的距離;(2)若點P是雙曲線上的一點,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積S.分析:(1)直接利用定義求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解:(1)設(shè)|MF1|=16,根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.即點M到另一個焦點的距離為10或22.由定義和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

60°,∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=64,反思感悟

求雙曲線中的焦點三角形(△PF1F2)面積的方法(1)①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之間滿足的關(guān)系式;③通過配方、整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S=

×|PF1|·|PF2|·sin

∠F1PF2求得面積.(2)利用公式S=×|F1F2|×|yP|求得面積.【變式訓練2】

(1)已知雙曲線的方程是,點P在雙曲線上,且到其中一個焦點F1的距離為10,點N是PF1的中點,O為坐標原點,則|ON|=

.解析:(1)因為ON是△PF1F2的中位線,探究三與雙曲線有關(guān)的軌跡方程【例3】

如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東30°方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A地的距離比到B地的距離遠2km.現(xiàn)要在河岸PQ上選一處M建碼頭,向B,C兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算,修建公路的費用是a萬元/千米,求修建這兩條公路的最低總費用.分析:建立平面直角坐標系→寫出曲線PQ的軌跡方程→寫出修建公路的總費用→利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化|MB|→結(jié)合圖象得出答案解:以AB所在的直線為x軸,AB的中點為原點建立平面直角坐標系(圖略).反思感悟

求與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題的方法(1)列出等量關(guān)系,化簡得到方程.(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系,由雙曲線的定義,得出對應的方程.提醒:①確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸.②檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支.【變式訓練3】

已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡方程.解:如圖所示,設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B,根據(jù)兩圓外切的條件,得|MC1|=|AC1|+|MA|,|MC2|=|BC2|+|MB|.∵|MA|=|MB|,∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.這表