2020年初升高【數(shù)學】無憂銜接：07 命題和充要條件（解析版）滬教版

『初中升高中-無憂銜接」

「內(nèi)容遞進?循序漸進」

專題07命題和充要條件

a身稱燈

1.設全集為R,M=^y=^l-x2],則.

【難度】★

【答案】（―oo,—l）U（l，+8）

2.已知集合”={卜亦:+丁=2},N={（x,“x—y=4},那么集合"CN=,

【難度】★★

【答案】{（3,-1）}

3.全集。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合4={0,1,3,5,8},5={245,6,8},貝U.

【難度】★★

【答案】{7,9}

【解析】解法一：CVA={2,4,6,7,9},gB={0,1,3,7,9},所以（。/）0（C）={7,9}；解法二:

AUB={0,123,4,5,6,8},所以G（AU8）={7,9},所以（QA）D（。心）=Q（AU3）={7,9}.

4.已知集合人=卜|一2<%<7},B={^m+l<x<2m-l},若Alj5=A,則實數(shù)m的取值范圍

是.

【難度】★★

【答案】m<4

【解析】AUB=A,則31A,不能忽視3=0的情況，當5=0時，m+l>2m-L解得m<2；當

m+1<2m-1

時，<m+1>-2,解得2<相<4,所以實數(shù)用的取值范圍是加V4.

2m-1<7

5.若集合4=，/+。％+1=0,%￡.，集合3={i,2},且則實數(shù)。的取值范圍

【難度】★★

【答案】［-2,2）

出

知輛秸構(gòu)

［命題與推出關系

命題的形式及等價關，四種命題形式

［等價命題

命題和充要條件云八〃的攵.充分條件、必要條件

充分、必要條件U

［充要條件

子集與推出關系

接煥一，

一般地，我們把可以判斷真假的語句叫做命題。

命題通常用陳述句表示，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題。

一

騏例周折

【例1】判斷下列語句是不是命題，若是，判斷其真假；若不是，說明理由。

（1）12是4的倍數(shù)；（2）對角互補的四邊形外接于一個圓；

（3）我會說英語；（4）今天下雨嗎？

（5）ab是有理數(shù)，則a力都是有理數(shù)。

【難度】★

【答案】(1)是命題，真命題，因為12=4x3。

(2)是命題，真命題，定理。

(3)是命題，假命題，當。=痣/=6'時，ab為有理數(shù)，而a,6不是有理數(shù)。

(4)不是命題，沒有對一事物做出判斷。

(5)不是命題，因為其不能做出真假判斷。

【例2】判斷下列命題的真假：

(1)質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；

(2)鈍角三角形的內(nèi)角至少有一個是鈍角；

(3)若%>0,y>0,則孫<0。

(4)若AB#0,AC#0,則BC^0o

【難度】★

【答案】(1)假命題，例如2是質(zhì)數(shù)但不是奇數(shù)。

(2)真命題；(3)真命題；

(4)假命題，例如A={1,2,3,4,5},3={1,2,3},。={4,5},此時3口。=0

說明：假命題的判斷可以使用“舉反例法”。若判斷為真命題，則需證明。

一般地，如果命題a成立可以推出命題夕也成立，那么就說由a可以推出夕，記作。=>〃。

相反的，如果a成立不能推出夕成立，那么就說由a不可以推出夕，記作夕與夕。

如果e=>〃，并且尸=>。，那么就說a與夕等價，記作

復合命題的真假

“非P”形式復合命題的真假可以用下表表示：

P非P

真假

假真

“p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示:

Pqp且q

真真真

真假假

假真假

假假假

“p或q”形式復合命題的真假可以用下表表示:

PqP或q

真真真

真假真

假真真

假假假

【例3］寫出由下述各命題構(gòu)成的“2或4”，“P且4”，“非2”形式的復合命題，并指出所構(gòu)成的這些

復合命題的真假。

(1)p：9是144的約數(shù)，q-.9是225的約數(shù)。

(2)p：方程V—1=0的解是x=1,q：方程x?—1=0的解是x=—1；

(3)p：實數(shù)的平方是正數(shù)，q：實數(shù)的平方是0.

