2021-2022學(xué)年安徽省合肥市八年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（三）含答案

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市八年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

（三）

一、選一選（本大題共12小題，共36.0分）

a1.下列圖形中，對(duì)稱圖形有*（）魯

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】解：A、沒(méi)有是對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C、沒(méi)有是對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、沒(méi)有是對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱圖形的概念?對(duì)稱圖形是要尋找到對(duì)稱，使其旋轉(zhuǎn)180度后能夠與自

身重合.

2.若下列沒(méi)有等式?jīng)]有一定成立的是（）

mn°?

A.m+2>n+2B.2m>2nC.—>—D.irfl>n2

22

【答案】D

【解析】

【詳解】A、沒(méi)有等式的兩邊都加2,沒(méi)有等號(hào)的方向沒(méi)有變，故A正確；

B、沒(méi)有等式的兩邊都乘以2,沒(méi)有等號(hào)的方向沒(méi)有變，故B正確；

C、沒(méi)有等式的兩條邊都除以2,沒(méi)有等號(hào)的方向沒(méi)有變，故C正確；

D、當(dāng)（）>機(jī)>”時(shí)，沒(méi)有等式的兩邊都乘以負(fù)數(shù)，沒(méi)有等號(hào)的方向改變，故D錯(cuò)誤；

故選：D.

3.下列分式中，最簡(jiǎn)分式是()

3x2x-2x2+y2

A.B.--------C.D.

4孫X"-4x+y

2-x

X2-4x+4

【答案】C

【解析】

【分析】最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中沒(méi)有含有公因式，沒(méi)有能再約分?判斷的方法是把分

子、分母分解因式，并且觀察有無(wú)互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過(guò)符號(hào)變化化為相同

的因式從而進(jìn)行約分.

3/3x

【詳解】A、—=丁，沒(méi)有符合題意；

4xy4y

x-2x—21

B、4T(x+2)(x-2)=3,沒(méi)有符合題意;

x~+V-

C、——L是最簡(jiǎn)分式，符合題意;

x+y

2—x2—x1

D、=二，沒(méi)有符合題意;

JC—4x+4（2—九）~

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)分式的定義及求法?一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分

式?分式的化簡(jiǎn)過(guò)程，首先要把分子分母分解因式，互為相反數(shù)的因式是比較易忽視的問(wèn)題?在

解題中一定要引起注意.

4.如圖，R/AABC沿直線邊8c所在的直線向右平移得到△￡)￡；廠,下列結(jié)論中沒(méi)有一定正確

A.NDEF=90。B.BE=CF

C.CE=CFD-S四邊物=S四邊形

【答窠】c

【解析】

【分析】由平移的性質(zhì)，圖形，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，選擇正確答案.

【詳解】QArVABC沿直線邊BC所在的直線向右平移得到△￡)￡廠,

：.ZDEF=ZABC=90°，BC=EF,S^ABC=S^DEF,

*''BC—EC=EF—EC,-SEEC=^^DEF~S-HEC，

BE=CF,S四邊形AB.=S四邊形°”CF,

但沒(méi)有能得出CE=CF,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的基本性質(zhì)：①平移沒(méi)有改變圖形的形狀和大??；②平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)

所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等.

5.如圖，在AABC中，AB=AC,NA=4()。，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,

連接BE,則/CBE的度數(shù)為()

【答案】A

【解析】

【分析】由等腰AA8C中，AB=AC,NA=40。，即可求得/ABC的度數(shù)，又由線段AB的垂直

平分線交AB于。，交AC于￡,可得A￡=BE,繼而求得/ABE的度數(shù)，則可求得答案.

【詳解】'：AB=AC,ZA=40°,

：.ZABC=ZC=(180。-NA)+2=70°,

:線段48的垂直平分線交AB于。，交AC于E,

；.AE=BE,

：.ZABE=ZA=40°,

：.NCBE=/ABC-NABE=3()。,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定

理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形思想是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O,E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的

中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD需要滿足的條件是（）

A.AB=CDB.AB1CDC.AB1ADD.AC=BD

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”來(lái)推斷?由三角形中位線定理和平行四邊形

的判定定理易推知四邊形EFGH是平行四邊形，若FE_LEH或者EG=FH就可以判定四邊形

EFGH是矩形.

