人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義5.7三角函數(shù)的應(yīng)用(原卷版+解析)

5．7三角函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)中，，，的物理意義1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是．2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期．3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率．4、稱為相位．5、時(shí)的相位稱為初相．知識(shí)點(diǎn)二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問(wèn)題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．知識(shí)點(diǎn)三、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問(wèn)題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問(wèn)題．（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)式．知識(shí)點(diǎn)四、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問(wèn)題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問(wèn)題．（3）整理一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)五、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn)（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識(shí)來(lái)理解．【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用題型五：幾何中的三角函數(shù)模型【典型例題】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過(guò)耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來(lái)抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）A． B． C． D．例2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，則小球在秒時(shí)h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若電流I（單位：A）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則函數(shù)的最小正周期為______，當(dāng)時(shí)的電流為______A．變式1．（2022·山東山東·高一期中）將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個(gè)簡(jiǎn)易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像．它表示了漏斗對(duì)平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時(shí)間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示，已知一根長(zhǎng)為lcm的線一端固定，另一端懸一個(gè)漏斗，漏斗擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計(jì)線的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm變式2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某個(gè)彈簧振子（簡(jiǎn)稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中，時(shí)間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，其變化規(guī)律可以用求刻畫.(1)求此彈簧振子運(yùn)動(dòng)的周期；(2)求時(shí)彈簧振子所處的位置距離初始位置（）的距離是多少？變式3．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，一根長(zhǎng)l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小鋼球，當(dāng)小鋼球做單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移S（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，其中.(1)當(dāng)時(shí)，小鋼球離開平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動(dòng)的周期是1s，則線的長(zhǎng)度l應(yīng)該為多少cm（精確到0.1cm）？【方法技巧與總結(jié)】處理物理學(xué)問(wèn)題的策略（1）常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題．題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用例4．（2022·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬(wàn)元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬(wàn)元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒(méi)有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長(zhǎng)時(shí)方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.例5．（2022·廣東佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印發(fā)了《城市“暢通工程”兩年行動(dòng)方案》（以下簡(jiǎn)稱《方案》），聚焦人民群眾反映強(qiáng)烈的城市交通擁堵問(wèn)題，通過(guò)微改造、微調(diào)整，為市民出行創(chuàng)造更加暢通有序的交通環(huán)境．現(xiàn)某醫(yī)院附近有條長(zhǎng)500米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形ABCD），改造前，路的一側(cè)劃有100個(gè)長(zhǎng)5米，寬2.5米的停車位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過(guò)壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來(lái)增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對(duì)道路傾斜的角度，其中．(1)求d關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，求該路段改造后的停車位比改造前增加的個(gè)數(shù)．例6．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時(shí)的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題例7．（2022·全國(guó)·高一）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)刻與水深值（單位：）記錄表：時(shí)刻水深值經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來(lái)描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問(wèn)該船在一天內(nèi)（）何時(shí)能進(jìn)入港口？例8．（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期中）“八月十八潮，壯觀天下無(wú)．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩(shī)展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，通過(guò)實(shí)地考察某港口水深y（米）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系，經(jīng)過(guò)多次測(cè)量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過(guò)查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請(qǐng)你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時(shí)間段的建議．例9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時(shí)間（，單位：小時(shí)）而周期性變化．