重慶市2025屆高三數(shù)學(xué)4月診斷模擬試題含解析

Page23數(shù)學(xué)試題留意事項(xiàng)：1.作答前，請(qǐng)考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題、每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿意，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法規(guī)則求出z，再依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】，，，實(shí)部為1，虛部為-1，所以在第四象限；故選：D.2.已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得或，進(jìn)而可求解.【詳解】若，則或，由于在三角形中，所以或，故或，當(dāng)時(shí)，則，但時(shí)，關(guān)系不確定；反過來，若，則必有，．故“”是“”的必要不充分條件，故選：B3.已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由條件列方程求.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，雙曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以，故選：C.4.林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級(jí)，樹齡300~500年之間的古樹為二級(jí)，樹齡100~299年的古樹為三級(jí)，樹齡低于100年不稱為古樹．林業(yè)工作者為探討樹木年齡，多用年輪推想法，先用樹木測(cè)量生長(zhǎng)錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計(jì)算年輪個(gè)數(shù)，由閱歷知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評(píng)估某棵大樹的級(jí)別，特測(cè)量數(shù)據(jù)如下：樹干周長(zhǎng)為3.14米，靠近樹芯的第5個(gè)年輪寬度為0.4cm，靠近樹皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm，則估計(jì)該大樹屬于（）A.一級(jí) B.二級(jí) C.三級(jí) D.不是古樹【答案】C【解析】【分析】由條件抽象出等差數(shù)列的基本量，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【詳解】設(shè)樹干的截面圓的半徑為，樹干周長(zhǎng)，，從內(nèi)向外數(shù)：，，，∴年，所以為三級(jí).故選:C5.已知函數(shù)如滿意：，，且時(shí)，，則（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】先推斷出函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，再利用周期性干脆求解即可．【詳解】由，則，所以函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，又，即，所以．故選：B．6.在正三棱柱中，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，證明平面，依據(jù)球的截面性質(zhì)確定交線的形態(tài)，結(jié)合弧長(zhǎng)公式求交線長(zhǎng).【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為等邊三角形，所以，因?yàn)?，，，平面，所以平面，所以以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心的圓，由，可得交線即以為圓心，為半徑的圓弧，設(shè)該圓弧與，分別相交于點(diǎn)M，N，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋运?，故交線長(zhǎng).故選：B.7.函數(shù)，（，，）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則下說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于直線對(duì)稱D.若圓C的半徑為，則函數(shù)的解析式為【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的圖象，求得的最小正周期，可判定A錯(cuò)誤；利用五點(diǎn)作圖法，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定B錯(cuò)誤；利用三角函數(shù)的圖形變換得到平移后的函數(shù)解析式為，進(jìn)而判定C錯(cuò)誤；利用，求得的值，可判定D正確.【詳解】解：由函數(shù)圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以A不正確；又由，且，即，依據(jù)五點(diǎn)作圖法且，可得，解得，因?yàn)?，可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在是先減后增的函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到，可得對(duì)稱軸的方程為，即，所以不是函數(shù)的對(duì)稱軸，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可得，即,若圓的半徑為，則滿意，即，解得，所以的解析式為，所以D正確.故選：D.8.已知定義在上的函數(shù)滿意，，且當(dāng)時(shí)，，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得為上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，又由題得，令，得為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，得即可解決.【詳解】由題知，定義在上的函數(shù)滿意，，且當(dāng)時(shí)，，，所以，即，又，所以為上的奇函數(shù)，設(shè)，，所以為上的增函數(shù)，因?yàn)椋?，因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，，所以，所以，故選：B．二、選擇題：本大題共4小題、每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分、有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知平面對(duì)量，，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則向量在上的投影向量為D.若，則向量與的夾角為銳角【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)向量線性運(yùn)算即數(shù)量積公式可推斷AB選項(xiàng)，依據(jù)投影向量定義可得推斷C選項(xiàng)，由可得，但此時(shí)向量與的夾角可以為零角并非銳角，可得D錯(cuò)誤.【詳解】解：已知平面對(duì)量，，，對(duì)于A，若，可得，即，解得，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，依據(jù)平面對(duì)量共線性質(zhì)，可得，即，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，若，則，由投影向量定義可知向量在上的投影向量為，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，若，則，所以；但當(dāng)時(shí)，，此時(shí)向量與的夾角為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知，，則下列說法正確的是（）A.兩圓位置關(guān)系是相交B.兩圓的公共弦所在直線方程是C.上到直線的距離為的點(diǎn)有四個(gè)D.若上隨意一點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】先將，的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較即可推斷A；聯(lián)立兩圓的方程，化簡(jiǎn)即可得到公共弦所在直線方程，進(jìn)而即可推斷B；先求得到直線的距離，再比較與的大小即可推斷C；依題意得的幾何意義為到上點(diǎn)的距離的平方的最大值，再結(jié)合選項(xiàng)A求解即可推斷D．【詳解】對(duì)于A，由，即，其圓心為，半徑為，，即，其圓心為，半徑為，則兩圓的圓心距為，則，即兩圓相交，故A正確；對(duì)于B，聯(lián)立兩圓的方程，化簡(jiǎn)得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由到直線的距離為，且，所以上到直線的距離為的點(diǎn)有四個(gè)，故C正確；對(duì)于D，依題意得的幾何意義為到上點(diǎn)的距離的平方的最大值，所以結(jié)合選項(xiàng)A得，故D正確．故選：ACD．11.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列4個(gè)結(jié)論，其中正確的有（）A.從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為C.現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則第一次取到紅球且其次次也取到紅球的概率為D.從中有放回取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)古典概型概率公式求解即可推斷A；依據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可求推斷B；依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的概率公式計(jì)算即可推斷C；依據(jù)對(duì)立事務(wù)的概率求解即可推斷D.【詳解】A：所求的概率為，故A正確；B：取到紅球的次數(shù)，所以其方差為，故B正確；C：第一次取到紅球的概率為，其次次取到紅球的概率為，所以第一次取到紅球且其次次取到紅球的概率為，故C錯(cuò)誤；D：每次取到紅球的概率為，所以至少有一次取到紅球的概率為，故D正確.故選：ABD.12.下列說法中，其中正確的是（）A.