【詳解】:E、F分別是AD,8。的中點(diǎn)，G、”分別中BC,AC的中點(diǎn)，

:.EF〃AB,EF=-AB；GH〃AB,GH=-AB.

22

:.EF〃GH,EF=GH.

四邊形EFGH是平行四邊形.

當(dāng)AB_LCD時(shí)，四邊形EFGH是矩形，

vAB±CD,GH//AB.EH//CD,

.-.EH±GH.

即/EHG=90。，

四邊形EFGH是矩形；

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及三角形中位線的性質(zhì)?此題難度適

中，注意掌握數(shù)形思想的應(yīng)用.

7.如圖，AABC中，AB=AC=16,AD平分/BAC,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE,若

△CDE的周長(zhǎng)為26,則BC的長(zhǎng)為（）

A

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD1.BC,再根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜

邊的一半可得答案.

【詳解】?.?AB=AC，AD平分/BAC,

.'.AD1BC.

.,./ADC=90。，

?.?點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

DE=CE=-AC=8.

2

?.?△CDE的周長(zhǎng)為26,

.?.CD=10,

.?.BC=2CD=20.

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角

形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

8.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，若AF、8E分別是NZM5、NCBA的平分線，

【答案】B

【解析】

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，若AR8E分別是NZMB、NCB4的平分線，易得

△AD尸與ABCE是等腰三角形，繼而求得。E=CE=BC=3,則可求得答案.

【詳解】?.?四邊形A8CZ）是平行四邊形，

：.AB//CD，CD=A5=4,AZ）=3C=3，

:.ZAFD=ZBAF，ZABE=ZBEC，

-.AFsBE分別是NDW、NCB4的平分線，

;.ZDAF=NBAF，NCBE=ZABE,

.-.ZDAF=ZAFD，NCBE=ZBEC，

.?.AZ）=r）F=3,CE=BC=3,

:.EF=DF+CE-CD=2.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).注意證得AAOF與

△8CE是等腰三角形是關(guān)鍵.

3x-\-m

9.若關(guān)于x的分式方程+——=1有增根，則m的值是（）

x-4-4一x

A.0或3B.3C.0D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的沒(méi)有適合分式方程的根.所以應(yīng)先確定增根的可能值，

讓最簡(jiǎn)公分母x-4=0,得到x=4,然后代入化為整式方程的方程算出m的值.

【詳解】解：工+土土絲=1

x-44-x

方程兩邊同乘（x-4）得3—（x+相）=》一4

???原方程有增根，

最簡(jiǎn)公分母x-4=0,

解得x=4,

把x=4代入3-（x+〃?）=x-4,得3-（4+機(jī)）=4-4,解得m=-l

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為。確定

增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

10.如圖，直線丫=*+|與丫=10<-1相交于點(diǎn)P,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為則關(guān)于x的沒(méi)有等式X+

3

->kx-l的解集在數(shù)軸上表示正確的是（)

2

-2-10I

【答案】A

【解析】

13

【分析】先把y=5代入y=x+^,得出x=—l,再觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x>—l時(shí)，直線

33

y=x+二都在直線y=kx-l的上方，即沒(méi)有等式x+1>kx—1的解集為x>—l,然后用數(shù)

22

軸表示解集.

13

詳解】把丫=一代入y=x+7,得

22

13

-=x+-,解得x=—l.

22

3

當(dāng)x>—1時(shí)，XH—>kx—1,

2

3

所以關(guān)于x的沒(méi)有等式x+->kx-l的解集為x>-b

2

用數(shù)軸表示為：

__r

-5-4-3-9-1019345

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與一元沒(méi)有等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使函數(shù)丫=1?+1>的值

大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x

軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.

11.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相較于點(diǎn)O,BD=8,BC=5,AELBC于點(diǎn)

E,則AE的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【解析】

【分析】在RtNDBC中，根據(jù)oc=VBC2-OB2求出再利用面積法可得

—xAExBC=—xBOxAC,由此求出AE即可.