每天各時(shí)刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：（時(shí)）（米）(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從，，中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的時(shí)至?xí)r之間，當(dāng)浪高不低于米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．變式4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深y（米）是隨著一天的時(shí)間t（0≤t≤24，單位小時(shí)）呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時(shí)）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①，②，③．中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問(wèn)：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．變式5．（2022·廣西·桂林十八中高一開學(xué)考試）某港口的水深（單位：是時(shí)間的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.97101310.1710一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的．(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：，，，你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)你求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？變式6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某港口的水深(單位：)是時(shí)間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的．(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：，你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫y與t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問(wèn)題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對(duì)→作散點(diǎn)圖→確定擬合函數(shù)→解決實(shí)際問(wèn)題．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用例10．（2022·廣東廣州·高一期末）一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：m）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（

）A．0 B．1 C．3 D．4例11．（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是一大觀覽車的示意圖，已知觀覽車輪半徑為80米，觀覽車中心到地面的距離為82米，觀覽車每30分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)1圈.若是從距地面42米時(shí)開始計(jì)算時(shí)間時(shí)的初始位置，以觀覽車的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t（單位：分鐘），且此時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為h（單位：米），則h是關(guān)于t的函數(shù).當(dāng)時(shí)關(guān)于的圖象，下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)稱中心為B．對(duì)稱中心為C．對(duì)稱軸為D．對(duì)稱軸為變式7．（2022·上海市建平中學(xué)高一期中）一個(gè)半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時(shí)針作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間．(1)以過(guò)點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離水面的高度不低于2米？變式8．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過(guò)點(diǎn)且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？變式9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，一個(gè)摩天輪的半徑為10m，輪子的最低處距離地面2m．如果此摩天輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每30min轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（點(diǎn)P與摩天輪中心O的高度相同）時(shí)開始計(jì)時(shí)．(1)求此人相對(duì)于地面的高度h（m）關(guān)于時(shí)間t（min）的函數(shù)關(guān)系式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不小于17m？變式10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．(1)求1號(hào)座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號(hào)座艙與地面的距離為17米時(shí)t的值；(3)記1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為H米，求當(dāng)H取得最大值時(shí)t的值．變式11．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設(shè)置有個(gè)座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí).(1)經(jīng)過(guò)分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值.題型五：幾何中的三角函數(shù)模型例13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內(nèi)接矩形，為上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)在怎樣的位置時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大值．例14．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期末）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，其中扇形的半徑為，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一點(diǎn)，，工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)有兩邊分別在與上的矩形鐵皮.(1)寫出矩形鐵皮的面積與角度的函數(shù)關(guān)系式；(2)求矩形鐵皮面積的最大值和此時(shí)的值.例15．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）我市某旅游區(qū)有一個(gè)人工湖，如圖所示，它的邊界是由圓O的半個(gè)圓?。≒為此圓弧的中點(diǎn)）和直徑MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為1千米．為增加旅游收入，現(xiàn)在該人工湖上規(guī)劃建造兩個(gè)觀景區(qū)：其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形ABCD；噴泉觀景區(qū)的形狀為．要求端點(diǎn)A，B均在直徑MN上，端點(diǎn)C，D均在圓弧上．設(shè)OC與直徑MN所成的角為．(1)試用分別表示矩形ABCD和的面積；(2)若在矩形ABCD兩側(cè)線段AD，BC的位置架起兩座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用每千米8萬(wàn)元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)費(fèi)用每平方千米16萬(wàn)元，建造荷花池的總費(fèi)用為5萬(wàn)元．問(wèn)：的角度為多少時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用值．（結(jié)果保留整數(shù)）變式12．（2022·貴州·凱里一中高一開學(xué)考試）已知扇形（如圖所示），圓心角，半徑，在弧上取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為y.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；(2)求矩形面積的最大值，并求此時(shí)x的取值.變式13．（2022·遼寧·大連市第一中學(xué)高一期中）扇形的圓心角為，所在圓半徑OA為2，它按如圖（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．圖（Ⅰ）矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；圖（Ⅱ）點(diǎn)M是圓弧的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對(duì)稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；設(shè)圖（Ⅰ）下矩形CDEF面積的最大值為，圖（Ⅱ）下矩形CDEF面積的最大值為，求出與，并比較與的大?。