【難度】★

【答案】由簡單命題構(gòu)成復合命題，一定要檢驗是否符合“真值表”，如果不符，要作語言上的調(diào)整。

(1)p或q：9是144或225的約數(shù)；

p且4：9是144與225的公約數(shù)，(或?qū)懗桑?是144的約數(shù)，且9是225的約數(shù))；

非p：9不是144的約數(shù).

真，“真，.?.“p或q”為真，“p且為真，而“非p”為假.

(2)p或/方程V—1=。的解是兀=1,或方程1=。的解是兀=—1(注意，不能寫成“方程，_1=0

的解是％=±1"，這與真值表不符)；

p且4：方程爐―1=。的解是1=1,且方程好一1=0的解是l=—1；

非p：方程/一1=0的解不都是兀=1(注意，在命題2中的“是”應理解為“都是”的意思)；

假，“假，"p或q”與，“2且均為假，而“非p”為真.

（3）p或q：實數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0；

p且q：實數(shù)的平方都是正數(shù)且實數(shù)的平方都是0；

非p：實數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實數(shù)，其平方不是正數(shù)）;

假，q假，“p或q”與“2且均為假，而“非?”為真.

電

對點幡棟

1、判斷下列命題的真假:

（1）所有能被6整除的整數(shù)都是3的倍數(shù)；

（2）關于x的方程依+b=0（a、匕cH）有且只有一個實數(shù)根。

【難度】★

【答案】（1）真命題。（2）假命題，當a=03/0時，方程無實數(shù)根。

說明：假命題的判斷可以使用“舉反例法”。若判斷為真命題，則需證明。

2、判斷命題“若x/2或y/3,貝的真假。

【難度】★

【答案】假命題，例如x=l,y=4此時x+y=5。

說明：根據(jù)其逆否命題的真假來進行判斷原命題的真假，因為它們是等價的。

案，，命觀的四種彬式及其關系

一個數(shù)學命題用條件a,結(jié)論夕表示就是“如果a,那么夕”，把結(jié)論與條件交換，就得到一個新命題“如

果p,那么a"，我們把這個命題叫做原命題的逆命題。

典例周折

【例5】命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則他的平方是正數(shù)”的逆命題是（）

A.“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

B.“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”

C.“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”

D.“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”

【難度】★★

【答案】B

如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的條件與結(jié)論的否定，我們把這兩個命題叫做互否命題。如

果其中一個叫做原命題，那么另外一個叫做原命題的否命題。

【例4】若命題p的否命題是q,命題q的逆命題是廣，則r是2的逆命題的（）

A.原命題B.逆否命題C.逆命題D.否命題

【難度】★★

【答案】D

命題&、夕的否定分別記作勿、J（命題的否定與否命題是兩種不同形式）。

如果把原命題“如果a,那么夕”結(jié)論的否定作條件，把條件的否定作結(jié)論，那么就可以得到一個新命題,

我們將它叫做原命題的逆否命題。

【例6】寫出命題“已知a、b、c、dGR,若a=Z?,c-d,貝的其他三種形式。

【難度】★★

【答案】逆命題：已知a、b、c、deR,若ac=bd,則a=b,c=d0

否命題：已知a、b、c、dwR,若awb或cwd,則acwbd。

逆否命題：已知a、b、c、dER,若ac乎bd,則a/b或cwd。

四種命題形式及其相互關系：

常見結(jié)論的否定形式：(拓展內(nèi)容)

原結(jié)論否定形式原結(jié)論否定形式

是不是至少有一個沒有

都是不都是至多有一個至少有二個

大于小于或等于至少有幾個至多有n-1個

小于大于或等于至多有〃個至少有〃+1個

對所有的X成立存在X不成立p或q非p且非4

對任何的％不成立存在X成立P且4非P或非4

【例7】命題：已知a,b為實數(shù),若三+6+人^。有非空解集，則儲—4匕》0。寫出該命題的逆命題,

否命題，逆否命題，并判斷這些命題的真假？

【難度】★★

【答案】逆命題：已知。力為實數(shù)，若儲—皿20,則/+℃+/,<()有非空解集

否命題：已知。力為實數(shù)，若9+依+/?〈0沒有非空解集，貝九片―4b<0

逆否命題：已知。力為實數(shù)，若儲-4人<0,則/+公+/,<()沒有非空解集

對點幡稱

1、下列結(jié)論錯誤的是()

