【知識點歸納】高中數(shù)學選修1-1知識點總結(jié)歸納

高中數(shù)學選修1-1知識點總結(jié)歸納

常用邏輯用語

1.1命題及其關(guān)系

1.1.1命題

1、命題：一般地，在數(shù)學中我們把語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做

命題。其中判斷為真的語句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題。

2、命題的構(gòu)成：在數(shù)學中，命題通常寫成“若p,則q”的形式。其中〃叫做命題的條件,

q叫做命題的結(jié)迨。

1.1.2四種命題

3、互逆命題：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)

論和條件，那么我們這樣的兩個命題叫做互逆命題。其中一個命題叫做原命題,另一個叫做

原命題的逆命題。如果原命題為“若p,則q"，則它的逆命題為“若q，則p”.

4、互否命題：一般地，對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條

件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題。如果把其中的一個命題叫做

原命題，,那么另一個叫做原命題的否命題。如果原命題為“若p,則q"，則它的否命題

為“若則.

5、互逆否命題：一般地，對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的

結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。如果把其中的一個命

題叫做原命題,那么另一個叫做原命題的逆否命題。如果原命題為“若p,則q"，則它的

逆否命題為“若［4,則「P”.

原命題若p,則q

逆命題若q,則p

否命題若一1〃,則—\q

逆否命題若一it7,則一!〃

1.1.3四種命題間的相互關(guān)系

7、四種命題間的相互關(guān)系：一般地，原命題、彘即、牌?命題與逆否命題這四種命遵彝俞題

苴逆

若一1〃，則一14若一,則~~P

的相互關(guān)系：

8、四種命題的真假性：一般地，四種命題的真假性之間的關(guān)系：

（1）兩個命題和互否命題，它們有相同的真假性：

（2）兩個命題為互逆否命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

1.2充要條件與必要條件

1.2.1充分條件與必要條件

1、充要條件與必要條件：一般地，“若“，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.

這時，我們就說，由p可推出q,記作〃=q,并且說“是。的充分條件,q是p的必要

條件。如果“若p,則q為假命題”，那么由p推不出q,此時我們就說p不是q的充分條

件，q不是p的必要條件。

1.2.2充要條件

2、一般地，如果既有〃=<7,又有qn〃，就記作〃.此時，我們說，〃是。的充分

必要條件,簡稱充要條件。

1.2內(nèi)容總結(jié)

條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論用集合表示p：A,q：B

p=qp是q的充分條件A^B

qnpp是q的必要條件BeA

pnq且qKpp是9的充分不必要條件AUJ?

pAq且qnpp是q的必要不充分條件B\JA

poqp是q的充要條件A=B

pNqS.qNpp是q的既不充分A08且30A

2

也不必要條件

1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)構(gòu)

1.3.1且(and)

1、〃且q定義：一般地，用關(guān)聯(lián)詞“且”把命題〃和命題q連接起來，就得到一個新命題,

記作〃八4,讀作“p且q”.與集合=且xeB}相關(guān)。

2、p且q的真假：當p,q都是真命題時，?八4是真命題；當p,q兩個命題中有一個

命題是假命題時，〃八4是假命題。簡記為：一假則假，同真則真。

1.3.2或(or)

3、〃或q定義：一般地，用關(guān)聯(lián)詞“或”把命題〃和命題q連接起來，就得到一個新命題,

記作prq,讀作"p或q".與集合4IJB={x|xe4或xe3}相關(guān)。

4、p或q的真假：當p,q兩個命題中有一個命題是真命題時，是真命題；當p,

q兩個命題都是假命題時，是假命題。簡記為：一真則真，同假則假。

1.3.3非(not)

5、〃非q定義：一般地，對一個命題〃全盤否定，就得到一個新命題，記作「p,讀作

“非p”或“p的否定”.與集合街A={x|xeU且工仁4}

6、〃非g的真假：若p是真命題，「〃必是假命題；若〃是假命題，則「〃必是真命題。

簡記為：與p真假性相反。

1.4全稱量詞與存在量詞

1.4.1全稱量詞

1、定義：短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量翅，并用符號“V”

表示。含有全程量詞的命題，叫做全稱命題。

2、表述形式：對M中任意一個尤，有p(x)成立。符號簡記為VxeM,p(x).

1.4.2存在量詞

3、定義：短語“存在一個”“至有少一個"在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“三”表

示。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。

4、表述形式：存在"中的一個小,是〃(/)成立。符號簡記為p(%).