兪?4．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一期中）某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地，經(jīng)測(cè)量其半徑為m，圓心角為.學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上修建一所矩形室內(nèi)籃球場(chǎng)ABCD，初步設(shè)計(jì)方案如圖1所示.(1)求出初步設(shè)計(jì)方案中矩形ABCD面積的最大值.(2)你有沒(méi)有更好的設(shè)計(jì)方案來(lái)獲得更大的籃球場(chǎng)面積？若有在圖2畫出來(lái)，并證明你的結(jié)論.變式15．（2022·安徽·高一期中）某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購(gòu)房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個(gè)花園，如圖所示．已知扇形的圓心角，半徑為200米．現(xiàn)需要修建的花園為平行四邊形，其中、分別在半徑、上，在上．(1)求扇形的弧長(zhǎng)和面積；(2)設(shè)，平行四邊形的面積為S．求S關(guān)于角的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域．變式16．（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對(duì)應(yīng)的x的值.變式17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，且矩形ABCD的周長(zhǎng)為l．如果AB與的夾角為，那么當(dāng)為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大？【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動(dòng)（的單位：千元，，，，為月份，且）．已知3月出廠價(jià)最高，為9千元，7月出廠價(jià)最低，為5千元，則的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若電流ⅠA．隨著時(shí)間t（s）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）筒車是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，是中國(guó)古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個(gè)半徑為6m的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼妱蛩傩D(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個(gè)盛水筒P，以P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間（單位：s）為（

）A．7 B．8 C．9 D．104．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）單擺從某點(diǎn)開始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離S（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)的振幅（厘米）和一次所需的時(shí)間（秒）為（

）A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，25．（2022·江西·上饒中學(xué)高一階段練習(xí)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級(jí)，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)中被日軍飛機(jī)炸毀，現(xiàn)僅存三級(jí)，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國(guó)古代工匠已經(jīng)知道，將長(zhǎng)方體磚塊以某個(gè)固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長(zhǎng)方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長(zhǎng)方體磚塊底面較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，如圖2，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）表中給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深關(guān)系．時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t（0≤t≤24）的關(guān)系可用函數(shù)來(lái)近似描述，則該港口在11：00的水深為（

）A．4m B．5m C．6m D．7m7．（2022·北京·高一期末）石景山游樂(lè)園“夢(mèng)想之星”摩天輪采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡(jiǎn)約.“夢(mèng)想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為分鐘，配有個(gè)球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過(guò)即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過(guò)程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．（2022·北京·高一期中）如圖，摩天輪的半徑為40米.摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).每30分鐘轉(zhuǎn)一圈.若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.下面有關(guān)結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)10分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為45米B．第25分鐘和第70分鐘點(diǎn)P距離地面的高度相同C．從第10分鐘至第20分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度一直在上升D．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P距離地面的高度不低于65米的時(shí)間為10分鐘二、多選題9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高一期中）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)5圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足關(guān)系式，則有（

）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高一）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過(guò)10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過(guò)85米的時(shí)間為20分鐘11．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖），證明了被稱為幾何學(xué)的基石——勾股定理的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度得到如圖所示的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，現(xiàn)以弦圖的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，線段OA在如圖所示的x軸上（其中有兩“股”線延長(zhǎng)交x，y軸分別為A，B），此“數(shù)學(xué)風(fēng)車”繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為2秒，，分別用，表示t秒后A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么以下選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)與的圖象經(jīng)過(guò)平移后可以重合B．函數(shù)的最大值為2C．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．函數(shù)在上單調(diào)遞減12．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．如圖，我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移（cm）和時(shí)間t（）的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次位移為的時(shí)間分別為，，，且，，則下列是的單調(diào)區(qū)間的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）小明給學(xué)校設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)文化長(zhǎng)廊，計(jì)劃將長(zhǎng)廊的頂部遮雨棚設(shè)計(jì)成如圖所示的橫截面為正弦型曲線的形狀（雨棚的厚度忽略不計(jì)）．