高中數(shù)學(xué) 2-3-2平面向量基本定理活頁訓(xùn)練 北師大版必修4

【創(chuàng)新設(shè)計】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-3-2平面向量基本定理活頁訓(xùn)練北師大版必修4雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘1．下列三種說法：①一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線的向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量．其中正確的說法是()．A．①②B．②③C．①③D．①②③解析平面向量的基底不唯一，在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可以作為平面向量的一組基底．零向量可看成與任何向量平行，故零向量不能作為基底中的量，故②③正確．答案B2．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個向量，則有()．A．e1，e2一定平行B．e1，e2的模一定相等C．對于平面內(nèi)的任意向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)D．若e1，e2不共線，則對平面內(nèi)的任何一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)解析由平面向量基本定理可知，只有e1，e2不共線時，才能成為基底．答案D3．如圖，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up12(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up12(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up12(→))等于()．A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2－5e1)D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)解析eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．答案A4．若e1，e2是表示平面所有向量的一組基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作為一組基底，則k的值為________．解析當(dāng)a∥b時，a，b不能作為一組基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝eq\f(1,2)，k＝－8.答案－85．如圖所示，D是BC邊的一個四等分點(diǎn)．試用基底eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))表示eq\o(AD,\s\up12(→)).則eq\o(AD,\s\up12(→))＝________.解析∵D是BC邊的四等分點(diǎn)，∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up12(→))－Aeq\o(B,\s\up12(→)))∴eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→)).答案eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→))6．如圖，已知?OACB中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，OD與BA相交于點(diǎn)E，求證：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→)).證明設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，∵B、E、A三點(diǎn)共線，∴有eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∵O，E，D三點(diǎn)共線，∴OE＝μeq\o(OD,\s\up6(→)).∴eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))eq\o(OE,\s\up6(→))＝μ(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))．即eq\o(OE,\s\up6(→))＝b＋λ(a－b)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝μ(b＋eq\f(1,3)a)，∴b＋λa－λb＝μb＋eq\f(1,3)μa(λ－eq\f(μ,3))a＋b(1－λ－μ)＝0.∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,3)＝0，,1－λ－μ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,4)，,μ＝\f(3,4)，))∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→)).綜合提高限時25分鐘7．已知e1、e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是()．A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2與4e2－6e1共線，∴它們不能作為一組基底，作為基底的兩向量一定不共線．答案B8．AD與BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，且eq\o(AD,\s\up12(→))＝a，eq\o(BE,\s\up12(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up12(→))等于()．A.eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b解析設(shè)AD與BE交點(diǎn)為F，則eq\o(AF,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)a，eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)b.由eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＋eq\o(FA,\s\up12(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)(a－b)，所以eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(BD,\s\up12(→))＝2(eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.答案B9．已知△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝0，若實(shí)數(shù)λ滿足：eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AP,\s\up12(→))，則λ的值為________．解析設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝0，所以P是△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝3eq\o(AP,\s\up12(→))，所以λ＝3.答案310．如圖，平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up12(→))、eq\o(OB,\s\up12(→))、eq\o(OC,\s\up12(→))，其中eq\o(OA,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up12(→))與eq\o(OC,\s\up12(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＋μeq\o(OB,\s\up12(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________．解析如圖，以O(shè)A、OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\o(OE,\s\up12(→)).在Rt△OCD中，∵|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|eq\o(OD,\s\up12(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up12(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up12(→))＝4eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OE,\s\up12(→))＝2eq\o(OB,\s\up12(→))，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.答案611．如圖所示，已知△AOB中，點(diǎn)C是以A為中心的點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，eq\o(OD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，DC與OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up12(→))、eq\o(DC,\s\up12(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．解(1)由題意，A是BC的中點(diǎn)，且eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)b，由平行四邊形法則，eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝2eq\o(OA,\s\up12(→)).∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝2eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)eq\o(EC,\s\up12(→))∥eq\o(DC,\s\up12(→))，又∵eq\o(EC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq\o(DC,\s\up12(→))＝2a－eq\f(5,3)b，∴eq\f(2－λ,2)＝eq\f(1,\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4,5).12．如圖，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up12(→)).eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up12(→)).AD與BC交于點(diǎn)M.設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up12(→))：(2)已知在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F.使EF過M點(diǎn)，設(shè)eq\o(OE,\s\up12(→))＝peq\o(OA,\s\up12(→)).eq\o(OF,\s\up12(→))＝qeq\o(OB,\s\up12(→))，求證：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.解(1)設(shè)eq\o(OM,\s\up12(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up12(→))＝(m－1)a＋nb，eq\o(AD,\s\up12(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，∵點(diǎn)A、M、D共線．∴eq\o(AM,\s\up12(→))與eq\o(AD,\s\up12(→))共線．∴eq\f(m－1,－1)＝eq\f(n,\f(1,2)).∴m＋2n＝1. ①而eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝(m－eq\f(1,4))a＋nb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝－eq\f(1,4)a＋b.∵C、M、B共線，∴eq\o(CM,\s\up12(→))與eq\o(CB,\s\up12(→))共線．∴eq\f(m－\f(1,4),－\f(1,4))＝eq\f(n,1)，∴4m＋n＝1. ②聯(lián)立①②可得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,