3

1.4.3含有一個量詞的命題的否定

5、全稱命題的否定：一般地，對于含有一個量詞的全程命題的否定，有下面的結(jié)論：

全稱命題p：VxeM,p(x),它的否定可：3x0eM,-＞p(x0).

全稱命題的否定是特稱命題。

6、特定命題的否定：一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：

特稱命題p：3x0eA/,〃(%),它的否定「p：VxeM,-＞/?(%).

特稱命題的否定是全稱命題。

第二章圓錐曲線與方程

2.1橢圓

2.1.1橢圓及其標準方程

1、橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點耳，鳥的距離之和等于常數(shù)(大于比巴|)的點的軌跡

叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。用集合語言表示:

P={M^PF}\+\PF2\=2a,2a＞山鳥|}

2、橢圓的滿足條件：①當+4=2"＞山閭時，M的軌跡為橢圓；

②當可用+|"周=為=閨用時，M的軌跡為耳，身為端點的線段;

③當用+|M用=2a＜忻用時，M的軌跡不存在。

22

3、橢圓的標準方程：①焦點在X軸上：*?+專■=](。＞/2＞0)

我們把這樣的方程叫做橢圓的標準方程，兩個焦點分別是

耳(-c,0),F2(C,0),這里

2v-2

②焦點在y軸上：企v+$=1(。>匕>0)兩個焦點分別為

耳(0,-c),F2(O,c).

③當焦點不確定可設(shè)為：twC+ny2=1(m>0,n>0,m^n)

2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(設(shè)橢圓的標準方程為K瓦1(6f>/?>0))

4

4、范圍：由圖可知，橢圓上點44為長軸，橫坐標的范圍是

-a<x<a（。為長半軸長）。4層為短軸，縱坐標的范圍是

-b<y<b（人為短半軸長）。

5、對稱軸：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

6、頂點：橢圓與它的對稱軸有四個焦點，這四個交點叫做橢圓的

頂點。線段A4的長等于2a,線段的長等于2b.

7、離心率：橢圓的焦距與長軸長的比反叫做橢圓的離心率，常用e

a

表示，即e=￡,離心率的范圍：0<e<Le越接近于。，從而』=，/一/越小,因此橢

a

圓越扁；反之，當e越接近0時，c接近于0,從而b越接近于a,這時橢圓就越接近圓。

當且僅當。=/?時，c=0,這時兩個焦點重合,圖形變?yōu)閳A，它的方程為/+>2=/

橢圓補充內(nèi)容

8、離心率公式推導：

P在y軸上：e=—=.1-^-=cosZOF^B

a\a"

B+y

.cos匚-

c.sincz2

P不在y軸上：e=-----------=----六一

sin夕+sinycos/>~r

9、交點三角形面積公式：

周長公式：C=2（a+c）

10、橢圓的第二定義：平面內(nèi)，若動點、M（x,y）與定點F（c,0）的距離和它到定直線

2

/:x=幺的距離的比是常數(shù)5g>C>0）,則M的軌跡是一個橢圓。

注：①常數(shù)為離心率，定直線為橢圓的準線②/《/

X

焦半徑：設(shè)P（x0,%）.

當焦點在X軸上時，歸周左二^+倏，忙用右="%.

當焦點在x軸上時，歸浦下=4+e%，|P可上=4一"0.

11、直線與橢圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系的判定：聯(lián)立＜/+瓦°）消去x或消去y解方程。

Ax+By+C=O

①當直線與橢圓有兩個焦點時，直線與橢圓相交，即A＞0；②當直線與橢圓有一個焦點時,

直線與橢圓相切，即△=（）；③當直線與橢圓無焦點時，直線與橢圓相離，即△＜（）.

12、弦長公式

設(shè)直線y=Ax+b與橢圓相交于4（%,%）,%）兩點，則弦長公式為：

|AB|=|Xj-8M+、=jl+&2?J（X]+工2）2―4中2

2

IAB|=|y-'\l（yl+y2）-4yly2

13、中點弦長公式（P點在弦AB的中點）斗

焦點在x軸上：k0P-kAli=-p-；焦點在y軸上：kOP-kAK―

2.2雙曲線

2.2.1雙曲線及其標準方程

1、雙曲線的定義：我們把平面內(nèi)與兩個定點”，鳥的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于

忻/|）的點的軌跡叫做雙曲線。兩個定點不v叫做雙曲線的焦點,兩焦點的距離忻用

叫做雙曲線的焦距。用符號表示：歸用一|P圖=2a＜忻用=2c.

