專題1.7圓的有關(guān)位置關(guān)系精講精練

1、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：d=r點(diǎn)P在⊙O上；d>r點(diǎn)P在⊙O外.2、直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：3．切線的判定和性質(zhì)：（1）、切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（2）、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.如右圖中，OD垂直于切線.4．切線長(zhǎng)定理：（1）、切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).（2）、切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.（3）、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).(4)、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.如圖圓O是△A＇B＇C＇的內(nèi)切圓.三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心.【考點(diǎn)1】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系A(chǔ)．圓內(nèi)B．圓上C．圓外D．圓上或圓外【變式1.1】（淮陰區(qū)月考）已知。O的半徑為2cm，OA＝3cm，則點(diǎn)A與。O的位置關(guān)系是點(diǎn)A在()A．。O的內(nèi)部B．。O上C．。O的外部D．無(wú)法確定【變式1.2】（永嘉縣月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4若。P經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么點(diǎn)（5，0）與。P的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外D．不能確定且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為()【考點(diǎn)2】三角形的外接圓【例2】（江漢區(qū)期中）如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在。O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°,D為弦BC的中點(diǎn)，弦EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且EF∥AB．若。O的半徑為4，則弦EF的長(zhǎng)是()【變式2.1】（拱墅區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓，②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，③相等的圓心角所對(duì)的弦相等，④三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，其中正確的有()【變式2.2】（秦淮區(qū)期中）以下列三邊長(zhǎng)度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是()【變式2.3】（固安縣模擬）如圖，AB是。O的一條弦，P是。O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合C、D分A.【考點(diǎn)3】直線與圓的位置關(guān)系【例3】（福山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，。O的圓心坐標(biāo)為(﹣3，0半徑是方程x2﹣3x+2＝0的一根，那么。O與直線的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．無(wú)法確定【變式3.1】（金山區(qū)校級(jí)月考）已知同一平面內(nèi)有。O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果。O的半徑為6cm，線段OA=10cm，線段OB＝6cm，那么直線AB與。O的位置關(guān)系為()A．相離B．相交C．相切D．相交或相切【變式3.2】（青島一模）如圖，在Rt△ABC中，∠,AC＝5cm，以點(diǎn)C為圓心，以2cm的長(zhǎng)為半徑作圓，則。C與AB的位置關(guān)系是()A．相離B．相交C．相切D．相切或相交圓O是以AB為直徑的圓．如果以點(diǎn)C為圓心作圓C與直線AD相交，與圓O沒(méi)有公共點(diǎn)，那么圓C的半徑長(zhǎng)可以是()【考點(diǎn)4】切線的性質(zhì)D.【變式4.1】（費(fèi)縣期末）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB和小圓切于點(diǎn)P，若圓環(huán)的面積是【變式4.2】（常州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC=,點(diǎn)D是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心r為半徑作ΘD，直線BC與ΘD切于點(diǎn)E，若點(diǎn)E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F恰好落在AB邊上，A.B．1D.【變式4.3】（梁溪區(qū)校級(jí)期中）如圖，□ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D均在ΘO上，且對(duì)角線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，BC與ΘO相切于點(diǎn)B，已知ΘO的半徑為6，則□ABCD的面積為()A．54B．76.8C．36D．72+14√5【考點(diǎn)s】切線長(zhǎng)定理【例5】（西崗區(qū)期末）如圖，P為ΘO外一點(diǎn)，PA、PB分別切ΘO于點(diǎn)A、B，CD切ΘO于點(diǎn)E，分別交A．8B．12C．16【變式5.1】（文昌期末）如圖，四邊形ABCD是ΘO的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCDA．44B．42C．46【變式5.2】（河北模擬）如圖，ΘO內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°,其兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)N，M，若CM+CN＝4，則ΘO的面積為()【變式5.3】（高陽(yáng)縣期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，ΘO是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在ΘO的右側(cè)沿著與ΘO相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的A．12cmB．7cmC．6cmD．隨直線MN的變化而變化【考點(diǎn)6】三角形的內(nèi)切圓【例6】（微山縣期末）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作ΘO經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)B，C作ΘO的兩條切線相交于點(diǎn)D，OD交ΘO于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)F．