河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題含解析

Page11Page11河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題時(shí)間：120分鐘分值：150分一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A．B．C． D．3．斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（

）A．2024 B．2024 C．2696 D．26974．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，若為等邊三角形，則（

）A． B．6 C． D．165．在一次春節(jié)聚會(huì)上，小王和小張等4位同學(xué)打算相互送祝愿.他們每人各寫了一張祝愿的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝愿，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個(gè)人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為6．與正三棱錐6條棱都相切的球稱為正三棱錐的棱切球.若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則此正三棱錐的棱切球半徑為（

）A． B． C． D．7．設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且.若存在，使得與垂直，且，則的最小值為()A．1 B． C．2 D．8．若，，，則實(shí)數(shù)a，b，c后的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題(本小題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)9．已知函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)锽．直線是曲線的一條切線C．圖象的對(duì)稱中心為D．方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根10．在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為等邊三角形，，則（

）A．平面平面B．直線與所成的角的余弦值為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．該四棱錐外接球的表面積為11．已知函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，且存在，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的周期為B．圖像的一條對(duì)稱軸方程為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在區(qū)間上有且僅有4個(gè)極大值點(diǎn)12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交C的右支于點(diǎn)A，B，若，則（

）A． B．C的漸近線方程為C． D．與面積之比為2∶1三、填空題13．若角的始邊是軸非負(fù)半軸，終邊落在直線上，則______.14．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形內(nèi)（含邊界），記過(guò)E，F(xiàn)，G的平面為，若，則的取值范圍是______.15．已知橢圓的焦距為2，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若軸上的點(diǎn)滿意且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_____.16．若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________.四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17．(本小題滿分10分)已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，且，求：(1)求角的大小；(2)求邊中線長(zhǎng)的最小值.18．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為（b為常數(shù)）．(1)求b的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且為的中點(diǎn)，．證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．20．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列.現(xiàn)連續(xù)放射信號(hào)次，每次放射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記放射信號(hào)“1”的次數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)已知切比雪夫不等式：對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)隨意正實(shí)數(shù)，有.依據(jù)該不等式可以對(duì)事務(wù)“”的概率作出下限估計(jì).為了至少有的把握使放射信號(hào)“1”的頻率在與之間，試估計(jì)信號(hào)放射次數(shù)的最小值.21．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.22．(本小題滿分12分)已知函數(shù).(1)探討的單調(diào)性；(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.（答案解析）1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：C.2．【答案】B【詳解】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，于是，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為：.故選：B3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，且，所以?shù)列為，此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為，是以6為周期的周期數(shù)列，所以數(shù)列的前2024項(xiàng)的和，故選：D4．【答案】A【詳解】因?yàn)闉榈冗吶切危?，又因?yàn)辄c(diǎn)在的準(zhǔn)線上，由拋物線的定義可知垂直于準(zhǔn)線，由可知，，設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，代入拋物線方程得點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線方程為，整理得，由得，所以，故選：A5．【答案】B【詳解】對(duì)于A,四個(gè)人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)小王抽到的是小張寫的賀卡為事務(wù)A,則,小張抽到小王寫的賀卡為事務(wù)B,則已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為,B正確；對(duì)于C,恰有一個(gè)人抽到自己寫的賀卡的抽法有種，故恰有一個(gè)人抽到自己寫的賀卡的概率為，C不正確；對(duì)于D,每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫的抽法共有種，故每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為，D錯(cuò)誤，6．【答案】C【詳解】如圖三棱柱為正三棱錐，且底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱設(shè)正三棱錐的棱切球球心為，半徑為，則頂點(diǎn)在底面的投影為也為的中心，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作垂足為，則，設(shè)，在中，因?yàn)闉榈闹行?，則，，在中即；在中，，即，在中，，則；在中，，則，在中，，則，又因?yàn)?，則，化簡(jiǎn)得，由得解得.