已知入口處高度AB和出口處高度CD均為H，為使參觀者行走方便，要求雨棚的最低點(diǎn)到地面的距離不小于雨棚的最高點(diǎn)到地面距離的，則雨棚橫截面正弦型曲線振幅的最大值為______．14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某游樂(lè)場(chǎng)中半徑為米的摩天輪逆時(shí)針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度（米）隨時(shí)間（秒）變化的關(guān)系式為_____.15．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)（x=1，2，3，…，12）來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫為28℃；12月份的月平均氣溫為18℃，則10月份的平均氣溫為___________℃.16．（2022·全國(guó)·高一）為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖的位置為，若初始位置為，當(dāng)秒針針尖從（注：此時(shí)）正常開始走時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為__________.四、解答題17．（2022·遼寧·高一期中）某港口在一天之內(nèi)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，其中h為水深（單位：米），t為時(shí)間（單位：小時(shí)），該函數(shù)部分圖象如圖所示．若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內(nèi)能在該港口停留多久？18．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）某港口的海水深度y（單位：）是時(shí)間t（，單位：）的函數(shù)，記為.已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下表：0369121518212410139.97101310.1710經(jīng)長(zhǎng)期觀察，的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的.(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出的函數(shù)解析式；(2)已知某船的吃水深度（船底與水面的距離）為，若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？19．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下表是某地一年中10天測(cè)量得白晝時(shí)間統(tǒng)計(jì)表（時(shí)間近似0.1小時(shí)，一年按365天計(jì)）．日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號(hào)15980117126172225268298355白晝時(shí)間（小時(shí)）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)以日期在365一天中得位置序號(hào)為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間為縱坐標(biāo)，在給定的坐標(biāo)中，試選用一個(gè)形如的函數(shù)來(lái)近似描述一年中，白晝時(shí)間與日期位置序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)用（1）中的函數(shù)模型估計(jì)該地一年中大約有多少天白晝時(shí)間大于15.9小時(shí)．20．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)（文））若單擺中小球相對(duì)靜止位置的位移隨時(shí)間的變化而周期性變化，如圖所示，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)單擺運(yùn)動(dòng)的周期是多少？(2)從點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如從點(diǎn)算起呢？(3)當(dāng)時(shí)，單擺小球相對(duì)于靜止位置的位移是多少？21．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）如圖，摩天輪上一點(diǎn)距離地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為，，已知摩天輪的半徑為50m，其中心點(diǎn)距地面60m，摩天輪以每30分鐘轉(zhuǎn)一圈的方式做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.(1)根據(jù)條件具體寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)有多長(zhǎng)時(shí)間距離地面超過(guò)85m？5．7三角函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)中，，，的物理意義1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是．2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期．3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率．4、稱為相位．5、時(shí)的相位稱為初相．知識(shí)點(diǎn)二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問(wèn)題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．知識(shí)點(diǎn)三、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問(wèn)題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問(wèn)題．（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)式．知識(shí)點(diǎn)四、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問(wèn)題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問(wèn)題．（3）整理一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)五、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn)（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識(shí)來(lái)理解．【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用題型五：幾何中的三角函數(shù)模型【典型例題】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過(guò)耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來(lái)抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵胍舻穆暡ㄇ€（其中，，）的振幅為1，則，周期為，則，初相位為，，所以噪聲的聲波曲線的解析式為，所以通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．故選：A.例2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，則小球在秒時(shí)h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動(dòng)，故，即，又，故，故，故當(dāng)時(shí)，故選：D例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若電流I（單位：A）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則函數(shù)的最小正周期為______，當(dāng)時(shí)的電流為______A．【答案】

