數學（選修45）課件12比較法證不等式

第1章基本不等式和證明不等式的基本方法1.2比較法證不等式1．比較法(1)求差比較法我們已經知道a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，因此，要證明a＞b，只要證明__________即可，這種方法稱為求差比較法．(2)求商比較法a－b＞0

(1)求差比較法主要適用的類型是什么？實質是什么？(2)求商比較法主要適用的類型是什么？提示：(1)求差比較法主要適用于具有多項式結構特征的不等式證明．實質是把判斷兩個數(或式子)大小的問題轉化為判斷一個數(或式子)與0大小的問題．(2)求商比較法主要適用于積(商)、冪(根式)、指數式形式的不等式證明．2．不等式的基本性質(1)性質1：若a＞b，c∈R，則a＋c__________b＋c；(2)性質2：若a＞b，b＞c，則a__________c；(3)性質3：若a＞b，c＞d，則a＋c__________b＋d；(4)性質4：①若a＞b，c＞0，則ac__________bc；＞＞＞＞＜＞＞＞

設△ABC的三邊長分別是a，b，c，求證：4(ab＋bc＋ac)＞(a＋b＋c)2.證明：∵a，b，c是△ABC的三邊長．∴a＞0，b＞0，c＞0，且b＋c－a＞0，c＋a－b＞0，a＋b－c＞0.∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2)＝a(b＋c－a)＋b(c＋a－b)＋c(a＋b－c)＞0.∴4(ab＋bc＋ac)＞(a＋b＋c)2.作差比較法證明不等式【點評】比較法是證明不等式的一個最基本、最常用的方法．當被證明的不等式兩端是多項式、分式或對數式，一般用求差比較法．1．已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.證明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0.∴(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.作商比較法證明不等式【點評】當被證明的不等式(或變形后)的兩端都是正數且為乘積形式或冪指數形式時，一般用求商比較法．利用不等式的基本性質求取值范圍【點評】求代數式的取值范圍是不等式性質應用的一個重要方面，嚴格依據不等式的性質和運算法則進行運算，是解答此類問題的基礎，在使用不等式的基本性質時，如果是由兩個變量的范圍求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉化為同向不等式后作和．1．不等式的基本性質是解不等式和證明不等式的依據，注意以下兩個方面的問題：(1)理解不等式基本性質的條件和結論，注意條件的加強或減弱與結論的關系．(2)正確運用不等式的性質，注意結論成立的條件．2．作差比較法(1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的是判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少．(2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用其他有效的恒等變形的方法．

(3)因式分解是常用的變