下面結(jié)論中，錯(cuò)誤的是()A．BC⊥ODB．AC∥ODC．FD＝FED．點(diǎn)E為△BCD的內(nèi)心【變式6.1】（利川市期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓ΘO與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD=A．10B．12C．14【變式6.2】（孟村縣期末）如圖，ΘO是Rt△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E是切點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是D．四邊形ODCE沒(méi)有外接圓【變式6.3】（豐南區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°,AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接BE，交AD于點(diǎn)F，若AE＝BE，則下列說(shuō)法正確的為()A．點(diǎn)F為△ABC的外心B．點(diǎn)F到△ABC三邊的距離相等C．點(diǎn)E、B、C在以F為圓心的同一個(gè)圓上D．點(diǎn)E為AC中點(diǎn)【考點(diǎn)7】圓的最值問(wèn)題1半徑為1，D是ΘC上的一動(dòng)點(diǎn)，則△ABD面積的最大值為()A．9B．12C．200半徑為1，若點(diǎn)D為ΘO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DB與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值為()A．1B．2【變式7.2】（思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知P是ΘO的直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C是ΘO上一點(diǎn)，∠APC的平分線交AC于點(diǎn)D．若PC與ΘO的位置關(guān)系是相交，則∠PDC的度數(shù)不可能是()【變式7.3】（松山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P（3，4ΘP半徑為2，A（2.8，0B（5.6，0點(diǎn)M是ΘP上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是()【考點(diǎn)8】切線的有關(guān)計(jì)算與證明問(wèn)題【例8】（衛(wèi)輝市期末）如圖，AB是ΘO的直徑，過(guò)點(diǎn)A作ΘO的切線AC，點(diǎn)P是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BD∥OP，交ΘO于點(diǎn)D，連接PD.（1）求證：PD是ΘO的切線；（2）當(dāng)∠APO的度數(shù)為時(shí)，四邊形POBD是平行四邊形.點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑作圓，ΘO經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于E，交AB與F.（1）求證：AC是ΘO的切線；（2）如果CE＝2，CD＝4，求ΘO的半徑.【變式8.2】（閩侯縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.（1）求證：AC是ΘO的切線；（2）若OB＝13，CD＝12，求EC的長(zhǎng).【變式8.3】（黔東南州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°,∠BAC的平分線交BC于D，E為AB上一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑畫圓.（1）求證：AC是ΘD的切線；（2）若AB＝12，BC＝9．求ΘD的半徑.【考點(diǎn)9】圓中有關(guān)陰影部分面積的計(jì)算【例9】（臨沭縣二模）如圖，在ΘO中，AC為ΘO的直徑，AB為ΘO的弦，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，交ΘO于點(diǎn)N，分別連接EB，CN.（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是；（2）求證麗；（3）若AMMB＝2，求陰影部分圖形的面積.【變式9.1】（河北二模）如圖、點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到扇形DPE，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PE交AB于點(diǎn)M、連接PM，與交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥PM交BC于點(diǎn)N.（1）求證：△PEM≌△PDN；（2）已知PD＝3，EM=;①通過(guò)計(jì)算比較線段PN和哪個(gè)長(zhǎng)度更長(zhǎng)；②計(jì)算圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π).【變式9.2】（亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°,以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D.（2）若D是AB的中點(diǎn)，AB＝4，求陰影部分的面積；（3）若，求AD?AB的值.【變式9.3】（南昌模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,O在斜邊AB上，且AO＝AC，連接CO，并延長(zhǎng)至D，使∠D=∠OCB，以O(shè)為圓心，OD為半徑畫圓，交DB延長(zhǎng)線于E點(diǎn).（1）求證：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC＝cm.①連接CE，過(guò)B作BF⊥EC于F點(diǎn)，求線段BF的長(zhǎng)；②求圖中陰影部分面積.【考點(diǎn)10】圓與相似綜合問(wèn)題【例10】（北林區(qū)期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑作圓，在ΘO上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，連接DC，過(guò)點(diǎn)A作ΘO的切線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠DCB=∠DAC.（1）求證：CD是ΘO的切線；（2）若AD＝6求AE的長(zhǎng).【變式10.1】（包頭三模）如圖，線段AB經(jīng)過(guò)ΘO的圓心O，交ΘO于A，C兩點(diǎn)，AD為ΘO的弦，連接BD，∠A=∠ABD＝30°,連接DO并延長(zhǎng)，交ΘO于點(diǎn)E，連接BE交ΘO于點(diǎn)F.（1）求證：BD是ΘO的切線；（2）求證：2AD2＝DE?AB；（3）若BC＝1，求BF的長(zhǎng).【變式10.2】（漣水縣期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的ΘO與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.