2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-3 .1 .2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究其幾何性質(zhì)

1.已知橢圓x2+my2=l的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m=（）

A.V2B.2C.7D.4

4

2.（2022天津三中期中）已知橢圓x2+2y2=2與2x2+y2=l,則兩個(gè)橢圓（）

A.有相同的長(zhǎng)軸與短軸

B.有相同的焦距

C.有相同的焦點(diǎn)

D.有相同的離心率

22

3.[2021新高考八省（市）聯(lián)考]橢圓向+a=l（m>0）的焦點(diǎn)為FiE,上頂點(diǎn)為A,若

NF1AF24，則m=（）

A.lB.V2C,V3D.2

4.設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在橢圓上，且NCBA=45。,若AB=4,BC=VX則橢圓的焦

距等于（）

遮

A..—4V6Bn.—2^C.—4V3Dc.—2

3333

題組二由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程

5.（2022四川涼山州月考）已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

4,焦距為2,則C的方程為（）

22

A%y1

A?五+適=1

B.—+—=1或旺+丫=1

16121612

22

43

2222

D*或％A】

22

6.（2021江蘇徐州沛縣學(xué)情調(diào)研）過點(diǎn)（2,舊）,焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓9+9=1有相同

43

的離心率的橢圓方程為（）

A12y2

A,+.二lB.3=I

641612

C*2=2lD.當(dāng)2?2=1

12986

22

7.以橢圓C：a+￡=l（a〉b〉0）的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等邊三

角形,且橢圓C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為6,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2222

A(xy

A.%-r+yJ=lB.—+^-=11

4384

c-2+^2l22

D..—%y1i

16126448

22

8.（2022湖南益陽期中）若橢圓C:J+4=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,焦距為2代橢圓C

Li{J

上的兩點(diǎn)P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,|PFHQF|=a，且PFJ_QF,則橢圓C的方程為.

題組三橢圓的離心率

9.設(shè)e是橢圓[+[=1的離心率，且e￡@,1）,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.（0,3）

C.（0,2）D.（0,3）U（y,+°0）

22

10.（2022廣東福田月考）已知橢圓號(hào)+5=l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是FiR,離心率

ab

為；,A是橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn)，且|AR|=|FF2|,則直線AB的斜率為（）

A.—B.V3C.—D.1

32

22

11.（2022四川樹德中學(xué)月考）已知橢圓J+-=l（a〉b〉0）上存在點(diǎn)P,使得|PFI|=3|PF2|,

ab

其中Fi,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

C.（Q）

22

12.（2022湖南桃江一中開學(xué)考試）已知F是橢圓J+2=l（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn),若過原

ab

點(diǎn)的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，且NAFB=120。,則橢圓的離心率的取值范圍是

（）

A停1）B.（譚

c.（咽咽1）

題組四直線與橢圓的位置關(guān)系

22

13.直線y=x+l與橢圓2+-=1的位置關(guān)系是（）

54

A.相交B.相切

C.相離D.無法判斷

2

14.（2022四川成都蓉城名校聯(lián)盟期中）直線y=x+m與橢圓1*+y2=l交于A,B兩點(diǎn)，

若弦長(zhǎng)|AB|=^，則實(shí)數(shù)m的值為（）

13

士B+C+

?----

A.22D+±2

22

15.直線y=x+l被橢圓-+3=1所截得的線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

4Z

22

16.過橢圓2+-=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)

原點(diǎn)，則△0AB的面積為.

