2024年云南曲靖高二學業(yè)水平檢測數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年云南春季學期學業(yè)水平檢測試卷高二數(shù)學本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列兩個變量之間的關系是相關關系的是（

）A．等邊三角形的邊長與其面積B．勻速直線行駛的電車的位移與行駛時間C．雜交水稻植株的高度與土壤濕潤度D．汽車在陸地上的剎車制動時間與洞庭湖湖面上的空氣阻力2．在中，內角的對邊分別為，則（

）A． B． C． D．13．已知集合，若有且僅有3個不同元素，則的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．的展開式中的常數(shù)項為（

）A．240 B．120 C．64 D．845．若方程在區(qū)間上有5個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的極值點為（

）A．0 B．1 C． D．7．云南昆明有很多聞名的旅游景點，某公司的兩名同事計劃今年國慶節(jié)期間前往昆明去感受西雙版納大地的風光與文化，都準備從官渡古鎮(zhèn)、滇池、翠湖公園、云南民族村4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩．若在兩人中至少有一人選擇翠湖公園景點的條件下，兩人選擇的景點不同的概率為（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，為曲線上位于第一象限內的一點，為在軸上的射影，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知均為正數(shù)，則使得“”成立的充分條件可以為（

）A． B．C． D．10．設方程的兩根在復平面內對應的點分別是，則（

）A．的實部為0 B．關于軸對稱C． D．11．設數(shù)列an滿足，且當時，，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若一個半徑為的球和一個上，下底面邊長分別為和的正四棱臺的體積相同，則正四棱臺的高為．13．已知某果園中獼猴桃單果的質量（單位：）服從正態(tài)分布，若從該果園中隨機挑選4個獼猴桃，則恰有2個單果的質量均不低于的概率為.14．已知橢圓的左、右焦點分別為在橢圓上且關于原點對稱，則的最大值與最小值之和為．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．近些年來，促進新能源汽車產業(yè)發(fā)展政策頻出，新能源市場得到很大發(fā)展，銷量及滲透率遠超預期，新能源幾乎成了各個汽車領域的熱點．某車企通過市場調研并進行粗略模擬，得到研發(fā)投入（億元）與經濟收益（億元）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：研發(fā)投入億元12345經濟收益億元2.546.5910.5(1)求相關系數(shù)；（保留3位小數(shù)）(2)求出關于的線性回歸方程，并預測研發(fā)投入10億元時的經濟收益．參考數(shù)據(jù)：．附：相關系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距．16．已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離相等，若動點的軌跡記為曲線．(1)求的方程；(2)不過點的直線與交于兩點，且，若的垂直平分線交軸于點，證明：為定點．17．記正項數(shù)列的前項積為，已知.(1)求的通項公式；(2)記的前項和為，證明：.18．已知函數(shù)．(1)若只有一個零點，求的值；(2)若有兩個零點，證明：．19．由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.對于凸多面體，有著名的歐拉公式：，其中為頂點數(shù)，為棱數(shù)，為面數(shù).我們可以通過歐拉公式計算立體圖形的頂點?棱?面之間的一些數(shù)量關系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點數(shù)和棱數(shù).一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現(xiàn)在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計算了兩次，即共有12條棱；再根據(jù)歐拉公式，，可以得到頂點數(shù).(1)已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點與三條棱相鄰，試確定足球的棱數(shù)；(2)證明：個頂點的凸多面體，至多有條棱；(3)已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點相鄰的棱數(shù)均相同.試利用歐拉公式，討論正多面體棱數(shù)的所有可能值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】根據(jù)變量間的相關關系的定義求解．【詳解】解：A．等邊三角形的邊長與其面積的關系為，兩個變量是函數(shù)關系，不符合題意；B．勻速直線行駛的電車的位移與行駛時間的關系為，兩個變量是函數(shù)關系，不符合題意；C．雜交水稻植株的高度與土壤濕潤度具有相關關系，符合題意；D．汽車在陸地上的剎車制動時間與洞庭湖湖面上的空氣阻力不具有相關關系，不符合題意．故選：C．2．C【分析】利用三角函數(shù)誘導公式及定義法求向量數(shù)量積．【詳解】解：中，內角，，的對邊分別為，，，，，，則，故選：C．3．A【分析】先求出集合，然后結合集合的交集運算即可求解．【詳解】因為集合，若有且僅有3個不同元素，則這3個元素為3，2，1，故，即．故可取1，故選：A．4．A【分析】給出通項公式，令，即可求解．【詳解】解：二項式展開式通項公式為：，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為：，故選：A5．D【分析】令，把方程的根轉化成兩個圖象的交點問題，確定出的范圍，求解即可．【詳解】解：，，令，要使在有5個不相等的實數(shù)根，，解得：，故選：D．6．A【分析】求得，利用，解得即可判斷．【詳解】解：，由，即，解得：．由，得，由，得，函數(shù)在處取得極大值，故選：A．7．