2025版新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.3對(duì)數(shù)4.3.1對(duì)數(shù)的概念課前預(yù)學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

4.3.1對(duì)數(shù)的概念一、對(duì)數(shù)的概念?1．對(duì)數(shù)的定義：一般地，假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝________，其中a叫做對(duì)數(shù)的________，N叫做________．2．兩種特別的對(duì)數(shù)(1)常用對(duì)數(shù)：通常，我們將以________為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為________．(2)自然對(duì)數(shù)：以________為底數(shù)的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為________.微點(diǎn)撥?(1)對(duì)數(shù)式logaN＝b是由指數(shù)式ab＝N而來(lái)的．兩式底數(shù)相同，對(duì)數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中冪的值N，而對(duì)數(shù)式的值b是指數(shù)式中的冪指數(shù)．在指數(shù)式ab＝N中，若已知a，N的值，求冪指數(shù)b的值，便是對(duì)數(shù)運(yùn)算b＝logaN.(2)對(duì)數(shù)logaN只有在a＞0，且a≠1，N＞0時(shí)才有意義，理由如下：①若a＜0，且N為某些數(shù)值時(shí)，b不存在．例如，因?yàn)槭阶?－2)x＝3沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以log(－2)3不存在，為此，規(guī)定a不能小于0.②若a＝0，且N≠0，則logaN不存在；若a＝0，N＝0，則b有多數(shù)個(gè)值，不能確定，為此，規(guī)定a≠0，且N≠0.③若a＝1，又N不為1，則b不存在，如log12不存在；而a＝1，N＝1時(shí)，b可以為任何實(shí)數(shù)，不能確定，為此，規(guī)定a≠1.④由于正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，即ab＞0(a＞0)，因此N＝ab＞0.在規(guī)定了a＞0，且a≠1，N＞0后，對(duì)數(shù)logaN便隨著a，N的確定而唯一確定．依據(jù)這一規(guī)定可知，并不是每一個(gè)指數(shù)式都能干脆改寫成對(duì)數(shù)式．例如＝4不能寫成log(－2)4＝2.(3)“l(fā)og”同“＋”“×”“”等符號(hào)一樣，表示一種運(yùn)算，即已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算，不過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)要寫在數(shù)的前面．【即時(shí)練習(xí)】使loga(2－3a)有意義的實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．(0，1)C．(0，)D．(，＋∞)二、指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系?若a>0，且a≠1，則ax＝N?__________．微點(diǎn)撥?指數(shù)式ab＝N，根式＝a和對(duì)數(shù)式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一種數(shù)量關(guān)系的三種不同表達(dá)形式，詳細(xì)對(duì)應(yīng)如下：表達(dá)形式abN對(duì)應(yīng)的運(yùn)算ab＝N底數(shù)指數(shù)冪乘方，由a，b求N＝a方根根指數(shù)被開方數(shù)開方，由N，b求alogaN＝b底數(shù)對(duì)數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)，由N，a求b由此可知：①開方運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算都是乘方運(yùn)算的逆運(yùn)算；②弄清對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換規(guī)則是駕馭對(duì)數(shù)意義及其運(yùn)算的關(guān)鍵．【即時(shí)練習(xí)】1．下列對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式7x＝9等價(jià)的是()A.log7x＝9B．log9x＝7C.log79＝xD．logx9＝72．lgx＝－1，指數(shù)式為________．三、對(duì)數(shù)的性質(zhì)1．對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)(1)________和________沒(méi)有對(duì)數(shù)．(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．2．對(duì)數(shù)恒等式alogaN＝________(a>0且a≠1，N>0)．【即時(shí)練習(xí)】計(jì)算＋2log31－3lg10＋3ln1＝________．4．3.1對(duì)數(shù)的概念一、1．logaN底數(shù)真數(shù)2．(1)10lgN(2)無(wú)理數(shù)e＝2.71828…lnN[即時(shí)練習(xí)]解析：由題意知，解得0<a<，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，).故選C.答案：C二、x＝logaN[即時(shí)練習(xí)]1．解析：依據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系，7x＝9等價(jià)于log79＝x.故選C.答案：C2．解析：lgx＝－1，指數(shù)式為10－1＝x.答案：10－1＝x三、1．(1)負(fù)數(shù)零(2)0