A.命題“若p,則與命題“若非p則非互為逆否命題

B.命題p：任意xe[0,l],ex>1,命題4：存在xeR,%2+%+1<；0貝!]夕“為真

C.“若加？VZw/則a<-b”的逆命題為真命題

D.若pq為假命題，則p、(7均為假命題.a<bam2<bm2

【難度】★★

【答案】C

2、寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假。

(1)xeR,若x22，貝卜2-3x+220;

(2)若/+〃=0,則。、6都為0；

【難度】★★

【答案】(1)逆命題：xeR,若J—3x+2N0,貝卜22假命題。

否命題：xeR,若x<2,貝U-3x+2<0假命題。

逆否命題：xeR,若J-3x+2<0,貝卜<2真命題。

(2)逆命題:若a、6都為0,則/+〃=0真命題。

否命題：若則。、人中至少有一個不為o真命題。

逆否命題：若。、。中至少有一個不為0,則/+從/0真命題。

3、寫出下列命題的逆命題、否命題.

(1)兩個有理數(shù)的和是有理數(shù)；

(2)%>6或％<—4,則|%—1|>5.

【難度】★★

【答案】(1)逆命題：若兩個數(shù)的和是有理數(shù)，那么這兩個數(shù)是有理數(shù)。

否命題：若兩個數(shù)不都是有理數(shù)，那么它們的和不是有理數(shù)。

(2)逆命題：若|x-l|>5,則x>6或x<-4.。

否命題：若無<6且x<—4,則|x—l|<5.。

報偵三，哧關等價命敢

如果A、3是兩個命題，A=>B,B=>A,那么A、3叫做等價命題(互為逆否命題的兩個命題是等價命

題)。

【例8】下列各組中兩個命題是否為等價命題。

(1)=與"AuB=B”.

(2)“xeA”與

【難度】★

【答案】(1)A^B^A\JB=B,反過來，若xeA,則xcAljB,而AU5=3,所以即有xeB,

:.A^B,則所以為等價命題。

(2)xeAnxeAIJ5,而xeAljBmxeA,不等價。

【例9】已知：。是AABC的邊BC上的一點，求證命題“如果竺力殷，那么D不在

ACDC

ZABC的內(nèi)角平分線上”

【難度】★★

【答案】原命題的逆否命題為已知。是AABC的邊BC上的一點，如果。在NABCH勺

那么條BD

內(nèi)角平分線上,

DC

證明：過C作DA的平行線交BA的延長線于E,在ABCE中，DA//CE,

M器E/BADMBEC

NZMC=NACE,又ZBAD^ZACE.

:.ZBEC^ZACE,.?.?!￡=AC從而四=股

ACDC

因為逆否命題為真命題，所以原命題為真命題。

海直幡稱

1、下列各組中兩個命題是否為等價命題。

(1)aaeAC\Bt,與“aGB”

(2)ameAC\B>,與“mwAUB”

【難度】★★

【答案】(1)aeAC\B^aeB,而反過來不成立，所以不等價。

(2),而反過來不成立，所以不等價。

2、判斷下列命題真假。

(1)若無2+4%—冽=0有兩實根.，則相>一5.

(2)若x+y。3,則xwl或y。2.

