邏輯代數(shù)基礎(chǔ)課件

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1邏輯變量及其基本運(yùn)算描述事物狀態(tài)的邏輯數(shù)必因事物狀態(tài)變化而變化，叫做邏輯變量。例如開關(guān)電路中表示開關(guān)和燈的邏輯數(shù)都是邏輯變量。

1.11邏輯變量

定義：邏輯變量規(guī)定:(1)邏輯變量用字母表示；(2)邏輯變量的取值不是1就是0；(3)邏輯變量的值必須經(jīng)過(guò)“定義”才有意義。

(4)邏輯變量有原變量和反變量，它是描述同一事物的兩種形式的變量。在任何情況下，原變量和反變量的值互為反數(shù)?？梢哉f(shuō)，只要定義了原變量，同時(shí)也就定義了反變量。邏輯常數(shù)：描述某一事物的邏輯數(shù)保持不變，該邏輯數(shù)稱為邏輯常數(shù)。邏輯常數(shù)只能保持為

1

或保持為0。

以開關(guān)

S

為例，S

表示原變量，S

表示反變量。1.12邏輯運(yùn)算

以下是2輸入變量真值表，邏輯變量A、B，邏輯函數(shù)F0-F15。以該真值表為例，說(shuō)明邏輯運(yùn)算的意義。

基本邏輯運(yùn)算

F1

與運(yùn)算：與（AND）又稱為邏輯乘，它的運(yùn)算規(guī)則是僅當(dāng)A、B皆為1時(shí)輸出為1，否則為0。與運(yùn)算符用“·”表示，邏輯變量和運(yùn)算符組成算式，稱作邏輯函數(shù)表達(dá)式。

F1=A·B讀做

A與B

F7

或運(yùn)算：或（OR）又稱為邏輯加，它的運(yùn)算規(guī)則是A、B皆為0時(shí)輸出為0，否則為1?；蜻\(yùn)算符用“+”表示，表達(dá)式為

F7=A+B

讀做

A或B

基本邏輯運(yùn)算

F12非運(yùn)算：稱為邏輯非（NOT），非運(yùn)算的邏輯意義是表示一個(gè)變量的反變量。非運(yùn)算符用“”表示，表達(dá)式為

或?qū)θ魏芜壿嬜兞窟B續(xù)作兩次（偶數(shù)次）非運(yùn)算，則變量的值保持不變。

基本邏輯運(yùn)算F3恒等運(yùn)算：恒等（IDE），輸出等于輸入。

F3=A

與運(yùn)算、或運(yùn)算、非運(yùn)算和恒等運(yùn)算是基本邏輯運(yùn)算，可以構(gòu)成各種復(fù)雜邏輯運(yùn)算。

簡(jiǎn)單組合邏輯運(yùn)算

F14

與非運(yùn)算：與非(NAND）運(yùn)算規(guī)則是先與運(yùn)算后非運(yùn)算，表達(dá)式

F8

或非運(yùn)算：或非（NOR）運(yùn)算規(guī)則是先或運(yùn)算后非運(yùn)算，表達(dá)式

簡(jiǎn)單組合邏輯運(yùn)算

F6

異或運(yùn)算：異或（XOR）運(yùn)算規(guī)則是僅當(dāng)

A、B

不同時(shí)，F(xiàn)6=1，否則，F(xiàn)6=0。表達(dá)式F9同或運(yùn)算：同或（NXOR）運(yùn)算規(guī)則是僅當(dāng)A、B的值相同時(shí)，F(xiàn)9=1，否則，F(xiàn)9=0。表達(dá)式F9=A⊙B

F6=A⊕B幾點(diǎn)說(shuō)明：

（與運(yùn)算符可以省略），邏輯意義是僅當(dāng)四個(gè)自變量A、B、C、D

皆為1時(shí)，F(xiàn)=0，否則，F(xiàn)=1。邏輯運(yùn)算不同于算數(shù)運(yùn)算。邏輯運(yùn)算是一位數(shù)的運(yùn)算，沒(méi)有進(jìn)位和借位；