22/q

17.（2022湖南邵陽期末）已知橢圓C：3+3=l（a>b〉0）的離心率為QFI,F2分別為橢圓

的左、右焦點(diǎn),Bi為橢圓的上頂點(diǎn),/kBiFFz的面積為遙.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線y=kx+m(kWO,mWO)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,P(O,；),|MP|=|NP|,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

能力提升練

題組一橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用

22

1.（2022江西景德鎮(zhèn)一中期末）已知點(diǎn)P（x,y）（xW0,yW0）是橢圓2+5=1上的一個(gè)動(dòng)

loo

點(diǎn),FiB分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),0是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是NF1PF2的平分線上的一

點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合），且瓦而?兩=0,則|加|的取值范圍為（）

A.[0,3）B.（0,2V2）

C.[2V2,3）D.[0,4]

22

2.（多選）（2022山東泰安月考）已知橢圓C*+廿l（a>b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為FbF2

且|FE|=2,點(diǎn)P（l,l）在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)Q在橢圓上，則以下說法正確的是（）

A.IQFil+IQPI的最小值為2a-l

B.橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2

C.橢圓C的離心率的取值范圍為（0,中）

D.若麗三而，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為遙+舊

22

3.（2022湖北黃岡中學(xué)期末）已知A,B為橢圓今+七=l（a>b>0）上的兩點(diǎn),F#2分別為

aD

其左、右焦點(diǎn)，且滿足麗=2月U當(dāng)NF1AF2苦時(shí)橢圓的離心率為.

22

4.（2022湖北武漢期末）已知橢圓3+T=l（a〉b〉0）的短軸長(zhǎng)為8,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)

aD

為B,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且AFiAB的面積為4,P為橢圓上的任意一點(diǎn),

則』++的取值范圍為

1^11上尸2|

22

5.（2022安徽蕪湖期末）已知橢圓C與+9=l（a〉b〉0）的焦點(diǎn)為FI（-2,0）,F2（2,0）.過Fi

且傾斜角為60。的直線交橢圓的上半部分于點(diǎn)A,以FiA,FQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊

作平行四邊形OFiAB,點(diǎn)B恰好也在橢圓上，則b2=.

題組二直線與橢圓的位置關(guān)系

6.（多選）（2022河北阜城中學(xué)期末）已知點(diǎn)和N（l,0）,若某直線上存在點(diǎn)P,

使得|PM|+|PN|=4,則稱該直線為“橢型直線”，下列直線是“橢型直線”的是

（）

A.x-2y+6=0B.x-y=0

C.2x-y+l=0D.x+y-3=0

22

7.（2022河南新鄉(xiāng)期末）已知橢圓GJ+與=l（a>b〉0）的右焦點(diǎn)為F（3位,0）,過點(diǎn)F的

au

直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（魚,-&）,則橢圓G的方程為（）

8.（2022陜西西安中學(xué)月考）已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x,y）滿足

+y2+2y+1+J%2+y2_2y+1=2魚廁曲線C上到直線2x-y-4=0的距離最

近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A怎,與B伊?xí)?/p>

C）口（篝）

22

9.（2022湖南湘潭月考）已知點(diǎn)P（0,l）為橢圓CJ+與=l（a>b>0）上一點(diǎn)，且直線

LtU

x+2y-2=0過橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）不經(jīng)過點(diǎn)P（0,l）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),記直線AP,BP的斜率分別

為kik,若ki+k2=-2,則直線1是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),

請(qǐng)說明理由.

10.(2022湖南師大附中期末)如圖，已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn)E(-l,0),且與圓F:(x-l)2+y2=8

內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過圓心F的直線1交曲線C于A,B兩點(diǎn)，問:在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)直

線1繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，刀-而為定值?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和邁-麗的值；

若不存在,請(qǐng)說明理由.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.D易知長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2,短軸長(zhǎng)2b=2R

所以4口=2,解得m=4.故選D.

2

2.D將橢圓方程x2+2y2=2整理得：+y?=l,其焦點(diǎn)在x軸上,ai=VXbi=l,則

ci=J詔碎=1,所以ei='W=當(dāng)

將橢圓方程2x2+y2=l整理得2+y2=l,其焦點(diǎn)在y軸上,a2=l,b2=4則ci-yfa^bf--,

—22

2

V?廠

所以e2=2=H=上故選D.

。212

3.C由題意得a=V^記4Z,b=m,c=l,NFiAO==（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則tan二=￡/=土所

66bm3

以m=B.故選C.