2、雙曲線的軌跡：①當0＜2々＜巧用時，耳，鳥的軌跡為雙曲線；②當2a=忻用時,

動點的軌跡以片或居為端點的射線；③當2a＞忻6|,則動點軌跡不存在。

2

X

3、雙曲線的標準方程：①焦點在九軸上：—左=l(a>0,b>0).

a"

我們把這樣的方程叫做雙曲線的標準方程，兩個焦點分別是耳（-C,0）,E（c,0）的雙曲

線，這里c2=a2+4.

②焦點在y軸上：斗一，=1（。>0,6>0）.兩個焦點分別為6（0,-。），6（0,c）.

③當焦點不確定可設(shè)為：nvC+ny2=1（m>0,n>0,m。n）

2.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（設(shè)雙曲線的標準方程為1（<z>0,。>0））

/b2

4、范圍：雙曲線在不等式與所表示的區(qū)域內(nèi)，而在-a<x<a之間沒有圖像。

5、對稱軸：雙曲線既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。

6、頂點：雙曲線和它的對稱軸有兩個焦點，他們叫做雙曲線的頂點。

線段44叫做雙曲線的實軸，它的長度等于2a,a叫做雙曲線的

實半軸長；線段片員叫做雙曲線的虛軸，它的長度等于2人，〃叫做

雙曲線的半虛軸長。

x~＞，2

7、（1）漸近線的意義：雙曲線f=1的各支向外延伸時,與

這兩條直線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線。當在

b

》軸上時，矩形的兩條對角線所在直線的方程式y(tǒng)=±-x；當在y軸

a

上時，矩形的兩條對角線所在直線的方程式）=±*乩

（2）等軸雙曲線：如果a=。，那么雙曲線的方程為乂一丫2=。2,它的實軸與虛軸的長都

等于2a,它的一般形式：f—y2=2（2/0）（九>0,在X軸；2>0,在y軸）；漸近

線方程為y=±x；離心率：e=0

8、離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比上叫做雙曲線的離心率，因為c>a>0,所以雙曲

a

線的離心率e=￡>l.e越接近于1,雙曲線開口越小。

a

雙曲線補充內(nèi)容

7

b2

10、焦點三角形面積公式：S"FF="*ma

圳島1-cosa

II、雙曲線的第二定義：動點到定點廠的距離與它到定直線/的距離

之比是常數(shù)e(e>l).

12、直線與雙曲線的位置關(guān)系

I:y=kx+m

位置關(guān)系的判定：聯(lián)立直線/與雙曲線C：\f,2消y帶入雙曲線C可解。

b

(1)當左=士一，若加。0,方程有一根，直線與雙曲線有一焦點，此時直線平行于漸近

a

線；若機=0,方程無根，直線與雙曲線無焦點，該直線就是漸近線。

b

(2)當4力士±，①八>0時，直線與雙曲線有兩個相異焦點；②△=()時，直線與雙曲線

a

相切，有一個焦點；③A<0時，直線與雙曲線相離，沒有交點。

13、弦長公式

設(shè)直線丁=丘+人與雙曲線相交于A(x”yj,8(%,%)兩點，則弦長公式為:

2

|AB|=Jl+公\xt-x2\=\/l+k-J%+工2)2-4X/2

|陰=\1+一%|［（凹+必）2-4%>2

14、中點弦公式

已知A(玉，yj,B(X2,%)是雙曲線，一%'=1(。>0，匕>0)上的兩個不同的點,

(22

二」=1

M(%為)是線段A8的中點,貝叼：°

三—五=1

15、共輾雙曲線(以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線)

8

①有共同的漸近線；②4+4=1

4W

2.3拋物線

2.3.1拋物線及其標準方程

1、定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點尸叫

做拋物線的焦點，直線/叫做拋物線的準線。

2、拋物線標準方程的四種形式

圖形標準方程交點坐標準線方程

1y2-2px

r-p

~0x-----

(p>0)加2

y

y2=-2px

-P

工X

(p>0)(2

x2=2py

P

y=—

(p>0)2

x2=-2py

P

(p>0)1。■()

①焦點在一次項所含未知數(shù)的軸上，②開口由一次項系數(shù)正負決定，③焦點的非零坐標是一

次項系數(shù)的

4

2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(設(shè)拋物線的標準方程y2=2px(p>0))

3、范圍：因為p〉0,由方程可知，對于拋物線y2=2px(p>0),%>0,所以這條拋物

線在y軸的右側(cè)，開口方向與x軸正向相同；當%的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線