【解析】由圖象，可知該函數(shù)的最小正周期是，設(shè)，由函數(shù)的最小正周期是，可知，故時(shí)的電流是0A．故答案為：；0.變式1．（2022·山東山東·高一期中）將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個(gè)簡(jiǎn)易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像．它表示了漏斗對(duì)平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時(shí)間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示，已知一根長(zhǎng)為lcm的線一端固定，另一端懸一個(gè)漏斗，漏斗擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計(jì)線的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm【答案】C【解析】由，得.由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的周期為，所以，即.故選：C.變式2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某個(gè)彈簧振子（簡(jiǎn)稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中，時(shí)間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，其變化規(guī)律可以用求刻畫.(1)求此彈簧振子運(yùn)動(dòng)的周期；(2)求時(shí)彈簧振子所處的位置距離初始位置（）的距離是多少？【解析】（1）由圖可知，函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故，,即彈簧振子運(yùn)動(dòng)的周期為4.8s.（2）由圖知，，故，，因?yàn)?，由，所以，所以，故，而，所以時(shí)，該彈簧振子離時(shí)刻的距離是.變式3．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，一根長(zhǎng)l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小鋼球，當(dāng)小鋼球做單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移S（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，其中.(1)當(dāng)時(shí)，小鋼球離開平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動(dòng)的周期是1s，則線的長(zhǎng)度l應(yīng)該為多少cm（精確到0.1cm）？【解析】(1)在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，小鋼球離開平衡位置的位移S是1.5cm.(2)依題意，，而周期，又，則，即，解得()，所以線的長(zhǎng)度l應(yīng)該為.【方法技巧與總結(jié)】處理物理學(xué)問(wèn)題的策略（1）常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題．題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用例4．（2022·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬(wàn)元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬(wàn)元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒(méi)有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長(zhǎng)時(shí)方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.【解析】（1）由題可知，，其中（2）由（1）可得因?yàn)椋?，設(shè)，則，即，因?yàn)?，所以，解得，，此時(shí)，，滿足，故當(dāng)時(shí)，總施工費(fèi)用y達(dá)到最小，所以例5．（2022·廣東佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印發(fā)了《城市“暢通工程”兩年行動(dòng)方案》（以下簡(jiǎn)稱《方案》），聚焦人民群眾反映強(qiáng)烈的城市交通擁堵問(wèn)題，通過(guò)微改造、微調(diào)整，為市民出行創(chuàng)造更加暢通有序的交通環(huán)境．現(xiàn)某醫(yī)院附近有條長(zhǎng)500米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形ABCD），改造前，路的一側(cè)劃有100個(gè)長(zhǎng)5米，寬2.5米的停車位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過(guò)壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來(lái)增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對(duì)道路傾斜的角度，其中．(1)求d關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，求該路段改造后的停車位比改造前增加的個(gè)數(shù)．【解析】（1）由圖知：，，又，所以；（2）由，得，解得，因?yàn)椋陨崛?，如圖所示：作，交于，則，，所以，則，所以第一個(gè)車位最右邊離EM為，第二個(gè)車位最右邊離EM為，第n個(gè)車位最右邊離EM為，則，解得，因?yàn)閚為整數(shù)，所以，改造前車位有個(gè)，所以改造后增加個(gè).例6．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時(shí)的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.【解析】(1)由圖象可知：，，最小正周期，，，；，，，解得：，又，.(2)由圖象可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即這一天時(shí)的最大溫差近似值為.【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題例7．（2022·全國(guó)·高一）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)刻與水深值（單位：）記錄表：時(shí)刻水深值經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來(lái)描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問(wèn)該船在一天內(nèi)（）何時(shí)能進(jìn)入港口？【解析】(1)，，，；由表格數(shù)據(jù)知：最小正周期，即，；，，解得：，又，，.(2)由題意知：若該船能進(jìn)入港口，則需，即，；，，則當(dāng)或或，即或或時(shí)，，該船可在、和進(jìn)入港口.例8．（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期中）“八月十八潮，壯觀天下無(wú)．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩(shī)展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，通過(guò)實(shí)地考察某港口水深y（米）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系，經(jīng)過(guò)多次測(cè)量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過(guò)查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請(qǐng)你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時(shí)間段的建議．【解析】（1）畫出散點(diǎn)圖，連線如下圖所示：設(shè)，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以請(qǐng)?jiān)?：00至5：00和13：00至17：00進(jìn)港是安全的．例9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時(shí)間（，單位：小時(shí)）而周期性變化．每天各時(shí)刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：（時(shí)）（米）(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從，，中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的時(shí)至?xí)r之間，當(dāng)浪高不低于米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．【解析】(1)散點(diǎn)圖如下，(2)由散點(diǎn)圖可知：應(yīng)選擇，則，，，即，將代入可得：，解得：，該模型的解析式為：.(3)令，則，，，或或，解得：或或，應(yīng)在白天點(diǎn)到點(diǎn)之間訓(xùn)練.變式4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深y（米）是隨著一天的時(shí)間t（0≤t≤24，單位小時(shí)）呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時(shí)）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①，②，③．中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問(wèn)：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．【解析】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示：結(jié)合散點(diǎn)圖可知，圖形進(jìn)行了上下平移和左右平移，故選②做為函數(shù)模型，∴，∵，∴又∵函數(shù)y＝0.9cos（φ）+1.5的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴φ，∴（2）由（1）知：令y≥1.05，即，∴∴，∴，又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，∴這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．變式5．