22

【詳解】???四邊形ABCD是菱形，BD=8,

..BO=DO=4,/BOC=90，

在R^OBC中，OC=JBC2-OB?=4?=3,

AC=20c=6，

SAHr=—xAExBC=—xBOxAC

-ABC22

故5AE=24,

24

解得：AE=g.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，正確利用三角形面積求出AE的長(zhǎng)是解題

關(guān)鍵.

12.如圖，QABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，作AE_LCD,垂足E在線段CD上，

連接EF、AF,下列結(jié)論：①2/BAF=NC；②EF=AF；③S.ABF=S梃F;

④NBFE=3/CEF中，一定成立的是（）

AD

E

A.只有①②B.只有②③C.只有①②④D.

①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出

△MBF空AECF,利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【詳解】①???F是BC的中點(diǎn)，

.?.BF=FC,

?.?在團(tuán)ABCD中，AD=2AB.

...BC=2AB=2CD,

,-.BF=FC=AB，

.,./AFB=^BAF，

VAD//BC,

.?2AFB=CAF，

/.^BAF=^FAB>

..24AF="AD，

?.?4AD=/C,

/BAF=2NC故①正確；

②延長(zhǎng)EF,交AB延長(zhǎng)線于M,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

.-.AB//CD,

?.?F為BC中點(diǎn)，

，BF=CF,

在AMBF和AECF中，

/MBF=/C

<BF=CF,

/BFM=/CFE

.-.△MBF^AECF(ASA),

.-.FE=MF，/CEF=^M,

vCElAE,

.?2AEC=9(r，

.?./AEC=/BAE=90。，

?「FM=EF，

,-.EF=AF.故②正確；

③?jEF=FM,

-Q=s

…OAAEF°AAFM'

,1'S〃ABF<S?AEF，故③錯(cuò)誤；

④設(shè)4EA=x，則NTAE=X，

/BAF=/AFB=90-x，

.?./EFA=180-2x，

XEFB=90'-x+180°-2x=270-3x，

?.?/CEF=90；x，

.?./BFE=3/CEF,故④正確，

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的

關(guān)鍵是得出AAEF4ADME.

二、填空題(本大題共8小題，共24.0分)

13.分解因式：x2y-4y=—.

【答案】y(x+2)(x-2).

【解析】

【詳解】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把

它提取出來(lái)，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因

式.因此，

先提取公因式y(tǒng)后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可：x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2).

考點(diǎn)：提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解.

14.如果分式——有意義，那么x的取值范圍是.

x+3

【答案】X?！?

【解析】

【詳解】試題分析：分式有意義的條件是分母沒(méi)有為零，故X+3HO,解得XH-3.

考點(diǎn)：分式有意義的條件.

15.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于150°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為條.

【答案】12

【解析】

【詳解】多邊形內(nèi)角和為180。(n-2),則每個(gè)內(nèi)角為18內(nèi)(n-2)/n=150°,n=12,所以應(yīng)填12.

16.為有效開展“陽(yáng)光體育”，某校計(jì)劃購(gòu)買籃球和足球共50個(gè)，購(gòu)買資金沒(méi)有超過(guò)300()

元.若每個(gè)籃球80元，每個(gè)足球50元，則籃球至多可購(gòu)買個(gè).

【答案】16

【解析】

【分析】設(shè)購(gòu)買籃球x個(gè)，則購(gòu)買足球(50-x)個(gè)，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)x購(gòu)買數(shù)量購(gòu)買資金沒(méi)有

超過(guò)3000元，即可得出關(guān)于x的一元沒(méi)有等式，解之取其中的整數(shù)即可.

【詳解】設(shè)購(gòu)買籃球x個(gè)，則購(gòu)買足球(50—力個(gè)，

根據(jù)題意得：80%+50(50-x)<3000,

解得：x<—.

3

〈X為整數(shù)，

?〔X值為16.

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元沒(méi)有等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確列出一元

沒(méi)有等式.

17.如圖，已知點(diǎn)P是NA0B角平分線上的一點(diǎn)，NAOB=60。，PD1OA,M是OP的中點(diǎn)，

DM=4cm,如果點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為_______cm.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)角平分線定義可得/AOP=LAOB=30",再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得

2

PD=-OP=4,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到答案.

