研修《函數(shù)的極值與導數(shù)》教學設計

3.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)[教學目標]：了解函數(shù)極值的定義，會從幾何圖形直觀理解函數(shù)的極值與其導數(shù)的關系，增強學生的數(shù)形結合意識，提升思維水平；掌握利用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)極值的一般方法；了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件。[教學重點和教學難點]：教學重點：掌握利用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)極值的一般方法。教學難點：函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件。教具準備：多媒體課件課堂模式：設計學案，借助多媒體輔助教學，增強課堂教學的生動性與直觀性。引入新課師：通過上節(jié)課的學習，導數(shù)和函數(shù)單調性的關系是什么？生：在某個區(qū)間內，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減．如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內是常函數(shù)．【設計意圖】回憶函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，與已有知識的聯(lián)系.二．探究新知師：觀察表示高臺跳水運動員的高度隨時間變化的函數(shù)的圖象，回答以下問題（1）當時，高臺跳水運動員距水面的高度最大，那么函數(shù)在處的導數(shù)是多少呢？（2）在點附近的圖象有什么特點？（3）點附近的導數(shù)符號有什么變化規(guī)律？師生共同歸納:函數(shù)在點處,在的附近,當時,函數(shù)單調遞增,;當時,函數(shù)單調遞減,,即當在的附近從小到大經過時,先正后負,且連續(xù)變化,于是.【設計意圖】用高臺跳水的例子發(fā)展學生的數(shù)學應用意識，發(fā)揮學生的主體作用.用信息技術輔助教學，突破難點.【設計說明】對學生解決不了的問題，重點講解思路與方法，引導學生最終去解決問題，以生成新目標、新知識、新能力.yxOba師：對于這一事例是這樣，對其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質呢？觀察yxOba（1）函數(shù)在點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系?（2）函數(shù)在點的導數(shù)值是多少?（3）在點附近,的導數(shù)的符號分別是什么，并且有什么關系呢?如圖，函數(shù)在等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系？在這些點的導數(shù)值是________,在這些點附近，的導數(shù)的符號有什么規(guī)律？cxydefOgijh【設計意圖】用兩個例子使學生經歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比的思維過程，引導學生創(chuàng)新與實踐.培養(yǎng)學生大膽創(chuàng)新、勇于探索、互相合作的精神.理解從特殊到一般的數(shù)學思想和歸納的數(shù)學方法.【設計說明】兩種情況分析一種，另一種鼓勵學生用類比的方法自己歸納.幫助學生進一步了解極值點和極值的含義，增強學習的信心，讓學生體驗成功的喜悅.通過思考與討論，進一步了解極值點和極值的含義，知道極值刻畫函數(shù)的局部性質,培養(yǎng)學生合作交流的精神.三.理解新知師生共歸納：極值的定義：在附近，先減后增，先___后___，連續(xù)變化，于是有．比在點附近其它點的函數(shù)值都小.我們把點叫做函數(shù)的__________,叫做函數(shù)的___________.在附近，先增后減，先___后___，連續(xù)變化，于是有．比在點附近其它點的函數(shù)值都大.我們把點叫做函數(shù)的__________,叫做函數(shù)的___________.極小值點和極大值點統(tǒng)稱為_____________，極大值和極小值統(tǒng)稱為_____________.【設計意圖】根據(jù)探究，總結極小值點、極小值、極大值點、極大值、極值點、極值的定義,培養(yǎng)學生的歸納能力.練習1：師：判斷正誤：點是函數(shù)的極值點.畫函數(shù)圖像，觀察得出結論：函數(shù)在處導數(shù)為，但在該點兩側都單調遞增，無極值，故導數(shù)值為的點是該點為極值點的必要非充分條件.【設計意圖】通過一道判斷題，分解難點.培養(yǎng)學生的觀察、概括及表達能力，幫助學生進一步了解極值點和極值的含義.師：通過以上探索，你能歸納出可導函數(shù)在某點取得極值的充要條件嗎？充要條件：且點的左右附近的導數(shù)值符號要相反練習2：下圖是導函數(shù)的圖象，試找出函數(shù)的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點，極大值一定大于極小值嗎？