(1)邏輯表達(dá)式中變量的取值只有0或1，比算術(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)單；

(2)除“非”運(yùn)算和“恒等”運(yùn)算是一個(gè)自變量外，其它運(yùn)算也適合于多個(gè)自變量，如四變量與非表達(dá)式為(3)幾點(diǎn)說(shuō)明：⑷真值表中沒(méi)有列出的表達(dá)式，也屬于組合邏輯運(yùn)算，讀者學(xué)習(xí)第三章時(shí)就清楚了。

⑸以上8種邏輯運(yùn)算，市場(chǎng)上均有集成電路片出售

基本公式0-1律：A+0=AA+1=1A·1=AA·0=0

重疊律與互補(bǔ)律:

對(duì)合律（雙重否定）：

A=A基本公式交換律：

結(jié)合律：

（A+B）+C=A+（B+C）（A·B）·C=A·（B·C）分配律：

A·B=B·AA+B=B+AA⊙B=B⊙AA⊕B=B⊕AA+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC小結(jié)上述七組基本公式中，A，B和C均為邏輯變量，且每一組公式中的兩個(gè)公式互為“對(duì)偶”。即將其中一式中的“+”換成“·

”，“·

”換成“+”，1換0，0換1，便得到與其相應(yīng)的另一公式。

補(bǔ)充公式吸收律：消除多余變量，化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。摩根定理：常用于邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)。

1.2邏輯函數(shù)及其基本形式

1.2.1邏輯函數(shù)的定義

設(shè)某一邏輯網(wǎng)絡(luò)的輸入邏輯變量為A1，A2，……，An，輸出邏輯變量為F，如圖1.1所示。當(dāng)A1，A2，……，An的取值確定后，F(xiàn)的值就唯一的被確定下來(lái)，則稱F是A1，A2，……，An的邏輯函數(shù)，記為

A1A2AnF實(shí)現(xiàn)F=f（A1，A2，……，An）的邏輯網(wǎng)絡(luò)圖1.1F=f（A1，A2，……，An）

F=f（A1，A2，……，An）1.2.2邏輯函數(shù)的表示方法

1.邏輯表達(dá)式--邏輯函數(shù)的代數(shù)表示法；邏輯表達(dá)式是由邏輯變量和“或”、“與”、“非”三種運(yùn)算符所構(gòu)成的式子，這是一種用公式表示邏輯函數(shù)的方法。

表示邏輯函數(shù)有如下方法：F=f（A，B）=AB+AB2.真值表--邏輯函數(shù)的表格表示法；真值表事由邏輯變量的所有可能取值組合及其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格，這是一種用表格表示邏輯函數(shù)的方法。

3.卡諾圖--邏輯函數(shù)的圖形表示法；卡諾圖是由表示邏輯變量的所有可能組合的小方格所構(gòu)成的圖形。

AB0 101mo

m2m1

m30 101AB二變量卡諾圖1.2.3邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

1.最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式

設(shè)有一個(gè)二變量的邏輯函數(shù)上述的最后一個(gè)表達(dá)式，該式是由包含所有變量的若干與（積）項(xiàng)之和組成，其中每個(gè)與項(xiàng)具有這樣的

可以轉(zhuǎn)換為特點(diǎn)：

它包含有該邏輯函數(shù)的全部自變量（A，B），且每個(gè)自變量在一個(gè)與項(xiàng)中以原變量或反變量?jī)H出現(xiàn)一次；①這三個(gè)與項(xiàng)稱為該邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)，若邏輯函數(shù)的與項(xiàng)全由最小項(xiàng)組成，稱該函數(shù)為最小項(xiàng)之和式，常稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式；②④用符號(hào)

mI

表示最小項(xiàng)，確定下標(biāo)i的值：將各最小項(xiàng)變量按一定次序排好后，用1代替其中的原變量，用0代替其中的反變量，這樣每個(gè)最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)的等效十進(jìn)制數(shù)為相應(yīng)的最小項(xiàng)