22

4.A不妨設(shè)橢圓的方程為?++=l(a〉b>O),A,B分別為長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，則

於b乙

2a=4,C(1,1)或C(l,-1),所以a2=4,于是"：=1,解得b?2，所以c=、=至所以焦距

4b3Al33

2c=^

3

5.D由題意得a=2,c=l,...b2=a2-c2=3.

2222

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)橢圓的方程為：+：=1,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為：+：=L

故選D.

6.D設(shè)所求橢圓方程為F+H8。)，將(2，8)代入可得:+；=兒即九=2,所以所求橢圓

22

方程為=+2=1.故選D.

86

a

(b=V3c,(-4,22

7.C由題意可得(a+c=6,解得b=2g,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+±=1.

(a2=b2+c2,(c=2,

8.答案士+%1

83

解析設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F,則F(-c,O),由橢圓的對(duì)稱性可知

|PF|-|QFU|QF|-|QF|=a,又因?yàn)閨QF|+|QF|=2a,所以|QF嚀,|QF|1,由PFd_QF得

NFQF=90。,在RtAF'QF中,由勾股定理得|QFF+|QFF=|FF|2,

即《+至=(2C)2=20,解得a2=8,又因?yàn)?，所以b2=aZc2=3,因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

44

22

為j

83

9.D當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在*軸上時(shí)上>僅與0，*91),.，”6，+8);當(dāng)

橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),04<4所手￡Gl),，k￡(0,3).綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范

圍是(0,3)U(,+8).故選D.

10.B依題意e—2,即a=2c.又因?yàn)閨AFi|+|AF2|=2a,|FiF2|=2c,|AFi|=|FiF2],所以

a2

|AF2|=2c,所以aAFE是等邊三角形，所以NAFF2=60。,所以%尸產(chǎn)anNAFE=tan

60。=舊,故選B.

11.D由橢圓的定義得|PFi|+|PF2|=2a,

XV|PF1|=3|PF2|,.*.|PFi|A,|PF2|^a,

而|PFIHPF2|W|FE|=2C,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即:a-%W2c,解得

e一次，即Me<l,故選D.

a22

12.D設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F,連接AF,BF,則四邊形AFBF為平行四邊

形,NFAF=60。,在4人尸尸中,由余弦定理得

|FF'|2=|AF|2+|AF|2-2|AF|?|AF'|COSZFAF=(|AF|+|AF|)2-3|AF|?|AF|,所以

(|AF|+|AF|)2-|FF|2=3|AF|?|AF|W3(竺詈)，即，|AF|+|AF|)2W|FF|2,當(dāng)且僅當(dāng)

|AF|=|AF|時(shí)等號(hào)成立，則44a2W4c5可得橢圓的離心率e-次，所以故選

D.

22

13.A直線y=x+l過點(diǎn)(0,1),將(0,1)代入：+彳=1,得0+；<1,即點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)部，所

以直線與橢圓相交.

y=x+m,

14.B設(shè)A(xi,yD,B(X2,y2),聯(lián)立,2消去y并整理得3x2+4mx+2m2-2=0,

匕+y=L

則X1+X2=-%,X1X2=巴二，所以弦長(zhǎng)

33

|AB|=V1+I2?+%2)2-4%]%2=近,J^~-4?=41,解得

m=±l,故選B.

(y=x+1,

15.C聯(lián)立/21消去y并整理，得3x2+4x-2=0.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為

A(xi,yD,B(X2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M(xo,yo),則xi+x2=T，xo=g^=-jyo=xo+l=；,

???所截得的線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

16.答案-

3

解析由題意知橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),又因?yàn)橹本€的斜率k=2,所以直線的方

22

程為y=2(x-l),將其與方程：+3=1聯(lián)立，消去y并整理，得3x2-5x=0.設(shè)

A(xi,yi),B(X2,y2),則xi+x2=：,xiX2=0,所以

|AB|=V1+k2,|xi-X2|=Vl+k2?J(%1+%2)2-4%I%2=V1+-4X0=孚

設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d,則d=亍%=獨(dú)?所以SAOAB-|AB|-d-x^xfe.