故選：C.7．【答案】D【詳解】如圖示，是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，由題意得：，令，則三點(diǎn)共線，則三點(diǎn)共線故有共線，由題意與垂直,,知,且為定值，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)面積最大，則O到的距離最遠(yuǎn)，而，故當(dāng)且僅當(dāng)，即關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，最小，此時(shí)O到的距離為，所以,故，即的最小值為，故答案為：8．【答案】B【詳解】由已知可得，，，由可得，，所以.設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以即，所以在上為增函?shù)，又，，，又，所以.故選：B.9．【答案】BD【詳解】A.時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；B.令，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，，所以圖象在點(diǎn)處的切線方程是，得，故B正確；C.的對(duì)稱中心是，所以的對(duì)稱中心是，向右平移1個(gè)單位得，對(duì)稱中心是，故C錯(cuò)誤；D.，解得：或，當(dāng)，得，，1個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，得或，2個(gè)實(shí)根，所以共3個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：BD10．【答案】ABD【詳解】因?yàn)闉榫匦危裕驗(yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，由為矩形可得，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面，因此選項(xiàng)A正確；由為矩形可得，所以是直線與所成的角（或其補(bǔ)角），設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由勾股定理可知：，，，在中，由余弦定理可得，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成的角，因此，所以選項(xiàng)C不正確；設(shè)該四棱錐外接球的球心為，矩形的中心為，明顯平面，即，過(guò)作，連接，設(shè)該四棱錐外接球的半徑為，所以在直角三角形中，有，在直角梯形中，有，，在直角三角形中，有，即，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為，因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD11．【答案】ACD【詳解】因?yàn)閳D像過(guò)點(diǎn)且，所以，解得，因?yàn)榇嬖?，?dāng)時(shí)，，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以，選項(xiàng)A：的周期，正確；選項(xiàng)B：圖像的對(duì)稱軸為，解得，，令，無(wú)整數(shù)解，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得在區(qū)間有4個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)微小值點(diǎn)，D正確；故選：ACD12．【答案】ABC【詳解】由，得，又由，得，不妨設(shè)，在中，由余弦定理得，所以，所以,所以，A正確；在直角三角形中，依據(jù)雙曲線定義可得，所以，在三角形中，依據(jù)雙曲線定義可得，所以，因?yàn)椋?，所以，在直角三角形中，，即，所以，所以，所以，所以漸近線方程為，B正確；，所以，C正確；，所以與面積之比為3∶1，D錯(cuò)誤，故選:ABC.13．【答案】【詳解】由已知可得，所以，，所以，.14．【答案】【詳解】如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié).由已知，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且.又分別是線段的中點(diǎn)，所以，，所以，所以平面即為平面.易知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以，同理由，可得.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?則由，平面，可知，平面，平面.又點(diǎn)M在正方形內(nèi)，平面平面，所以.所以的長(zhǎng)即為點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離，因?yàn)椋援?dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與線段端點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí).所以的取值范圍是.故答案為：.15．【答案】【詳解】依題意，點(diǎn)，設(shè)直線，，由消去x得：，則，線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)?，則有，直線，令得點(diǎn)，而，有，又，即，因此，即，依題意，恒成立，而恒有，因此，離心率，所以橢圓離心率的取值范圍為.故答案為：16．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，所以若3是極值點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，所以；當(dāng)趨向于0時(shí)，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無(wú)窮，當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于趨向正無(wú)窮的速率，則趨向于正無(wú)窮，若3不是極值點(diǎn)，則3是即的一個(gè)根，且存在另一個(gè)根，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿意題意，綜上：或，即.故答案為：.17、解，由余弦定理可得即，………3分由正弦定理可得，，，，即，又,所以.………5分（2）由（1）知，的面積為，所以，解得，由平面對(duì)量可知，所以……………8分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故邊中線的最小值為.…………………10分18、解（1）由題設(shè)，則………………3分因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，滿意故的通項(xiàng)公式為.…………5分（2）解：令，，解得，所以數(shù)列在中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則，…………7分所以，∵，①∴②

①－②得∴．…………9分…………11分∴…………12分19．解（1）連接與交于點(diǎn)，連接為三棱柱，為平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)………1分又為的中點(diǎn)，則，………3分又平面平面，平面．…………4分（2）解法1：，面面，，，即…………6分以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，面，則平面的一個(gè)法向量為…………8分設(shè)平面的法向量為，則，即令，…………10分設(shè)平面與平面的夾角為，……………11分平面與平面的夾角的余弦值是．…………12分20.解（1）由已知，所以…3分……5分（2）由已知，所以，…………7分若，則，即，即.……9分由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使放射信號(hào)“1”的頻率在與之間，則，…………11分解得，所以估計(jì)信號(hào)放射次數(shù)的最小值為1250；綜上，，估計(jì)信號(hào)放射次數(shù)的最小值為1250.…………12分21、解（1），所以，令得，，解得，的方程為…………2分明顯直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則.…4分因?yàn)椋?……………6分（2）因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，即，由?）知代入上式得，因