（1）求證：EF是ΘO的切線；（2）若的半徑為，BD＝2，求CE的長(zhǎng).【變式10.3】（福清市期中）如圖，AB為ΘO的直徑，點(diǎn)C在ΘO上，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，在OD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，連接CE，且∠E=∠B.（1）求證：CE是ΘO的切線；（2）若ΘO的半徑長(zhǎng)為2√5，CE＝4√5，求BC的長(zhǎng).【考點(diǎn)11】圓與三角函數(shù)綜合問(wèn)題【例11】（高新區(qū)期中）如圖，以△ABC的邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的ΘO經(jīng)過(guò)B點(diǎn)與AC交于D點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD=∠C，tanC=.（1）求證：AB為ΘO的切線；（2）若AD＝1，求CD；（3）設(shè)AM為∠BAC的平分線，AM＝4，求ΘO的半徑.【變式11.1】（青山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的ΘD與AC交于點(diǎn)E.（1）求證：BC是ΘD的切線；（2）若sinC設(shè)BC切ΘD于點(diǎn)F，求tan∠CFE的值；【變式11.2】（南京模擬）如圖，AB是ΘO的弦，D為OA半徑的中點(diǎn)，過(guò)D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交ΘO于點(diǎn)F，且CE＝CB.（1）求證：BC是ΘO的切線；（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)；（3）如果BE＝13求ΘO的半徑.【變式11.3】（郯城縣二模）如圖，AB為ΘO直徑，C、D為ΘO上不同于A、B的兩點(diǎn)，∠ABD＝2∠BAC，連接CD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點(diǎn).（1）求證：CF為ΘO的切線；（2）當(dāng)時(shí)，求BF的長(zhǎng).【考點(diǎn)12】圓與函數(shù)綜合問(wèn)題【例12】（西山區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖AB是ΘO的直徑，AM，BN與ΘO分別相切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，OD平分∠ADC.（1）求證：CD是ΘO的切線；（2）若ΘO的直徑為10，設(shè)AD＝x，BC＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.【變式12.1】（海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在半圓O中，C是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合且AB＝6，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交半ΘO于點(diǎn)D，若AC＝x，DC＝y(tǒng).（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)AC＝時(shí)，DC的長(zhǎng)度取得最大值，最大值為；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用適當(dāng)工具準(zhǔn)確畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象.如圖1，ΘO與直線a相離，過(guò)圓心O作直線a的垂線，垂足為H，且交ΘO于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間我們把點(diǎn)P稱為ΘO關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ?PH的值稱為ΘO關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)望數(shù)”.（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4過(guò)點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m，則半徑為1的ΘO關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”坐標(biāo)是，直線m向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與ΘO相切.（2）在（1）的條件下求ΘO關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)望數(shù)”.【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（6√5，0與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2以F為圓心，OF為半徑作ΘF．若ΘF與直線l相離，O是ΘF關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”．且ΘF關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)望數(shù)”是12√5，求直線l的函數(shù)表達(dá)式.【變式12.3】（海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以D（5，4）為圓心的圓與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且AB＝6.（1）求經(jīng)過(guò)C、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為F，證明直線FA與ΘD相切；（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△CBN面積最大？若存在，求出△CBN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)13】以圓為載體的閱讀材料綜合問(wèn)題【例13】（太原二模）閱讀與應(yīng)用請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：托勒密是“地心說(shuō)”的集大成者，著名的天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家．后人從托勒密的書中發(fā)現(xiàn)一個(gè)命題：圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積．下面是對(duì)這個(gè)命題的證明過(guò)程.求證：AB?DC+AD?BC＝AC?BD.證明：如圖2，作∠BAE=∠CAD交BD于點(diǎn)E.∵=,∴∠ABE=∠ACD依據(jù)）∴△ABC∽△AED.∴=∵AB?DC＝AC?BE，∴AB?DC+AD?BC＝AC?BE+AC?ED＝AC（BE+EDAC?BD.∴AB?DC+AD?BC＝AC?BD.任務(wù)：（1）證明過(guò)程中的“依據(jù)”是；（2）補(bǔ)全證明過(guò)程；（3）如圖3，ΘO的內(nèi)接五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)都為2，求對(duì)角線BD