mI

下標(biāo)

i的值。例如三變量最小項(xiàng)有：

③對(duì)于n

個(gè)自變量的邏輯函數(shù)來(lái)說(shuō)，最多有2n

個(gè)最小項(xiàng)；對(duì)于二個(gè)自變量的邏輯函數(shù)來(lái)說(shuō)，最多有四個(gè)最小項(xiàng)，其中：

同理用符號(hào)

mi

表示最小項(xiàng)依此為：m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7

由此看出在變量的任意一個(gè)確定的狀態(tài)，僅有一個(gè)最小項(xiàng)取值為1，如

ABC取值為010時(shí)，

任意兩個(gè)最小項(xiàng)mi

和

mj（I≠j）之積為0，記為

n個(gè)變量最小項(xiàng)之和為1，記為其它最小項(xiàng)為0。有使2.最大項(xiàng)及最大項(xiàng)表達(dá)式

設(shè)有一個(gè)三變量的邏輯函數(shù)上述表達(dá)式是由包含所有變量的若干或（和）項(xiàng)之積組成，其中每個(gè)或項(xiàng)具有這樣的特點(diǎn)：

①它包含有該邏輯函數(shù)的全部自變量（A，B，C），且每個(gè)自變量在一個(gè)或項(xiàng)中以原變量或反變量?jī)H出現(xiàn)一次；

②這四個(gè)或項(xiàng)稱為該邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)，若函數(shù)的或項(xiàng)全由最大項(xiàng)組成，稱該函數(shù)為最大項(xiàng)之積式，常稱為標(biāo)準(zhǔn)或與式；

特點(diǎn)：③對(duì)于n

個(gè)自變量的邏輯函數(shù)來(lái)說(shuō)，最多有2n

個(gè)最大項(xiàng)；

④用符號(hào)

Mi

表示最大項(xiàng)，下標(biāo)i的值與最小項(xiàng)相反，確定規(guī)則是：將各最大項(xiàng)變量按一定次序排好后，用0代替其中的原變量，用1代替其中的反變量，這樣每個(gè)最大項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)的等效十進(jìn)制數(shù)為相應(yīng)的最大項(xiàng)Mi

下標(biāo)i的值。例如三變量有八個(gè)最大項(xiàng)：

其中同理用符號(hào)Mi

表示最大項(xiàng)依此為：M0，M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7

由此看出在變量的任意一個(gè)確定的狀態(tài)，僅有一個(gè)最大項(xiàng)取值為0，其余為1。有n

個(gè)變量最大項(xiàng)之積為0，記為

任意兩個(gè)最大項(xiàng)Mi

和

Mj（I≠j）之和為1，記為

F=(A+C)·(A+B)·(A+B+C)=(A+C+BB)·(A+B+CC)·(A+B+C)例1已知函數(shù)求取F的最大項(xiàng)表達(dá)式的過(guò)程如下：F=(A+C)·(A+B)·(A+B+C)=(A+C+B)·(A+C+B)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=M0M1M2M3=∏(0,1,2,3)最大項(xiàng)表達(dá)式是邏輯函數(shù)的另一種標(biāo)準(zhǔn)形式，通常也稱為和之積范式，或主合取范式。例2已知函數(shù)F=A+ABC由下式可求得F的最大項(xiàng)表達(dá)式：F=A+ABC=(A+A)·(A+BC)=1·(A+B)·(A+C)=(A+B+CC)(A+C+BB)=(A+B+C)(A+B+C)(A+C+B)(A+C+B)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=∏(0,1,2)1.2.4邏輯函數(shù)三種表示法的關(guān)系

1.邏輯表達(dá)式與真值表例1：函數(shù)F=AB+AC的真值表如右所示：ABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0例2寫出下列真值表的邏輯表達(dá)式000 0001 1010 0011 1100 1101 0110 0111 0ABC F解：2.邏輯表達(dá)式與卡諾圖