命題：“”的否定是“”B.化簡(jiǎn)的結(jié)果為2C.…D.在三棱錐中，，，點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的體積為.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)存在性量詞命題的否定即可推斷A；依據(jù)二倍角的正弦、余弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可推斷B；依據(jù)二項(xiàng)式定理即可推斷C；利用線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合正弦定理、勾股定理和球的體積公式計(jì)算即可推斷D.【詳解】A：命題：“”的否定是“”，故A錯(cuò)；B：，故B正確；C：…，故C正確；D：如圖所示，由，，則，得，由是的中點(diǎn)，，易知：△為等邊三角形且，又，所以，得，又，平面，所以平面.設(shè)球心為且在過△中心垂直于面的垂線上，點(diǎn)原委面的距離為，由正弦定理得的外接圓半徑，球的半徑，所以三棱錐的外接球的體積為.故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.某個(gè)品種的小麥麥穗長(zhǎng)度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.【答案】10.8【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12個(gè)，所以，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)即：10.8.故答案為：10.814.二項(xiàng)式綻開式中常數(shù)項(xiàng)是________．（填數(shù)字）【答案】240【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式的綻開通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】綻開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為:240.15.已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由直線與曲線相切可得，后由基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則切線斜率可表示為由題有.又切線可表示為：，代入可得，又a，b為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故答案為：.16.經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，過A垂直于AB的直線與C交于點(diǎn)D，直線DB與y軸相交于點(diǎn)E，若，則C的離心率為_______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)直線BD的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由求得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用韋達(dá)定理得到其橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后依據(jù)，由化簡(jiǎn)求解.【詳解】解：設(shè)直線BD的方程為，，則，由，得，明顯存在，使得，故由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，則，即，則，因?yàn)?，所以，即，即，化?jiǎn)得，所以，故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿意（1）求的值；（2）若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）4；（2）．【解析】【分析】（1）由，帶入余弦定理整理可得，所以，帶入即可得解；（2）作邊上的高，垂足為E，因?yàn)?，所．又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)D為邊的中點(diǎn)且，所以，再依據(jù)勾股定理即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即．又，所以．?）如圖，作邊上的高，垂足為E，因?yàn)?，所以．又，所以．因?yàn)辄c(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，所以．在直角三角形中，，所以．在直角三角形中，，所以．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）接受作差法，驗(yàn)證是否符合通式，即可求解的通項(xiàng)公式；（2）求得，化簡(jiǎn)得，結(jié)合裂項(xiàng)求和法可求.【小問1詳解】∵，∴，兩式相減得.∴，又，，解得，∴，則的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】∵，∴，，19.如圖所示，在三棱柱中，點(diǎn)G、M分別是線段AD、BF的中點(diǎn).（1）求證：平面BEG；（2）若三棱柱的側(cè)面ABCD和ADEF都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】取BE中點(diǎn)N，則平行且等于，AG也平行且等于，而平行且等于，所以平行且等于，因此四邊形為平行四邊形，∥，又平面BEG，平面BEG，所以平面BEG；【小問2詳解】由已知易證建立以A為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，設(shè)為面的法向量，則，同理可求平面的法向量為，.所以二面角的余弦值為.20.為了推動(dòng)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造?智能制造，把我國(guó)制造業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，很多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時(shí)都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).某一小型工廠自己沒有管理軟件的高級(jí)技術(shù)員，欲購買管理軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其供應(yīng)服務(wù)，某一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費(fèi)方案.方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對(duì)于供應(yīng)的軟件服務(wù)，每次另外收費(fèi)200元；方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月供應(yīng)的軟件服務(wù)不超過15次，不另外收費(fèi)，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次另外收費(fèi)500元.（1）設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元，每月供應(yīng)的軟件服務(wù)的次數(shù)為x，試寫出兩種方案中y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）該工廠對(duì)該管理軟件服務(wù)公司為另一個(gè)工廠過去20個(gè)月供應(yīng)的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次和14次的月份中任選3個(gè)月求這3個(gè)月，恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)的概率；（3）依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種方案更合適，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：；（2）；（3）從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適，理由見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：y=（2）記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)為事務(wù)A，依據(jù)條形圖，利用組合數(shù)可得P(A)==，即求.（3）依據(jù)方案分別列出方案一與方案二中月收費(fèi)的分布列，依據(jù)分布列求出數(shù)學(xué)期望，比較均值即可求解.【詳解】解：（1）由題意知，方案一：中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=200x+4800，x∈N，方案二：當(dāng)，時(shí)，，所以管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=（2）記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)為事務(wù)A，則P(A)==.（3）對(duì)于方案一，設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)為ξ元，由條形統(tǒng)計(jì)圖得ξ取值為7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列為：ξ74007600780080008200P0.10.40.10.20.2E(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.對(duì)于方案二，設(shè)管理軟件服務(wù)公式的月收費(fèi)為η元，由條形統(tǒng)計(jì)圖得η的可能取值為7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列為：η760081008600P0.60.20.2E(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E(ξ)<E(η)，∴從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適.21.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方