V(-l)2+2252112353

17.解析(1)S^BIFIF2=；*2c,b=bc=B，又,.\=4，a2=b2+c2,...a=2,b=l,.,.橢圓C的

2

方程為:+y2=1.

⑵由｛；2：察：4消去丫并整理，得(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0.

設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2),則XI+X2=￡^,

由A=64k2m2-4(4k2+l)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.

設(shè)MN的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xo,yo),

則xo="=手,y°=kxo+m=^+m=+，即D(華

22222

24k+1」4k+14k+1\4k+l4/c+17

1

?.?|MP|=|NP|,.\DP，MNW^=」，

X0k

4k2=-6m-l,

-6m-l>0,

2一1解得

-6m-l>m

???實(shí)數(shù)m的取值范圍是

能力提升練

1.B如圖，延長(zhǎng)PF2,FIM交于點(diǎn)N,則APFiN為等腰三角形,M為FiN的中

點(diǎn),1兩?三I3I三麗-訊臼所>1電II.由圖可知，當(dāng)p在短軸端點(diǎn)時(shí),i而?取得最

小值，此時(shí)I加1=0；當(dāng)P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),|加|取得最大值，此時(shí)|而|=2讓,又因?yàn)辄c(diǎn)P

不能在坐標(biāo)軸上，所以舊祈的取值范圍為(0,2夜).

2.ACD因?yàn)閨FE|=2,所以F2（l,0）,|PF2|二l,所以

|QFi|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|22a-|PF2|=2a-l,當(dāng)點(diǎn)Q在F2P的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，故A

2

正確;若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,即2b=2,則b2=l,a2=2,所以橢圓的方程為>y2=l,又因

為，F(xiàn)>1,則點(diǎn)p在橢圓外,所以短軸長(zhǎng)不可能為2,故B錯(cuò)誤;因?yàn)辄c(diǎn)P(l,l)在橢圓

內(nèi)部，所以9*1,又因?yàn)閍Zb2=l,所以：+；<l(a>l),即a4-3a2+l〉0(a〉l),所以

*b，azaz-l

2

a?〉竺竺所以a〉*,所以e士絲所以e￡(0,回),故C正確；若嗝=取,則Fi為

線段PQ的中點(diǎn)，所以Q(-3,-l),又因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以9：=1,又因?yàn)閍2-b2=l>

以》；=l(a>l),即a4-lla2+9=0(a>l),所以a2=$=亞?，所以a=^^，所以橢圓

azaz-l242

C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為遍+后,故D正確.故選ACD.

J3?定1=1案—

9

解析由題意得A,Fi,B三點(diǎn)共線，設(shè)|FiB|=m(mW0),則|AFi|=2m,|AB|=3m.在橢圓

中,|FIF2|=2C,NFIAF2三，由橢圓的定義可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在AFiAFz中，由

余弦定理得|F/2|2=|ZFI|2+|AF2|2-2|AFI||AF2|?COSZFIAF2,BP

4c*2=*44m2+(2a-2m)2-2?2m?(2a-2m),cos%化簡(jiǎn)得c2=a2+3m2-3am.i2hAABF2中，由

余弦定理得|BF2『=|AB|2+|AF2|2-2|AB|?IAF2ICOSNBAF2,即

(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2?3m,(2a-2m),cos',化簡(jiǎn)得9m2-5am=0,因?yàn)閙WO,所以

m=2a,所以c2=a2+3,—a2-3a,所以匚生.

981927a9

>1=1\_5f8.