2

【詳解】?「P是NAOB角平分線上的一點(diǎn)，/AOB=60'，

??.“AOP」/AOB=3(T,

2

,.?PD_LOA,M是OP中點(diǎn)，DM=4cm,

.,.OP=2DM=8，

PD=-OP=4,

2

■.?點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

PC的最小值為P到OB距離，

PC的最小值=PD=4,

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟記性

質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知中，NC=9()。，AC=BC=五,將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)聪蛐D(zhuǎn)6()。到

的位置，連接C8,則C6的長(zhǎng)為_____.

AB

【答案】1+6

【解析】

【分析】連接8夕，設(shè)BC與AB咬點(diǎn)為。，根據(jù)NC=9()。，AC=8C=&,得到A8=&AC

=&x&=2,根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到NAC'B'=NAC8=90°,AC'=AC=B'C'=BC,AB=AB'=2,

ZBAB'=60°,推出8c垂直平分A",AAB夕為等邊三角形，得到。。=，4笈=1,

2

NAi陽(yáng)'=60°,推出NABO=NB'8O=LNAB3'=30°,得到8C=@AQ=JL得到

22

C'8=C'O+B￡)=1+逐.

【詳解】解：連接89，設(shè)8C與AB，交點(diǎn)為。，如圖，

△ABC中，?.?NC=90。，AC=BC=&,

/.AB=AC=-^2xy[o.=2,

「△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)聪蛐D(zhuǎn)60。到AABC的位置，

.,./4C'B'=N4CB=9()°,AC'=AC=B'C'=BC,AB=AB'=2,NBA8'=6()°,

垂直平分AQ,AABB，為等邊三角形，

.?.C'O=LAB'=1,ZABB'=60°,

2

:.ZABD=ZB'BD=-NABB'=30°,

2

:.BD=N2?N=6

：.C'B=C'D-\-BD=1+百.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形全等的性質(zhì)，線段垂直平分線判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與

性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角

形，求出CD,的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

19.關(guān)于x的分式方程2三+平JTLX7=二3無(wú)解，則，"的值為

x-2x-4x+2

【答案】1或6或-4

【解析】

【分析】方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),把方程化為整式方程，再分兩種情況討論即可得到

結(jié)論.

2tnx3

【詳解】解:

x-2%2-4x+2

2iwc3

-------1-------------------=-------

x-2（工+2）（工-2）x+2

.,.2（x+2）+〃zr=3（x—2）,

當(dāng)m=1時(shí)，顯然方程無(wú)解，

又原方程的增根為：％=±2,

當(dāng)％=2時(shí)，772—1=-5,

/.,

當(dāng)％=-2時(shí)，"一1=5,

綜上當(dāng)機(jī)=1或m=7或〃2=6時(shí)，原方程無(wú)解.

故答案為：1或6或T.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程無(wú)解的知識(shí)，掌握分式方程無(wú)解時(shí)的分類討論是解題的關(guān)鍵.

20.一組正方形按如圖所示的方式放置，其中頂點(diǎn)B1在y軸上，頂點(diǎn)C】、E］、E2,C2.

E3、E4、…在X軸上,E知正方形ABGD］的邊長(zhǎng)為1,NBICQ=60°,

B°"/B2c2//B3c3〃…,則正方形A201gB2018c201Q2018的邊長(zhǎng)是.

【解析】

【分析】利用正方形的性質(zhì)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出變化規(guī)律即可得出

答案.

【詳解】???正方形A|B|GD邊長(zhǎng)為1,^B,C,O=60,B,C,//B2C2//B3C3,

DjE,=B2E2,D2E3=B3E4,/D]C\E]=/C'B7E?=/C3B3E4=30,

/.D[E[=C]D]Sin30。=；

B2E2=/V3I

則B2c2

cos30；-V

故正方形ABCR的邊長(zhǎng)是:

則正方形八20］再2（）］8c20］8D2（）18的邊長(zhǎng)為:

故答案為（17

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出正方形的邊長(zhǎng)變化規(guī)律是

解題關(guān)鍵.

三、解答題

2x-1,

-------<1

21.解沒(méi)有等式組，2,并將它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

5x+2>3x

3

【答案】沒(méi)有等式組的解集為-14x<及.