（2022·廣西·桂林十八中高一開學(xué)考試）某港口的水深（單位：是時(shí)間的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.97101310.1710一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的．(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：，，，你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)你求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】(1)函數(shù)可以更好地刻畫與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)數(shù)據(jù)可得：，，，又，，.(2)由題意，要滿足題意，需，即，，，解得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；,或,，所以，該船在至或至能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16個(gè)小時(shí)．變式6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某港口的水深(單位：)是時(shí)間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的．(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：，你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫y與t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】（1）函數(shù)模型更好地刻畫y與t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖像.從擬合曲線可知，函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需9-3=6(h)，此為半個(gè)周期，函數(shù)的最小正周期為12，因此.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所求函數(shù)的表達(dá)式為（2）由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時(shí)，水深應(yīng)大于或等于7+4.5=11.5(m).令,可得取，則；取，則；取時(shí)，（不符合題意，舍去).當(dāng)與時(shí)，船能夠安全進(jìn)港，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長(zhǎng)，就應(yīng)從凌晨1時(shí)進(jìn)港，而下午的17時(shí)離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16h.【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問(wèn)題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對(duì)→作散點(diǎn)圖→確定擬合函數(shù)→解決實(shí)際問(wèn)題．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用例10．（2022·廣東廣州·高一期末）一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：m）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（

）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），則A＝2，k＝1，因?yàn)門＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因?yàn)閠＝0時(shí)，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因?yàn)棣眨?，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3．故選：C．例11．（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為由，可得，由，可得由t=0時(shí)h=0，可得，則，又，則則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為故選：A例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是一大觀覽車的示意圖，已知觀覽車輪半徑為80米，觀覽車中心到地面的距離為82米，觀覽車每30分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)1圈.若是從距地面42米時(shí)開始計(jì)算時(shí)間時(shí)的初始位置，以觀覽車的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t（單位：分鐘），且此時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為h（單位：米），則h是關(guān)于t的函數(shù).當(dāng)時(shí)關(guān)于的圖象，下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)稱中心為B．對(duì)稱中心為C．對(duì)稱軸為D．對(duì)稱軸為【答案】B【解析】由題意得，而是以為始邊，為終邊的角，由OP在內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角為，可知以為始邊，為終邊的角為，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，所以P距地面的高度為，令，得，所以對(duì)稱中心為，令，得，所以對(duì)稱軸為，故選：B變式7．（2022·上海市建平中學(xué)高一期中）一個(gè)半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時(shí)針作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間．(1)以過(guò)點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離水面的高度不低于2米？【解析】(1)設(shè)，根據(jù)函數(shù)的物理意義可知：，由題意可知當(dāng)時(shí)，，則，所以，則，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，所以；(2)根據(jù)題意可知，，即，當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，，，可得：，所以此時(shí)，解得，又因?yàn)椋?，即水輪轉(zhuǎn)動(dòng)任意一圈內(nèi)，有秒的時(shí)間點(diǎn)距水面的高度不低于2米．變式8．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時(shí)間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過(guò)點(diǎn)且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】（1）設(shè)，，則，，∴，∴∴，∵，，∴，∴.∵，∴，∴（2）令，得，∴，∴∴點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要的時(shí)間.變式9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，一個(gè)摩天輪的半徑為10m，輪子的最低處距離地面2m．如果此摩天輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每30min轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（點(diǎn)P與摩天輪中心O的高度相同）時(shí)開始計(jì)時(shí)．(1)求此人相對(duì)于地面的高度h（m）關(guān)于時(shí)間t（min）的函數(shù)關(guān)系式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不小于17m？【解析】(1)當(dāng)時(shí)，此人相對(duì)于地面的高度．在時(shí)間t時(shí)此人轉(zhuǎn)過(guò)的角為，此時(shí)此人相對(duì)于地面的高度．(2)由，得．又，則，即．故在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，此人相對(duì)于地面的高度不小于17m的時(shí)間為（min）．變式10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．(1)求1號(hào)座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號(hào)座艙與地面的距離為17米時(shí)t的值；(3)記1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為H米，求當(dāng)H取得最大值時(shí)t的值．【解析】（1）設(shè)1號(hào)座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的解析式為則，∴，依題意，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴．（2）令，即，∴，∵，∴，∴或，解得或，∴或時(shí)，1號(hào)座艙與地面的距離為17米．（3）依題意，∴令，解得，所以當(dāng)時(shí)，H取得最大值

