2024年高中數(shù)學(xué)選修導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點歸納及單元測試

第三章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元測試題選擇題（本大題共10小題，共50分，只有一個答案正確）1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）(A)(B)(C)(D)2．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（） (A)(B)(C)(D)3．已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．4．若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則（）（A）（B）（C）（D）5．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A．B．C．D．6．曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，不也許正確的是（）8．已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意實數(shù)都有，則的最小值為（）A．B．C．D．9．設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（）Ａ．充足無須要條件 Ｂ．必要不充足條件Ｃ．充足必要條件 Ｄ．既不充足也無須要條件10．函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）（A）y（B）（C）（D）O1234x二．填空題（本大題共4小題，共20分）11．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿＿．12．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則＿＿．13．點P在曲線上移動，設(shè)在點P處的切線的傾斜角為為，則的取值范圍是14．已知函數(shù)(1)若函數(shù)在總是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是.(2)若函數(shù)在上總是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍.（3）若函數(shù)在區(qū)間（-3，1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是.三．解答題（本大題共4小題，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？16．設(shè)函數(shù)在及時取得極值．（1）求a、b的值；（2）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．17．設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點的坐標(biāo)分別為、，該平面上動點滿足,點是點有關(guān)直線的對稱點，.求(Ⅰ)求點的坐標(biāo)；(Ⅱ)求動點的軌跡方程.18. 已知函數(shù) （1）求曲線在點處的切線方程； （2）若有關(guān)的方程有三個不一樣的實根，求實數(shù)的取值范圍.19．已知（1）當(dāng)初，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）當(dāng)初，討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。（3）是否存在負(fù)實數(shù)，使，函數(shù)有最小值－3？20．已知函數(shù)，，其中．（1）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；（2）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍．第三章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》單元測試題答案一、選擇題CABAADDCBB二、11．12．3213．14.(1)三、解答題15.解：設(shè)長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當(dāng)0＜x＜1時，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜時，V′（x）＜0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2m，高為1.5m.答：當(dāng)長方體的長為2m時，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m316．解：（1），因為函數(shù)在及取得極值，則有，．即解得，．（2）由（Ⅰ）可知，，．當(dāng)初，；當(dāng)初，；當(dāng)初，．因此，當(dāng)初，取得極大值，又，．則當(dāng)初，的最大值為．因為對于任意的，有恒成立，因此，解得或，因此的取值范圍為．17．解:(1)令解得當(dāng)初,,當(dāng)初,,當(dāng)初,因此,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,因此,點A、B的坐標(biāo)為.(2)設(shè)，，，因此，又PQ的中點在上，因此消去得.另法：點P的軌跡方程為其軌跡為以（0，2）為圓心，半徑為3的圓；設(shè)點（0，2）有關(guān)y=2(x-4)的對稱點為(a,b),則點Q的軌跡為以(a,b),為圓心，半徑為3的圓，由，得a=8,b=-218．解（1）………2分∴曲線在處的切線方程為，即；……4分（2）記令或1.…………6分則的變化情況如下表極大極小當(dāng)有極大值有極小值.………10分由的簡圖知，當(dāng)且僅當(dāng)即時，函數(shù)有三個不一樣零點，過點可作三條不一樣切線.因此若過點可作曲線的三條不一樣切線，的范圍是.…………14分19．（1）或遞減;遞增;（2）1、當(dāng)遞增;2、當(dāng)遞增;3、當(dāng)或遞增;當(dāng)遞增;當(dāng)或遞增;（3）因由②分兩類（依據(jù)：單調(diào)性，極小值點是否在區(qū)間[-1,0]上是分類“契機(jī)”：1、當(dāng)遞增，，解得2、當(dāng)由單調(diào)性知：，化簡得：，解得不合要求；綜上，為所求。20．（1）解法1：∵，其定義域為，∴．∵是函數(shù)的極值點，∴，即．∵，∴．經(jīng)檢查當(dāng)初，是函數(shù)的極值點，∴．解法2：∵，其定義域為，∴．令，即，整頓，得．∵，∴的兩個實根（舍去），，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：—0＋極小值依題意，，即，∵，∴．（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．當(dāng)［1，］時，．∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．∵，且，．①當(dāng)且［1，］時，，∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，∴.由≥，得≥，又，∴不合題意．②當(dāng)1≤≤時，若1≤＜，則，若＜≤，則．∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．∴.由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．③當(dāng)且［1，］時，，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．∴.由≥，得≥，又，∴．綜上所述，的取值范圍為．第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點總結(jié)1、函數(shù)從到的平均變化率：2、導(dǎo)數(shù)定義：在點處的導(dǎo)數(shù)記作；．3、函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率．4、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧5、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：；；．6、在某個區(qū)間內(nèi)，若，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．7、求函數(shù)的極值的措施是：解方程．當(dāng)初：假如在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；假如在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值．8、求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟是：求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．9、導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用：最優(yōu)化問題。育星教育網(wǎng)88.com【文科測試解答】一、選擇題1．;2．，選(A)3.(B)數(shù)形結(jié)合4.A由,依題意，首先要求b>0,因此由單調(diào)性分析，有極小值，由得.5．解：與直線垂直的直線為，即在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而，因此在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為，故選A6．（D）7．（D）8．（C）9．（B）10．B設(shè)x=2,x=3時曲線上的點為AB,點A處的切線為AT點B處的切線為BQ， TyBA如圖所示，切線BQ的傾斜角小于直線AB的傾斜角小于Q切線AT的傾斜角O1234x因此選B11．12．3213．14.(1)三、解答題15.解：設(shè)長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當(dāng)0＜x＜1時，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜時，V′（x）＜0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2m，高為1.5m.答：當(dāng)長方體的長為2m時，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m316．解：（1），因為函數(shù)在及取得極值，則有，．即解得，．（2）由（Ⅰ）可知，，．當(dāng)初，；當(dāng)初，；當(dāng)初，．因此，當(dāng)初，取得極大值，又，．則當(dāng)初，的最大值為．因為對于任意的，有恒成立，因此，解得或，因此的取值范圍為．17．解:(1)令解得當(dāng)初,,當(dāng)初,,當(dāng)初,因此,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,因此,點A、B的坐標(biāo)為.(2)設(shè)，，，因此，又PQ的中點在上，因此消去得.另法：點P的軌跡方程為其軌跡為以（0，2）為圓心，半徑為3的圓；設(shè)點（0，2）有關(guān)y=2(x-4)的對稱點為(a,b),則點Q的軌跡為以(a,b),為圓心，半徑為3的圓，由，得a=8,b=-218．解（1）………2分∴曲線在處的切線方程為，即；……4分（2）記令或1.…………6分則的變化情況如下表極大極小當(dāng)有極大值有極小值.………10分由的簡圖知，當(dāng)且僅當(dāng)即時，函數(shù)有三個不一樣零點，過點可作三條不一樣切線.因此若過點可作曲線的三條不一樣切線，的范圍是.…………14分19．（1）或遞減;遞增;（2）1、當(dāng)遞增;2、當(dāng)遞增;3、當(dāng)或遞增;當(dāng)遞增;當(dāng)或遞增;（3）因由②分兩類（依據(jù)：單調(diào)性，極小值點是否在區(qū)間[-1,0]上是分類“契機(jī)”：1、當(dāng)遞增，，解得2、當(dāng)由單調(diào)性知：，化簡得：，解得不合要求；綜上，為所求。20．（1）解法1：∵，其定義域為，∴．∵是函數(shù)的極值點，∴，即．∵，∴．經(jīng)檢查當(dāng)初，是函數(shù)的極值點，∴．解法2：∵，其定義域為，∴．令，即，整頓，得．∵，∴的兩個實根（舍去），，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：—0＋極小值依題意，，即，∵，∴．（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．當(dāng)［1，］時，．∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．∵，且，．①當(dāng)且［1，］時，，∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，∴.由≥，得≥，又，∴不合題意．②當(dāng)1≤≤時，若1≤＜，則，若＜≤，則．∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．∴.由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．③當(dāng)且［1，］時，，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．∴.由≥，得≥，又，∴．綜上所述，的取值范圍為．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點總結(jié)1、函數(shù)從到的平均變化率：2、導(dǎo)數(shù)定義：在點處的導(dǎo)數(shù)記作；．3、函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義