2

【解析】

【分析】首先解每個(gè)沒(méi)有等式，然后把每個(gè)解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，確定沒(méi)有等式的解集的公

共部分就是沒(méi)有等式組的解集.

2x-13

【詳解】解沒(méi)有等式一^<1,得:x<=,

22

解沒(méi)有等式5x+223x,得：x>-l?

將沒(méi)有等式的解集表示在數(shù)軸上如下：

3

所以沒(méi)有等式組的解集為-1<x<-.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了沒(méi)有等式組的解法，把每個(gè)沒(méi)有等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)(>,?向右

畫；<,4向左畫)，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的

條數(shù)與沒(méi)有等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是沒(méi)有等式組的解集?有幾個(gè)就要幾個(gè)?在表示解集時(shí)

“2”，“4”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；要用空心圓點(diǎn)表示.

2

(x、4

22.先化簡(jiǎn)，再求值：-----X+2-^―~,其中x=5.

(x+2)x--4

【答案】x-2,3.

【解析】

【分析】首先將括號(hào)里面通分，再將分子與分母分解因式進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案.

x2(x-2)(x+2)*|(x+2)(x-2)

【詳解】原式=----——\~——9——-

x+2x+2J4

4、,(x+2)(x-2)

一A9

x+24

—x—2>

當(dāng)x=5時(shí)，原式=5—2=3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確分解因式是解題關(guān)鍵.

23.如圖，已知E、F分別是平行四邊形488的邊3C、A0上的點(diǎn)，且BE=DF.

求證：四邊形4ECR是平行四邊形.

【答窠】見解析.

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD〃BC,且AD=BC,推出AF〃EC,AF=EC,根據(jù)平行四

邊形的判定推出即可.

【詳解】解：證明：?..四邊形A8CD是平行四邊形，

AAD//BC,且AO=8C,

:.AF"EC，

,:BE=DF，

:.AF=EC,

四邊形AECF是平行四邊形

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定法則

24.北京到濟(jì)南的距離約為5()()km,一輛高鐵和一輛特快列車都從北京去濟(jì)南，高鐵比特快列

車晚出發(fā)3小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)濟(jì)南，已知高鐵的速度是特快列車速度的2.5倍?求高鐵和特

快列車的速度各是多少？(列方程解答)

【答案】特快列車的速度為100千米/時(shí)，高鐵的速度為25()千米/時(shí).

【解析】

【分析】設(shè)特快列車的速度為x千米/時(shí)，則高鐵的速度為2.5x千米/時(shí)，根據(jù)時(shí)間=路程+速

度高鐵比特快列車少用3小時(shí)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)特快列車的速度為x千米/時(shí)，則高鐵的速度為2.5x千米/時(shí)，

50050()_

根據(jù)題意得:

x2.5x'

解得：x=100,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原分式方程的解,

.-.2.5x=2.5x100=250.

答：特快列車的速度為100千米/時(shí)，高鐵的速度為250千米/時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/ABO=60,.若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)C,當(dāng)

△ABC是以AB為腰的等腰三角形時(shí)，稱點(diǎn)C時(shí)線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”.

（1）請(qǐng)判斷點(diǎn)點(diǎn)C2（0,2g）是否是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)D（m,n）是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，且/DAB=60'，求m和n的值.

【答案】（l）G是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，C?沒(méi)有是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，理由見解析;

（2）m=-l,n=0或m=2，n=5/3.

【解析】

【分析】（1）先求出AB的長(zhǎng)與B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”的定義判斷即可；

（2）分兩種情況討論，利用對(duì)稱性和垂直的性質(zhì)即可求出m,n.

【詳解】（1）\?點(diǎn)_ZABO=60。，

eOA百。

OA=V3>sin/ABO百，OB=VAB2-OA2=1>

T

?.?點(diǎn)G（1,2@,

AC）="+（2百_9=2，

AC]=AB,

??.G是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，

?.?點(diǎn)C2（0,2百）

1222

AC,=V3,BC2=7+（^）=>

AC?*AB,BC2hAB,

.*.C2沒(méi)有是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)'

（2）如圖，

.,./OAB=30".