解析由已知得2b=8,故b=4,丁AFiAB的面積為4,.-.i(a-c)b=4,a-c=2,又「

a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,^a+c=8,「?a=5,c=3,

?1|1_|PF1|+|PF2|

??|PF1I|PF2||PF1||PF2|

_2a_10

|%|(2a-|P%|)IPFiKlO-IPFil)

_10_10

尸產(chǎn)1『+1O|PF1|-(|P尸11-5)2+25'

又?.?a-c<|PFi|Wa+c,即2W|PFi|W8,.??當(dāng)|PFi|=5時(shí),-(|P0卜5>+25有最大值，為25;

2

當(dāng)|PFi|=2或|PFi|=8時(shí),-(|PFi卜57+25有最小值，為16,即16<-(|PF1|-5)+25<25,

與上+上W吧,即三w上+」W3

25IPF1I\PF2\165IPF1I\PF2\8

5.答案2遮

解析依題意可知c=2,設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),因?yàn)樗倪呅蜲FiAB為平行四邊形，所以

yi=y2,又因?yàn)?捻=1*梟,所以x2=-xi,因?yàn)镕iA〃OB,且直線FiA的傾斜角為60。,

22r

所以工=^=g,所以Xi=-1,X2=1,yi=y2=g,所以A(-1,g),將其代入f=1,得1,

%1+2%2a匕db

又因?yàn)閍?-b2=c2=4,所以a2=4+2V3,b2=2V3.

6.BC|PM|+|PN|=4〉|MN|=2,根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢

22

圓，且a=2,c=l,所以b2=a2d=3,所以橢圓的方程為匕+2=1.由題意知“橢型直線”與

43

*j

橢圓有公共點(diǎn)，對(duì)于A,聯(lián)立l+L消去x并整理得2y2-9y+12=0,所以A<0,

、%-2y+6=0,

方程組無解，所以A中直線不是“橢型直線”；同理,D中直線也不是“橢型直線”；

對(duì)于B,直線x-y=O過原點(diǎn)，必與橢圓相交,所以是“橢型直線”；對(duì)于C,因?yàn)橹本€

2x-y+l=0過點(diǎn)(0,1),且點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)部，則該直線必與橢圓相交，是“橢型直線”.

故選BC.

但=1

7.D設(shè)點(diǎn)A(xi,yD,B(X2,y2),則代9‘兩式作差得學(xué)+與=0,整理可得銬=-匕

Ix2I^2_〔abxfx2a

1/9一'

2

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則M(V2,-V2)J(JkAB-k0M-^?心=--,又因?yàn)?/p>

%-%2%i+%2

kAB=kMF=^=沁M(jìn)=1所以與沁I?所以ft=*2=I*解得償="，因

3V2-V22az22(臚=2b,W=18,

22

此橢圓G的方程為上+匕=L

3618

故選D.

8.B原等式可化為J%2+(y+1)2+J%2+(y；)2=2VX設(shè)F1(O,-1),F2(O,1),則

|FIF2|=2,.\|PR|+|PF2|=2夜〉|FIF2|=2,.,.點(diǎn)P的軌跡是以BR為焦點(diǎn)的橢圓，且

c=l,a=VXb2=l,

???曲線C的方程是x2+9=l,設(shè)與直線2x-y-4=0平行且與曲線C相切的直線方程為

r2x-y+t=0,

2x-y+t=0(tW-4).聯(lián)立?/_消去y并整理，得6x2+4tx+t2-2=0,

X2H-1.

12

A=16t2-24(t2-2)=0,t=±V6,

易知當(dāng)t=-逐時(shí)，切點(diǎn)到直線2x-y-4=0的距離最近，此時(shí)可求得x*y=￥，故所求點(diǎn)

的坐標(biāo)是(一廣專?故選B.

9.解析(1)由題意知P(0,l)為橢圓的上頂點(diǎn)，則b=l,在x+2y-2=0中，令y=0,可得x=2,

即c=2,

所以a2=b2+c2=1+4=5,

所以橢圓C的方程為:+y2=l.

(2)當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí),

設(shè)A(xo,yo),B(xo,-yo)(-A/^<xo<V^MxoWO),

則ki+k2=^+2=2,解得xo=l,所以直線方程為x=l;

%0%0

當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m,A(xi,yi),B(X2,y2),

y=kx+m,