適用于新教材強基版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第二章函數(shù)2.9指對冪的大小比較新人教A版

§2.9指、對、冪的大小比較指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2找中間值例2(2023·上饒模擬)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>b>a聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>b>a D．c>a>b(2)(2023·安陽模擬)已知a＝log20.3，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0.3，c＝eq\f(\r(5),5)，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小例4(1)已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b(2)(2023·棗陽模擬)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>c>a D．c>a>b聽課記錄：_____________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(參考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a(2)(2022·汝州模擬)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，則()A．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c題型三構(gòu)造函數(shù)比較大小例5(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝eq\f(5,ln5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<a<b B．a(chǎn)<c<bC．b<c<a D．a(chǎn)<b<c(2)(2023·南寧模擬)已知a＝68，b＝77，c＝86，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b>c>a B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大?。櫽?xùn)練3(1)設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>1，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系是()A.eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2) B.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)C.eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5) D.e