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時(shí)，

/DAB=60。，

/DAO="AB-/BAO=30"，

?.?點(diǎn)D（m,n）是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，

AD=AB，

.?.D（T,0）,

=，n=0；

②當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時(shí)，

???/DAB=60。，

/DAO=/BAO+/DAB=90，

n=^3，

???點(diǎn)D（m,n）是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”，

AD=AB=2，

/.m=2?

綜上所述，m=—1,n=0或m=2,n=5/3?

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與

圖形性質(zhì)?解(1)的關(guān)鍵是理解新定義，解(2)的關(guān)鍵是畫出圖形，是一道中等難度的中考常考

題.

26.為貫徹黨的“綠水青山就是金山銀山''的理念，我市計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共7000株用于

城市綠化，甲種樹苗每株24元，一種樹苗每株30元?相關(guān)資料表明：甲、乙兩種樹苗的成活

率分別為85%、90%.

(1)若購(gòu)買這兩種樹苗共用去180000元，則甲、乙兩種樹苗各購(gòu)買多少株？

(2)若要使這批樹苗的總成活率沒(méi)有低于88%,則甲種樹苗至多購(gòu)買多少株？

(3)在(2)的條件下，應(yīng)如何選購(gòu)樹苗，使購(gòu)買樹苗的費(fèi)用？并求出費(fèi)用.

【答案】(1)甲、乙兩種樹苗各購(gòu)買5000、2000株；(2)甲種樹苗至多購(gòu)買2800株；(3)至少

費(fèi)用為193200元.

【解析】

【分析】(1)列方程求解即可；

(2)根據(jù)題意，甲乙兩種樹苗的存貨量大于等于樹苗總量的88%列出沒(méi)有等式；

(3)用x表示購(gòu)買樹苗的總費(fèi)用，根據(jù)函數(shù)增減性討論最小值.

【詳解】(1)設(shè)購(gòu)買甲種樹苗x株，則購(gòu)買乙種樹苗(7000—x)株，

由題意得：24x+30(7000-x)=180000

解得x=5000,則7000—x=2000

答：甲、乙兩種樹苗各購(gòu)買5()00、2(X)()株；

(2)根據(jù)題意得：85%x+95%(7000-x)>7000x88%

解得x?2800

則甲種樹苗至多購(gòu)買2800株

⑶設(shè)購(gòu)買樹苗的費(fèi)用為W,

根據(jù)題意得：W=24x+30(7000-x)=-6x+210000

?rk=-6<0

；.W隨x的增大而減小

???當(dāng)x=28時(shí)，W最小=-6x2800+210000=193200

【點(diǎn)睛】本題為函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，綜合考察一元方程、一元沒(méi)有等式及函數(shù)的增減性.

27.如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=4cm.點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)A即停止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是

1cm/s,連接PQ、AQ、CP.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形；

【答案】(1)當(dāng)t=2s時(shí)，四邊形ABQP為矩形；(2)當(dāng)t=L5s時(shí)，四邊形AQCP為菱形.

【解析】

【分析】(1)當(dāng)四邊形ABQP是矩形時(shí)，BQ=AP,據(jù)此求得t的值；

(2)當(dāng)四邊形AQCP是菱形時(shí)，AQ=AC,列方程求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；

【詳解】(1)由己知可得，BQ=DP=t,AP=CQ=4-t

在矩形ABCD中，/B=90，AD//BC,

當(dāng)BQ=AP時(shí)，四邊形ABQP為矩形，

t=4—t,得t=2

故當(dāng)t=2s時(shí)，四邊形ABQP為矩形.

(2)由⑴可知，四邊形AQCP為平行四邊形

,當(dāng)AQ=CQ時(shí)，四邊形AQCP為菱形

即工7=4—t時(shí)，四邊形AQCP為菱形，解得t=1.5，

故當(dāng)t=1.5s時(shí)，四邊形AQCP為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形、矩形的判定與性質(zhì)?解決此題注意方程的思想解題.