yyxOx1x2x3x4x5x6ba不一定，極值是函數(shù)的局部性概念練習3:如圖是函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.如果把函數(shù)圖象改為導函數(shù)的圖象呢?【設計意圖】通過練習，進一步突出重點，使學生從感性認識升華到理性認識.通過練習1突出判斷極值點的條件，從而突破難點.練習2幫助學生理解極值是函數(shù)的局部性質.練習3給的圖像是原函數(shù)和導函數(shù)的圖像，進一步讓學生區(qū)分如何用原函數(shù)和導函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的極大值與極小值.從而突出重點、突破難點.四．運用新知例1、求函數(shù)的極值教師分析:①求,解出,找函數(shù)極值點②由函數(shù)單調性確定在極值點附近的符號,從而確定哪一點是極大值點,哪一點為極小值點,從而求出函數(shù)的極值.學生動手做,教師引導.解:∵∴令,解得.下面分兩種情況討論:當時,即;當時,即.當變化時,,的變化情況如下表:+_+單調遞增單調遞減單調遞增因此,當時,有極大值,且極大值為;當時,有極小值,且極小值為思考：根據(jù)上表，你能畫出該函數(shù)的大致圖象嗎？函數(shù)的圖像如圖所示歸納：求函數(shù)極值的方法是:求,解方程,解得如果在附近的左邊,右邊,那么是極大值.如果在附近的左邊,右邊那么是極小值討論：求極值的步驟(1)求導(2)求極值點(3)討論單調性(4)列表(5)寫出極值.【設計說明】例題由老師板書，體現(xiàn)示范功能,為解此類問題提供經驗.表格的使用，可使極值點兩側的增減性一目了然.圖象是函數(shù)性質的直觀載體，根據(jù)極值自己作圖可為我們的結論提供直觀驗證，進一步培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力.【設計意圖】通過典型例題鞏固學生對新知識的理解,通過對典型例題的板演，讓學生明確求極值的方法，突出本節(jié)課的重點.培養(yǎng)學生規(guī)范的表達能力，形成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度.作圖時先作出兩個極值點，再根據(jù)單調性作圖.通過作圖，使學生掌握數(shù)形結合思想及作圖的一般步驟.練習．求下列函數(shù)的極值.(1)(2)求解：(1)令，解得，.當變化時，，的變化情況如下表.+－+↗極大值↘極小值↗∴當時，有極大值，且.當時，有極小值，且(2)解：,令解得，，當變化時，，的變化情況如下表－－++↘無極值↘極小值0↗無極值↗∴當時，有極小值且【設計意圖】練習源于例題，讓學生板演，關注學生的數(shù)學表達，學生提供的反饋素材，應及時校正.照顧學有余力的學生，靈活運用所學知識，培養(yǎng)其逆向思維和化歸轉化的數(shù)學思想和方法.【設計說明】通過練習、鞏固提高.例2.設，在和處有極值，且,求的值，并求出相應的極值.解：，∵是函數(shù)的極值點，則是方程的根，即有?，又，則有，由上述三個方程可知，函數(shù)的表達式為，∴，令，得，當變化時，,的變化情況表：+－+↗極大值↘極小值↗由上表可知因此,當時,有極大值,且極大值為;當時,有極小值,且極小值為練習.已知在處取得極值，求的值.五.課堂小結1.函數(shù)極值的定義2.求函數(shù)極值的方法是:求,解方程,解得(1)如果在附近的左邊,右邊,那么是極大值.(2)如果在附近的左邊,右邊那么是極小值.3.一個點為函數(shù)的極值點的充要條件.可導函數(shù)極值點的導數(shù)為，但導數(shù)為零的點不一定是極值點，要看這點兩側的導數(shù)是否異號.【設計意圖】通過師生共同反思，優(yōu)化學生的認知結構.六.布置作業(yè)必做：1、函數(shù)下列結論中正確的個數(shù)為（）（1）由可知是的極值點（2）在處無切線（3）在處的切線方程為2、可導函數(shù)在某一點兩側的導數(shù)異號是這點為極值點的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件3、關于函數(shù)，給出下列命題，其中正確的個數(shù)是①是增函數(shù)，無極值；②是減函數(shù)，無極值；③的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為④是極大值，是極小值A、1B、2C、3D、44、求函數(shù)的極值選做：1、已知函數(shù)，判斷是否為函數(shù)的一個極值.如果是，那么是極大值還是極小值？并求出函數(shù)的單調區(qū)間.2、已知函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經過點，如圖所示.求：（1）的值；（2）的值.【設計意圖】作業(yè)的設計與例題相呼應，揭示了教與學的一致性.七.教后反思：亮點是:設計合理,重點突出,難點突破,充分體現(xiàn)教師為主導,學生為主體的雙主體課堂地位,充分調動學生的積極性,教師合理清晰的引導思路,使學生的數(shù)學思維得到培養(yǎng)和提高,教學內容容量與難度適中,符合學情,并關注學生的個體