向右上方和右下方無限延伸。

9

4、對稱軸：拋物線y2=2〃x(〃>0)對稱軸是以x軸為對稱軸的軸對稱圖形。

5、頂點：拋物線和它軸的交點叫做拋物線的頂點。

6、離心率：拋物線上的點到焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率，用e

表示。由定義可知：e=l

拋物線補充內(nèi)容

7、拋物線與直線的位置關(guān)系

設(shè)直線1:y=辰+。與拋物線丁=2PMp>0),公共點的個數(shù)等于方組

y=kx+b

4,不同實數(shù)解的個數(shù)。

y=2px

①當女聲0,則當A>0時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當A=0時，直線與拋物

線相切，有一個公共點：當A<0時，直線與拋物線相離，無公共點。

②當左=0,則直線y與拋物線相交，有一個公共點。特別地，設(shè)x=m,則當加>0時

直線/的斜率不存在時，/與拋物線相交，有兩個公共點；當〃2=0時，/與拋物線相切，有

一個公共點；當〃?<0時，/與拋物線相離，無公共點。

8、弦長公式

設(shè)A(%,yj,B(X2,必)是直線丁=依+6與拋物線的交點，則弦長公式為:

22

|AB|-\Jl+k1%]—x2\=J1+A:&+工2）~—4玉龍2

網(wǎng)=J+妥比fl（y]+必）2-仙必

9、中點弦

設(shè)A(X，yj,8(9,%)是拋物線y?=2/?x(p>0)上的點，中點A/(不，％),則

的斜率為上，則上二&=上一=2

為西一々X+必先

第三章導數(shù)及其應用

3.1變化率與導數(shù)

3.1.1變化率問題

10

i、平均變化率：設(shè)玉，々是函數(shù)y=/(x)定義域內(nèi)兩個不同的數(shù)，把式子"：)一；&)

稱為函數(shù)y=/(x)從X]到4的平均變化率。習慣上用Ax表示々-玉，也可把Ax看作是

相對于王的一個“增量”，可用玉+Ax代替馬；類似地，均=/(%)—/(%).于是，平均

變化率可以表示為包

\x

3.1.2導數(shù)的概念

2、瞬時速度

把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。一般地，函數(shù))=/(X)在x=/處的瞬時變化率

是lim—=lim"“。，我們稱它為函數(shù)y=/(可在x=/處的導數(shù)，

Ar->0Ar->0

記作/(%)或y'L%，即1(Xo)Tim'Tim""+y一〃/)

刈foISXAx-?o"

3.1.3導數(shù)的幾何意義

3、切線方程：求函數(shù)在點(%，3小))處的導數(shù)/'(%)=lim""+A")―/"o)=.,

—Ax

得到曲線在點p(xa,/(/))處的切線的斜率。

3.2導數(shù)的計算

3.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)

1、函數(shù)？=/(力=°的導數(shù)：y'=lim—=lim0=0

AITOAATO

2、函數(shù)y=/(￡)=x的導數(shù)：y'=Uni—==

Av->0AxAATO

3、函數(shù)y=/(x)=%2的導數(shù)：y'=lim'=lim(2x+a)=2x

Ax->0A%

4、函數(shù)y=/(x)=：的導數(shù)：y'=]img=Hm12：J=T

AAVTOAX&TO\A-bA-ISX)X

3.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則

5、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

11

⑴若/(x)=c,貝尸(x)=o；⑵若=則廣(X)=0";

(3)若〃x)=sinx,則/*(x)=cosx；(4)若〃x)=cosx,則/*(x)=-sinx；

(5)若/(%)=優(yōu)，則/(x)=a」lna(a>0)；(6)若=則/(%)=，；

(7)若/(x)=log〃x,則尸(工)=^—(?>0,且awl)；

⑻若〃x)=lnx,則廣(x)=J(9)若〃x)=:,則,(x)=—

6、導數(shù)的運算法則

(10)[/(x)±g(x)T=/(X)士g〈x)；

(11)[/(x)?g(x)]'=/'(x)g(力+/(x)g'(x)；

回瑞卜f產(chǎn)(四對

(13)[c/'(%)],=c1/(x)+c[/(x)T=c尸(x).

推導：

(14)[/(x).g(x>Mx)T=.1r(x)g(x)〃(x)+/(x)g，(x)〃(x)+/(x)g(x)/r(x)

(15)"(x)±g(x)±〃(x)]'=/(x)±g'(x)±/?'(x)

3.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

1、函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的關(guān)系：在某個區(qū)間(。，6)內(nèi)，如果/'(x)>0,那么函數(shù)

y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果/(x)<0,那么函數(shù)