28.問(wèn)題的提出：如果點(diǎn)P是銳角AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，如何確定一個(gè)位置，使點(diǎn)P到AABC的

三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小？

(1)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：把AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AAPC,連接PP,這樣就把確定

PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C的最小值的問(wèn)題了，請(qǐng)你利用圖1

證明：PA+PB+PC=BP+PP'+PC；

（2）問(wèn)題的解決：當(dāng)點(diǎn)P到銳角AABC的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時(shí)，求

NAPB和/APC的度數(shù)；

（3）問(wèn)題的延伸：如圖2是有一個(gè)銳角為30的直角三角形，如果斜邊為2,點(diǎn)P是這個(gè)三角形

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你利用以上方法，求點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）滿足：NAPB=/APC=120。時(shí)，PA+PB+PC的值為最

??；（3）點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為".

【解析】

【分析】（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明AAPP，是等邊三角形，則PP=PA,可得結(jié)論;

⑵問(wèn)題的解決：運(yùn)用類比的思想，把AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到AAPC',連接

PP',由"問(wèn)題的轉(zhuǎn)化“可知：當(dāng)B、P、P\C'在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC的值為最小,

確定當(dāng)：NAPB=—APC=120時(shí).，滿足三點(diǎn)共線；

（3）問(wèn)題的延伸：如圖3,作輔助線，構(gòu)建直角△ABU,利用勾股定理求AC，的長(zhǎng)，即是點(diǎn)P

到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

【詳解】問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:

如圖1.

B

圖1

由旋轉(zhuǎn)得：ZPAPZ=6O°,PA=P'A,

△APP'是等邊三角形，

；.PP'=PA,

：PC=P'C,

.?.PA+PB+PC=BP+PP'+P'C.

問(wèn)題的解決：

滿足：NAPB=/APC=120。時(shí)，PA+PB+PC的值為最??；

理由是：如圖2,把AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到AAPC',連接PP',

由“問(wèn)題的轉(zhuǎn)化“可知：當(dāng)B、P、P\U在同一直線上時(shí),PA+PB+PC的值為最小,

NAPB=120"，/APP'=60°,

AZAPB+ZAPP=180°,

:.B>P、P'在同一直線上，

由旋轉(zhuǎn)得：/AP'C'=NAPC=120。，

ZAPT=60°,

.?./AP'C'+NAP'P=180°,

;.P、P'、C'在同一直線上，

」.B、P、P'、C，在同一直線上，

.,?此時(shí)PA+PB+PC的值為最小，

故答案為NAPB=/APC=120;

問(wèn)題的延伸：

如圖3,RSACB中，?.?AB=2，/ABC=30°，

.-.AC=1,BC=G，

把ABPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到ABP'C',連接PP，

A

\P

c\/B

\，'；

圖3'、/7

\//

1//

P,\/

c

當(dāng)A、P、P\C，在同一直線上時(shí)，PA+PB+PC值為最小，

由旋轉(zhuǎn)得：BP=BP\ZPBP=60°,PC=PC\BC=B,CS

.?.△BPP是等邊三角形，

.,.PP=PB,

?.?NABC=NAPB+NCBP=NAPB+/C'BP'=30。，

ZABC=90°,

由勾股定理得：AC.jG+C?=722+(73)2=不，

；.PA+PB+PC=PA+PP，PC=AC，=V7,

則點(diǎn)p到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為J7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，將待求線段的和通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段來(lái)求是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)

的方法添加輔助線，構(gòu)造三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

29.如圖，已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為4,BD=4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著AD、DC方向運(yùn)動(dòng)，同

時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)以相同的速度沿著DC、CB的方向運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，連接BE、BF,試探究BE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論；

(2)在(1)的前提下，求EF的最小值和此時(shí)JBEF的面積；

⑶當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DC邊上時(shí)，如圖2,連接BE、DF,交點(diǎn)為點(diǎn)M,連接AM,則/AMD

大小是否變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

【答案】(1)BE=BF,證明見解析；(2)EF的最小值是26，S.BEF=3G；⑶如圖3,當(dāng)

點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DC邊上時(shí)，/AMD大小沒(méi)有發(fā)生變化，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)先證明AABD和ABDC是等邊三角形，再證明AABE學(xué)ADBF(SAS),可得結(jié)論;

(2)由AABEGADBF，易證得ABEF是正三角形，繼而可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到當(dāng)BELAD，

即E為AD的中點(diǎn)時(shí)，BE的最小，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得BE和EF的長(zhǎng)，并求

此時(shí)ABEF的面積；

(3)同理得：ABED咨ADFC(SAS),則可得