變式11．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設(shè)置有個(gè)座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí).(1)經(jīng)過(guò)分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值.【解析】(1)由題意，（其中）摩天輪的最高點(diǎn)距離地面為米，最低點(diǎn)距離地面為米，所以，得，又函數(shù)周期為分鐘，所以，又，所以，又，所以，所以.(2)，所以，整理，因?yàn)椋?，所?解得（分鐘）.(3)經(jīng)過(guò)分鐘后甲距離地面的高度為，乙與甲間隔的時(shí)間為分鐘，所以乙距離地面的高度為，所以兩人離地面的高度差當(dāng)或時(shí)，即或分鐘時(shí)，取最大值為米.題型五：幾何中的三角函數(shù)模型例13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內(nèi)接矩形，為上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)在怎樣的位置時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大值．【解析】如圖，在中，設(shè)，則在中，，所以．所以設(shè)矩形的面積為，則由于，所以當(dāng)，即時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為．例14．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期末）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，其中扇形的半徑為，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一點(diǎn)，，工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)有兩邊分別在與上的矩形鐵皮.(1)寫出矩形鐵皮的面積與角度的函數(shù)關(guān)系式；(2)求矩形鐵皮面積的最大值和此時(shí)的值.【解析】（1）記矩形鐵皮的面積為S，延長(zhǎng)RP交AB于點(diǎn)E，如圖，四邊形BQPE、BCRE均為矩形，依題意，，，因此，，，所以.（2）由（1）知，令，因，則，，即，因此，顯然此函數(shù)對(duì)稱軸為，則當(dāng)，即時(shí)，，所以矩形鐵皮面積的最大值是，此時(shí).例15．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）我市某旅游區(qū)有一個(gè)人工湖，如圖所示，它的邊界是由圓O的半個(gè)圓?。≒為此圓弧的中點(diǎn)）和直徑MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為1千米．為增加旅游收入，現(xiàn)在該人工湖上規(guī)劃建造兩個(gè)觀景區(qū)：其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形ABCD；噴泉觀景區(qū)的形狀為．要求端點(diǎn)A，B均在直徑MN上，端點(diǎn)C，D均在圓弧上．設(shè)OC與直徑MN所成的角為．(1)試用分別表示矩形ABCD和的面積；(2)若在矩形ABCD兩側(cè)線段AD，BC的位置架起兩座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用每千米8萬(wàn)元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)費(fèi)用每平方千米16萬(wàn)元，建造荷花池的總費(fèi)用為5萬(wàn)元．問(wèn)：的角度為多少時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用值．（結(jié)果保留整數(shù)）【解析】（1）由題意，，易得：．所以矩形ABCD的面積為，的面積為．（2）設(shè)建造觀景區(qū)所需總費(fèi)用為，由題意，，，即，，令，，設(shè)，則，由，從而．當(dāng)，即時(shí)，有．所以最小值為（萬(wàn)元）．故當(dāng)時(shí)，建造該觀該景區(qū)總費(fèi)用最低，且最低費(fèi)用約為20萬(wàn)元．變式12．（2022·貴州·凱里一中高一開學(xué)考試）已知扇形（如圖所示），圓心角，半徑，在弧上取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為y.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；(2)求矩形面積的最大值，并求此時(shí)x的取值.【解析】（1）在直角中，，，在直角中，，又，所以，所以，即，.（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，.變式13．（2022·遼寧·大連市第一中學(xué)高一期中）扇形的圓心角為，所在圓半徑OA為2，它按如圖（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．圖（Ⅰ）矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；圖（Ⅱ）點(diǎn)M是圓弧的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對(duì)稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；設(shè)圖（Ⅰ）下矩形CDEF面積的最大值為，圖（Ⅱ）下矩形CDEF面積的最大值為，求出與，并比較與的大?。窘馕觥繄D（Ⅰ），在直角中，設(shè)，則，又由，所以．當(dāng)，即時(shí)，矩形CDEF的面積最大，最大值為，即．圖（Ⅱ），令ED與OM的交點(diǎn)為N，F(xiàn)C與OM的交點(diǎn)為P，設(shè)，，則，，又由，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，矩形CDEF的面積最大，最大值為，即．因?yàn)椋裕兪?4．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一期中）某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地，經(jīng)測(cè)量其半徑為m，圓心角為.學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上修建一所矩形室內(nèi)籃球場(chǎng)ABCD，初步設(shè)計(jì)方案如圖1所示.(1)求出初步設(shè)計(jì)方案中矩形ABCD面積的最大值.(2)你有沒(méi)有更好的設(shè)計(jì)方案來(lái)獲得更大的籃球場(chǎng)面積？若有在圖2畫出來(lái)，并證明你的結(jié)論.【解析】（1）如圖所示，取弧的中點(diǎn)，連接OE，設(shè)交于，交于，顯然矩形關(guān)于對(duì)稱，而分別為，的中點(diǎn).設(shè)在中，，，所以，即，而，故矩形的面積因?yàn)椋?，所?故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以矩形面積的最大值為（2）如圖所示，在半徑上截取線段為矩形的一邊，作得矩形.設(shè)，可得，則所以，因?yàn)?，可得，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值為.即教室面積的最大值為.現(xiàn)將兩種方案的最大值進(jìn)行比較大?。阂?yàn)椋苑桨?更合算變式15．（2022·安徽·高一期中）某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購(gòu)房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個(gè)花園，如圖所示．已知扇形的圓心角，半徑為200米．現(xiàn)需要修建的花園為平行四邊形，其中、分別在半徑、上，在上．(1)求扇形的弧長(zhǎng)和面積；(2)設(shè)，平行四邊形的面積為S．求S關(guān)于角的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域．【解析】(1)扇形的弧長(zhǎng)為(米)．扇形的面積為(平方米)．(2)過(guò)作于，過(guò)作于．∵，∴，，∴．故=，即，定義域?yàn)椋兪?6．（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對(duì)應(yīng)的x的值.【解析】(1)依題意，，而，，，則，由知，點(diǎn)B，C在直線DE同側(cè)，均為銳角，則有，在中，，在中，，則，所以，.(2)由(1)得：因，即，當(dāng)，即時(shí)，取最大值1，所以.變式17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，且矩形ABCD的周長(zhǎng)為l．如果AB與的夾角為，那么當(dāng)為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大？【解析】依題意，在中，，而，在中，，，又，，則有，因此，，，于是得矩形的周長(zhǎng)，因是AB與的夾角，則當(dāng)時(shí)，取得最大值1，，所以當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動(dòng)（的單位：千元，，，，為月份，且）．已知3月出廠價(jià)最高，為9千元，7月出廠價(jià)最低，為5千元，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得：，解得：，又最小正周期為，所以，所以，將代入，解得：，則，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，符合題意，綜上：.故選：D2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若電流ⅠA．