例1.一個(gè)邏輯函數(shù)通過(guò)最小項(xiàng)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成相對(duì)應(yīng)的卡諾圖。如下例：A01000111ＢＣ

例2.一個(gè)邏輯函數(shù)通過(guò)最大項(xiàng)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成相對(duì)應(yīng)的卡諾圖。上例的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

上述邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式：Ｆ＝∏(0,1,3,5)A01000111ＢＣ1.3邏輯代數(shù)的主要定理及常用公式

1.3.1邏輯代數(shù)的主要定理

定理1：德·摩根(DeMorgan)定理

(X1+X2+···+Xn)=X1·X2·····Xn（1）（2）(X1·X2·····Xn)=X1+X2+···+Xn該定理可敘述如下：n個(gè)邏輯變量的“或”的“非”等于各邏輯變量的“非”的“與”；n個(gè)邏輯變量的“與”的“非”等于各邏輯變量的“非”的“或”。定理2：香農(nóng)(Shannon)定理

f(X1,X2,···,Xn,0,1,+,·)=f(X1,X2,···,Xn,1,0,·,+)該定理可敘述如下：任何函數(shù)的反函數(shù)，可通過(guò)對(duì)該函數(shù)的所有變量取反，并將常量1換為0，0換為1，“·”運(yùn)算換為“+”運(yùn)算，“+”運(yùn)算換為“·”運(yùn)算而得到。定理3：對(duì)偶定理對(duì)偶函數(shù)定義：

設(shè)有邏輯函數(shù)f（X1,X2,···Xn,0,1,+,·),若把該函數(shù)中的“·”運(yùn)算換為“+”運(yùn)算，“+”運(yùn)算換為“·”運(yùn)算，0換為1，1換為0，而變量保持不便，則所得函數(shù)稱為原來(lái)函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)，記為

f（X1,X2,···Xn,0,1,+,·)顯然，按此定義必有f′(X1,X2,···Xn,0,1,+,·)=f（X1,X2,···Xn,1,0,·,+)

對(duì)偶定理公式：f′(X1,X2,···Xn,1,0,·,+)=f（X1,X2,···Xn,1,0,·,+)1.3.2邏輯代數(shù)的常用公式

公式1：

AB+AB=A公式2：A+AB=A公式3：A+AB=A+B公式4：

AB+AC+BC=AB+AC公式5：AB+AB=AB+AB*1.3.3定理及常用公式的應(yīng)用舉例

例.化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Z(A,B,C,D,E,F)=A+AB+AC+BD+ACEF+BE+EDF應(yīng)用公式2，可消去AB和ACEF項(xiàng)，得Z=A+AC+BD+BE+EDF應(yīng)用公式3，可消去AC中的A，得Z=A+C+BD+BE+EDF應(yīng)用公式4，可消去EDF，得Z=A+C+BD+BE1.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1.4.1邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)式的定義

一個(gè)與給定函數(shù)等效的積之和式中，若同時(shí)滿足：①該式中的乘積項(xiàng)最少。②該式中的每個(gè)乘積項(xiàng)再不能用變量更少的乘積項(xiàng)代替，則此積之和式是給定函數(shù)的最簡(jiǎn)式。

例如，邏輯函數(shù)的下列表達(dá)式中，式(1.48)是最簡(jiǎn)式：F(A,B,C)=AB+BC+AC=AB+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC(1.48)1.4.2代數(shù)化簡(jiǎn)法

運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式和運(yùn)算規(guī)則對(duì)函數(shù)式進(jìn)行等效變換，消除多余項(xiàng)和多余變量，以其獲得最簡(jiǎn)表達(dá)式的方法稱為代數(shù)化簡(jiǎn)法。代數(shù)化簡(jiǎn)法沒(méi)有一個(gè)成熟的模式可以借鑒，只有多多練習(xí)，熟能生巧。

一、"與或"式的化簡(jiǎn)二、"或與"式的