D【分析】根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法，借助古典概型求出條件概率.【詳解】令事件：兩人中至少有一人選擇翠湖公園景點，事件：兩人選擇的景點不同，則事件含有的基本事件數(shù)，事件含有的基本事件為，所以兩人選擇的景點不同的概率.故選：D8．B【分析】設，則，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)取得最大值時，點的坐標，進而可得出答案.【詳解】設，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，又，所以此時最大，此時，所以的最大值為.故選：B.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最小）值點，此結論在導數(shù)的實際應用中經常用到.9．AD【分析】由不等式的性質可判斷AD；取特值可判斷B；可化為，結合的單調性可判斷C.【詳解】對于A，因為均為正數(shù)，根據(jù)不等式的性質，所以可得，故A正確；對于B，取，此時滿足，但，故B錯誤；對于C，可化為，也即，因為函數(shù)在0,+∞上不單調，故C錯誤；對于D，由可得，即，因為均為正數(shù)，所以，故D正確；故選：AD10．ACD【分析】解方程得，根據(jù)復數(shù)減法運算及復數(shù)概念判斷A，根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷B，根據(jù)復數(shù)模的運算判斷C，根據(jù)共軛復數(shù)的定義和乘法運算求解判斷D．【詳解】由實系數(shù)一元二次方程求根公式知：方程的兩根為，對于A，，所以的實部為0，故A正確；對于B，在復平面內對應的點分別是，關于軸對稱，故B錯誤；對于C，，即，故C正確；對于D,，故D正確．故選：ACD．11．ABD【分析】根據(jù)題意，逐項計算求得，可判定A正確；根據(jù)題意，求得的表達式，可判定B正確；求得的值，猜想，利用數(shù)學歸納法，得到，，可得判定C錯誤；結合數(shù)學歸納法，可判定D正確.【詳解】因為數(shù)列an滿足，且當時，，對于A中，由，所以A正確；對于B中，當為偶數(shù)時，可得為奇數(shù)，可得且，則，即，所以，即，因為，所以，又因為，所以，所以B正確；對于C中，由，，猜想，當時，成立，假設，由，則，即時，也成立，所以，故不存在，所以C錯誤；對于D中，由成立，假設，則由，知，所以，即時，也成立，所以D正確.故選：ABD.【點睛】方法點撥：與新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.3、若新定義與數(shù)列有關，可得利用數(shù)列的遞推關系式，結合數(shù)列的相關知識進行求解，多通過構造的分法轉化為等差、等比數(shù)列問題求解，求解過程靈活運用數(shù)列的性質，準確應用相關的數(shù)列知識，也可以利用數(shù)學歸納法，進行證明.4、若新定義與集合的運算有關，要熟記集合的性質以及集合的運算法則，必要時可利用集合的韋恩圖，更加直觀的求解.12．##【分析】利用球和正四棱臺的體積公式直接建立等式計算即可．【詳解】解：球的體積為①，設正四棱臺的高為，則正四棱臺的體積為②，由，解得：．故答案為：．13．##0.375【分析】服從正態(tài)分布可得，由二項分布公式可求恰有2個單果的質量均不低于的概率.【詳解】由題可知，若從該果園中隨機挑選4個獼猴桃，則恰有2個單果的質量均不低于的概率為.故答案為：.14．##【分析】設，得出，整理，令，利用單調性求值域，即可求解．【詳解】解：設，，，，，，令，則在上單調遞減，在上單調遞增，，，則的最大值與最小值之和為，故答案為：．15．(1)(2)，研發(fā)投入10（億元）時產品的收益為21.2（億元）．【分析】（1）由所給數(shù)據(jù)求出，y，從而求出，再根據(jù)相關系數(shù)公式求出相關系數(shù)，即可判斷；（2）求出、，即可得到回歸直線方程，再令，即可得到預測值；【詳解】（1）由于，，又．．所以具有較高的線性相關程度．（2），將代入可得關于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程，得，預測研發(fā)投入10（億元）時產品的收益為21.2（億元）．16．(1)(2)【分析】（1）由拋物線的定義即可求解；（2）設直線的方程為，,，,，利用韋達定理及可得，，，進一步求出的中點坐標，然后求出直線的方程即可求解．【詳解】（1）由題可知，動點的軌跡為焦點在軸，開口朝右的拋物線，，曲線的方程為；（2）設直線的方程為，,，,，直線與拋物線聯(lián)立：，消去化簡得，則，即，，，又，即，又，，即，設點為的中點，則，直線的方程為，令，則，故點為定點，坐標為．17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）分當時，，當時，，得出是等比數(shù)列，求出的通項公式，需要驗證當時；（2）求出，表示出，適當利用放縮法證明，事半功倍.【詳解】（1）因為，為正項數(shù)列，當時，則，解得，當時，則，即，所以，則，故，，又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，當時，成立，；（2），，，當時，，即成立，當，，則，故，，，故成立.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，令最小值為0求得的值；（2）問題轉化為證明，設函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．【詳解】（1）函數(shù)，令得當時，在單調遞增；當時，在單調遞減；所以函數(shù)在時取最大值，當時，函數(shù);當??時，函數(shù)?

?;根據(jù)函數(shù)的單調性可知當最大值為0時，函數(shù)只有一個零點，易知，所以；（2）證明：不妨設要證明：，只需要證，易知由（1）可知在單調遞增，在單調遞減；所以只要證明，即證，設函數(shù)而，并且在區(qū)間上即在單調遞增，所以從而所以所以19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設此足球有個正五邊形，分別得頂點與棱數(shù)，再利用歐拉公式解得的值.（2）當凸多面體每個面均為三角形時，棱數(shù)最多，此時棱數(shù)與面數(shù)有關系.（3）設正多面體每個頂點有條棱，每個面都是正邊形，根據(jù)歐拉公式列出表達式，再由得不等式，分類取值即可.【詳解】（1）設足球有個正五邊形，則有