隨著時(shí)間t（s）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由題可知，，，，所以代入最值點(diǎn)坐標(biāo)，得，所以，得，因?yàn)樗裕蔬x：A．3．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）筒車是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，是中國(guó)古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個(gè)半徑為6m的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼妱蛩傩D(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個(gè)盛水筒P，以P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間（單位：s）為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】過(guò)O做OQ垂直水面，為最高點(diǎn)，如圖所示由題意得，所以，則，所以，所以盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)要旋轉(zhuǎn)，即為個(gè)周期，又筒車每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，可得周期為30秒，所以盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)用時(shí)秒，故選：D4．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）單擺從某點(diǎn)開始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離S（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)的振幅（厘米）和一次所需的時(shí)間（秒）為（

）A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2【答案】A【解析】因?yàn)榫嚯xS（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，所以單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)的振幅為3和一次所需的時(shí)間為，故選：A5．（2022·江西·上饒中學(xué)高一階段練習(xí)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級(jí)，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)中被日軍飛機(jī)炸毀，現(xiàn)僅存三級(jí)，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國(guó)古代工匠已經(jīng)知道，將長(zhǎng)方體磚塊以某個(gè)固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長(zhǎng)方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長(zhǎng)方體磚塊底面較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，如圖2，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)為內(nèi)切圓的圓心，為內(nèi)切圓的半徑．正十邊形的每個(gè)外角為，內(nèi)角為，所以，所以，，，得，解得．故選：B．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）表中給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深關(guān)系．時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t（0≤t≤24）的關(guān)系可用函數(shù)來(lái)近似描述，則該港口在11：00的水深為（

）A．4m B．5m C．6m D．7m【答案】A【解析】由表格知函數(shù)的最大值是7，最小值是3，則滿足，得A＝2，h＝5，相鄰兩個(gè)最大值之間的距離T＝15－3＝12，即12，則ω，此時(shí)，當(dāng)t＝11時(shí)，.故選：A．7．（2022·北京·高一期末）石景山游樂(lè)園“夢(mèng)想之星”摩天輪采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡(jiǎn)約.“夢(mèng)想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為分鐘，配有個(gè)球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過(guò)即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過(guò)程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】因?yàn)榻撬俣葹?，所以游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，游玩中到地面的距離為，由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過(guò)程中他們所在的高度之和，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，即他們所在的高度之和的最大值約為，故選：C8．（2022·北京·高一期中）如圖，摩天輪的半徑為40米.摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).每30分鐘轉(zhuǎn)一圈.若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.下面有關(guān)結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)10分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為45米B．第25分鐘和第70分鐘點(diǎn)P距離地面的高度相同C．從第10分鐘至第20分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度一直在上升D．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P距離地面的高度不低于65米的時(shí)間為10分鐘【答案】D【解析】由題設(shè)，摩天輪每分鐘的角速度為，若轉(zhuǎn)動(dòng)分鐘，P距離地面的高度為，則，所以，經(jīng)過(guò)10分鐘米，A錯(cuò)誤；第25分鐘米；第70分鐘米，B錯(cuò)誤；由，則，即P距離地面的高度先增大后減小，C錯(cuò)誤；由題設(shè)，，即，在一周內(nèi)P距離地面的高度不低于65米有，可得，故時(shí)間長(zhǎng)度為10分鐘，D正確.故選：D二、多選題9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高一期中）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)5圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足關(guān)系式，則有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由題意可知，可得，該函數(shù)的周期為，∴.故選：BCD.10．（2022·全國(guó)·高一）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過(guò)10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過(guò)85米的時(shí)間為20分鐘【答案】CD【解析】由題意知，OQ在分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角為，所以以O(shè)Q為終邊的角為，所以點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的關(guān)系為，故A錯(cuò)誤；由，得，所以不是對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)10分鐘，，故C正確；由，得，得，解得，共20分鐘，故D正確.故選：CD11．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖），證明了被稱為幾何學(xué)的基石——勾股定理的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度得到如圖所示的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，現(xiàn)以弦圖的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，線段OA在如圖所示的x軸上（其中有兩“股”線延長(zhǎng)交x，y軸分別為A，B），此“數(shù)學(xué)風(fēng)車”繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為2秒，，分別用，表示t秒后A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么以下選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)與的圖象經(jīng)過(guò)平移后可以重合B．函數(shù)的最