【難度】★★

【答案】(1)其逆否命題為：若mV-5,則f+4x-m=0無實根，為真命題，所以原命題為真命題。(2)

其逆否命題為：若x=l且y=2,則x+y=3.,為真命題，所以原命題為真命題。

鎮(zhèn)決0：充要條件的判定

充分條件與必要條件：

一般地，用a、夕分別表示兩個命題，如果a成立，可以推出夕也成立，即那么a叫做夕的充

分條件。夕叫做a的必要條件。例如a=0是。。=0充分非必要條件，1>1是x>2的必要非充分條件。

充要條件：

如果既有an",又有"no,即有那么戊既是夕的充分條件又是夕的必要條件，這時我們

就說a是夕的充要條件。例如a=0或Z?=0是a/?=0充分必要條件。

-、

騏例周折

【例10】證明：ac<0是關于x的一元二次方程依2+歷什0=0有兩個不同的實數(shù)根的充分非必要條件。

【難度】★★

【答案】充分性：若ac<0,則方程的△>(),方程有兩個不同的實數(shù)根。

非必要性：當方程有兩個不同的實數(shù)根，則△>€),而不僅僅是ac<0。

說明：證明非必要性，只需證明尸=>a不成立即可。

【例11】指出下列各組命題中，。是4的什么條件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充

分也不必要”中選一種作答)

(1)對于實數(shù)龍,丁，p:x+y,8,或yw6

(2)已知p:(x-l)2+(y-2)2=0,q:(x-l)(y-2)=0

【難度】★★

【答案】(1)P是4的充分不必要條件.(2)。是4的充分非必要條件.

;1I

a點精煉

R，“卜寸就時||”是“孫>0”的什么條件?

【難度】★★

【答案】必要非充分條件。

說明：寫成命題形式，判斷原命題及其逆命題的真假即可。

2、己知°、q都是廠的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么分別是4的什么條件?

【難度】★

【答案】s是9的充要條件；(s=r=g,q=s)

廠是4的充要條件；(r=q,q=s

p是q的必要條件；(qnsnrnp)

掇以五，

翼例劇折

【例13］判斷a是4的什么條件

(1)(z:―<1/7:?>1；

a

(2)a:Ar>B=A(3:AuB=B；

(3)a\x>y/3:x2>y2；

(4)a:x1>0,x2>0/?:xt+x2>0,Xj-x2>0.

【難度】★

【答案】(1)a是夕的必要非充分條件；(2)a是4的充要條件；

(3)a是4的非充分非必要條件；(4)a是4的充要條件；

【例14】求有關X的方程(“Z+Df+2(2-〃7)X+27〃+4=0(1)有一個根大于1,有一個根小于1

的充要條件.(2)“有兩個小于3的根”的充要條件。

【難度】★★

【答案】(1)設方程兩個根分別為再,當，不妨設再<1,%>1，則問題等價于:

4>0

0一1)(/-1)<。=一"-1。

(2)設方程兩個根分別為玉,乙，不妨設玉<3,%<3,則問題等價于:

A>0

<(%1-3)+(x2-3)<0=>-1<m<0或-10<m<-5

(再一3)(X2-3)>0

【例151已知關于x的實系數(shù)二次方程^+ax+b=Q＞有兩個實數(shù)根a、B，證明：|a|＜2且叫＜2是

21al＜4+。且以＜4的充要條件.

【難度】★★

【答案】（1）（充分性）由韋達定理，得依=|a￡=|a|?網(wǎng)＜2x2=4,

設人防=/+辦+/7,則無0的圖象是開口向上的拋物線；

又|a|V2,磔＜2,.\/（±2）＞Q

4+2a+b>0

即有n4+。>2。>—(4+Z?)

4—2。+/?>()

又以V4n4+6＞0n2|創(chuàng)V4+0

⑵必要性油21al＜4+0n八±2）＞0且加0的圖象是開口向上的拋物線；

方程段）=0的兩根a,夕同在（一2,2）內(nèi)或無實根.

■:a,:是方程於）=0的實根，；.a,￡同在（一2,2）內(nèi)，即|a|＜2且囿＜2；

-------、

“對支幡稱

1、已知。涉是實數(shù)，貝「a＞0且人＞0”是“a+b＞0且必＞0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【難度】★

【答案】C.

