2025高考數(shù)學一輪復習-7.3空間直線、平面的平行【課件】

第七章立體幾何與空間向量第3節(jié)空間直線、平面的平行ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實1(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.1.直線與平面平行(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內的__________平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質定理一條直線和一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與______平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b一條直線交線(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質定理2.平面與平面平行

文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面內的兩條__________與另一個平面平行，那么這兩個平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β相交直線性質兩個平面平行，則其中一個平面內的直線______于另一個平面α∥β，a?α?a∥β性質定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面_____，那么兩條______平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b平行相交交線1.平行關系中的三個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.三種平行關系的轉化×解析(1)若一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內，故(1)錯誤.(2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤.(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤.1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.(

) (2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(

) (3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

) (4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.(

)××√D解析因為a∥平面α，所以直線a與平面α無交點，因此a和平面α內的任意一條直線都不相交，故選D.2.下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是(

) A.直線a上有無數(shù)個點不在平面α內 B.直線a與平面α內的所有直線平行 C.直線a與平面α內無數(shù)條直線不相交 D.直線a與平面α內的任意一條直線都不相交B解析根據(jù)m?α，m∥β得不到α∥β，因為α，β可能相交，只要m和α，β的交線平行即可得到m∥β；反之，α∥β，m?α，所以m和β沒有公共點，所以m∥β，即由α∥β能得到m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件.3.設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，則“m∥β”是“α∥β”的(

) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析A.若m∥α，n∥β且α∥β，則可能m∥n，m、n異面，或m，n相交，A錯誤；B.若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正確；C.若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，又α∥β，m?β，故m∥β，C正確；D.若m∥n，n⊥α，則m⊥α，又α⊥β，則m∥β或m?β，D錯誤.4.(多選)已知m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個不重合的平面，則下列說法正確的是(

) A.若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n B.若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β C.若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥β D.若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥βBC解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正確；5.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，下列四個推斷中正確的是(

) A.FG∥平面AA1D1D B.EF∥平面BC1D1 C.FG∥平面BC1D1 D.平面EFG∥平面BC1D1AC∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故B錯誤；∵E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯誤.解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.6.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為______________.平行四邊形KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2證明

法一如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.例1

如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.角度1直線與平面平行的判定∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二如圖，在平面ABEF內，過點P作PM∥BE交AB于點M，連接QM.則PM∥平面BCE，∵PM∥BE，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.證明

如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，例2

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.角度2直線與平面平行的性質∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.證明如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.因為O，M分別為AC，EF的中點，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.訓練1

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點. (1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關系，并證明你的結論.解

l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.證明

由題設知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.例3

如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. (1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，證明：B1D1∥l.證明

由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應用(1)兩平面平行，分別構造與之相交的第三個平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內的兩條直線是相交直線.證明

∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點，∴EF∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，訓練2

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點. (1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；則BF∥A1G，∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點.證明

∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點G，則有經(jīng)過G的直線，設交BC于點H，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點，∴H為BC的中點.所以BC∥AE，BC＝AE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O為AC的中點.又因為F是PC的中點，所以FO∥AP，因為FO?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)求證：GH∥平面PAD.證明

連接OH，因為F，H分別是PC，CD的中點，所以FH∥PD，因為PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因為O是AC的中點，H是CD的中點，所以OH∥AD，因為AD?平面PAD，OH?平面PAD，所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因為GH?平面OHF，所以GH∥平面PAD.證明如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以O為AE的中點.訓練3

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點.求證：(1)BE∥平面DMF；連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)平面BDE∥平面MNG.證明因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥NG，又DE?平面MNG，NG?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，N為AD的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3解析對于A，若直線l在平面α內，l上有兩點到α的距離為0，相等，此時l不與α平行，所以A錯誤；1.(多選)已知α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線.給出下列命題，其中正確的命題是(

) A.若l上兩點到α的距離相等，則l∥α B.若l⊥α，l∥β，則α⊥β C.若α∥β，l?β，且l∥α，則l∥β D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nBC對于B，因為l∥β，所以存在直線m?β使得l∥m，因為l⊥α，所以m⊥α，又m?β，所以β⊥α，所以B正確；對于C，l∥α，故存在m?α使得l∥m，因為α∥β，所以m∥β，因為l∥m，l?β，所以l∥β，C正確；對于D，因為m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D錯誤.解析把這三條線段放在正方體內可得如圖，2.如果AB，BC，CD是不在同一平面內的三條線段，則經(jīng)過它們中點的平面和直線AC的位置關系是(

) A.平行

B.相交 C.AC在此平面內

D.平行或相交A顯然AC∥EF，AC?平面EFG，∵EF?平面EFG，故AC∥平面EFG.解析A中，a可以在過b的平面內；B中，a與α內的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確.3.下列命題中正確的是(

) A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行 C.平行于同一條直線的兩個平面平行 D.若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD解析如圖所示，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.4.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有(

) A.0條

B.1條 C.2條

D.1條或2條C∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以與平面α(平面EFGH)平行的棱有2條.解析如圖所示，延長AE交CD于H，連接FH，B因為平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.A.沒有水的部分始終呈棱柱形B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值C.隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D.當容器傾斜如圖(3)所示時，AE·AH為定值6.(多選)如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD－A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結論，其中正確的是(

)AD解析根據(jù)棱柱的特征(有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行)，結合題中圖形易知A正確；由題圖可知水面EFGH的邊EF的長保持不變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知B錯誤；因為A1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當平面EFGH不平行于平面ABCD時，A1C1不平行于水面所在平面，故C錯誤；當容器傾斜如題圖(3)所示時，因為水的體積是不變的，所以棱柱AEH－BFG的體積V為定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確.解析由面面平行的性質定理可知，①正確；當m∥γ，n∥β時，n和m可能平行或異面，②錯誤；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以m∥n，③正確.7.設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題. ①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.

可以填入的條件有________(填序號).①或③8.下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________.①④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.解析如圖所示，設Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.9.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________________時，有平面D1BQ∥平面PAO.Q為CC1的中點連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB?平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.又因為AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，所以四邊形ABQG是平行四邊形，所以BQ∥AG，又BQ?平面PAD，AG?平面PAD，所以BQ∥平面PAD.10.已知在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點. (1)求證：BQ∥平面PAD；證明取PD的中點G，連接AG，GQ，解

因為在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，所以點B在線段CD的垂直平分線上，設點S到平面ABCD的距離為h，又PD⊥平面ABCD，PD＝3，所以點S在線段PC上靠近點P的三等分點處.11.如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點. (1)證明：MN∥平面C1DE；證明

如圖，連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，由題設知A1B1綉DC，可得B1C綉A1