2、已知命題p:|4x—3歸1；命題/x2_（2a_i）x+a（a+i）＜o。若。是q的充分不必要條件，則實數(shù)。

的取值范圍是

【難度】★★

【答案】[0,—]

.2

設A、3是非空集合，4={。匕具有性質(zhì)。},8=出2具有性質(zhì)分},則3與e=>分等價。

出典例周新

【例16】利用子集與推出關系判斷下列甲是乙的什么條件。

(1)甲：x<Q,乙：%<0；

(2)甲：x2+y2—Q,乙：x—0,y—0；

(3)甲：x>Q,乙：|x|>0；

(4)甲：|工區(qū)2,乙:|x+l|<lo

【難度】★★★

【答案】(1)令人={%[%<。},5={x|x<0},3是A的子集，但是A不是8的子集。所以甲是乙的必

要非充分條件。(2)甲是乙的必充要條件。(3)甲是乙的充分非必要條件。(4)甲是乙的必要非充分條件。

【例17](1)是否存在實數(shù)加，使得2x+〃z<0是爐―2%—3>0的充分條件？

(2)是否存在實數(shù)機，使得2x+m<0是尤2—2%-3>0的必要條件？

【難度】★★

【答案】(1)欲使得2%+加<0是7—2%—3>0的充分條件，則只要{x|x<-y}c{xM<—1或x〉3},

則只要—‘W—1即77122,故存在實數(shù)機之2時，使2X+加<0是/―2x—3>0的充分條件.

2

(2)欲使2x+zn<。是必一2九一3>0的必要條件，則只要{%|九<一~或%>3},則這是

不可能的，故不存在實數(shù)加時，使2x+根<0是％2—2x—3>0的必要條件.

【例18]若不等式|x-曲<1成立的充分不必要條件是!<x<,，則實數(shù)力的取值范圍是o

【難度】★★

【答案】解不等式上―叫<1得到機—1(為<機+1,由題可知:—<x<—=m—l<x<m+l

4

m-1<—m<—<

3314

所以《，則<J】，所以加的取值范圍是［―方寸

,1

m+1>—m>——

22

對點幡稱

1、已知a：(x-2)2+(y+3)2<4,/7:(x-l)2+(y-a)2<^-,若夕是a的充分不必要條件，求實數(shù)a的

取值范圍.

【難度】★★

【答案】-3--<?<-3+—

22

2、設。：尤21或x<-5,/?：尤之-2〃z+l或2m-3,meR,a是6的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍。

【難度】★★

【答案】OWmWl。

--------------------'

反思總牯

命題和充要條件是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，在高考中占有很高的地位.歷年高考命題中，充分條件和必要

條件已經(jīng)成了高考考查的一個熱點，雖然這一部分在課本中只占一小節(jié)內(nèi)容,定義也很簡單，但它涉及的知

識面很廣,幾乎滲透了高中數(shù)學的每一個角落；充要條件是數(shù)學中極其重要的一個概念,有關充要條件問題

的求解是解題的一個難點，解這類問題需熟練掌握條件的概念,理解其含義,結(jié)合題設條件正確地分清條件

與結(jié)論.在高考數(shù)學卷中，判斷充要條件的問題常出現(xiàn)在選擇題中，一般會與函數(shù)、不等式、立體幾何等知

識結(jié)合起來進行考查.

_______

薛后揀燈

1、設命題甲為：“0〈尤<5"，命題乙：“卜―2|<3"，則甲是乙的條件.

【知識點】充分、必要條件的判定

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】充分非必要

2、已知命題p：“|x—2|<a（a>0）"，命題/ts|x2-4|<r5,若尸是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的

取值范圍是.

【知識點】充分條件、必要條件、充要條件的應用

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】0<a〈石—2（或0<a<0,其中/?<6-2即可）

3、“a=1”是，函數(shù)y=cos2ax-sin2ax的最小正周期為萬”的條件.

【知識點】充分、必要條件的判定

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】充分非必要

4、已知方程〃力=0的解集是A,方程g（尤）=0的解集是6,則方程/（力道（力=0的解集是

【知識點】有關命題基本知識

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】AB

5、已知四個命題：

①C=0是函數(shù)/（x）=xW+C是奇函數(shù)的必要非充分條件；

②若x,yeR,則必+V<i是卜|+3〈后的充分非必要條件；

③48是AABC的兩內(nèi)角，則A<5是sinA<sin5的充要條件；

④兩條直線的斜率相等是這兩條直線平行的既不充分也不必要條件；

其中為真命題的有