專(zhuān)題4.5 因式分解章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（浙教版）（原卷版）

專(zhuān)題4.5因式分解章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用整體思想分解因式】 1【題型2利用拆項(xiàng)法分解因式】 2【題型3利用添項(xiàng)法分解因式】 2【題型4利用因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 3【題型5利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)算】 3【題型6利用因式分解探究三角形形狀】 4【題型7與因式分解有關(guān)的探究題】 4【題型8因式分解的應(yīng)用】 6【題型1利用整體思想分解因式】【例1】（2024七年級(jí)下·山東東營(yíng)·期中）[閱讀材料]因式分解：x+解：將“x+y”看成整體，令x+再將“A”還原，原式=x上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．[問(wèn)題解決](1)因式分解：1+4x(2)因式分解：x2(3)證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式n+1【變式1-1】（2024七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）（1）2a（2）a-【變式1-2】（2024七年級(jí)下·福建漳州·期中）(1)因式分解：x2(2)因式分解：x+(3)求證：多項(xiàng)式x+1【變式1-3】（2024七年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期中）整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法．下面是對(duì)多項(xiàng)式(a2+2a)(a2+2a+2)+1進(jìn)行因式分解的解題思路：將“a2+2a”看成一個(gè)整體，令解：設(shè)a2+2a=x=(=a問(wèn)題：(1)①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒(méi)完成，請(qǐng)你直接寫(xiě)出最后的結(jié)果；②請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式a2(2)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：(1-2-3-?-2023)×(2+3+?+2024)-(1-2-3-?-2024)×(2+3+?+2023)．【題型2利用拆項(xiàng)法分解因式】【例2】（2024七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）觀察下面因式分解的過(guò)程：x===上面因式分解過(guò)程的第一步把2x2拆成了(1)a2(2)x4【變式2-1】（2024七年級(jí)下·陜西榆林·期中）(1)分解因式：x2(2)分解因式：a2【變式2-2】（2024七年級(jí)下·黑龍江雞西·期中）（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2【變式2-3】（2024七年級(jí)下·上海嘉定·期中）把多項(xiàng)式x4【題型3利用添項(xiàng)法分解因式】【例3】（2024七年級(jí)下·山西·期中）閱讀與思考在因式分解中，有些多項(xiàng)式看似不能分解，如果添加某項(xiàng)，可以達(dá)到因式分解的效果，此類(lèi)因式分解的方法稱(chēng)之為“添項(xiàng)法”．例如：a4參照上述方法，我們可以對(duì)a3a任務(wù)：(1)請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料補(bǔ)充完整對(duì)a3(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3【變式3-1】（2024七年級(jí)·全國(guó)·合肥期中）將下列式子因式分解：x【變式3-2】（2024七年級(jí)下·甘肅蘭州·期中）分解因式：-2【變式3-3】（2022·廣西柳州·七年級(jí)期中）分解多項(xiàng)式a5-1【題型4利用因式分解的結(jié)果求參數(shù)】【例4】（2024七年級(jí)下·浙江寧波·期中）因?yàn)閤2+2x-3=x+3x-1，這說(shuō)明多項(xiàng)式x2利用上述閱讀材料求解：(1)若x+3是多項(xiàng)式x2+(2)若x-3和x-4是多項(xiàng)式x3(3)在（2）的條件下，把多項(xiàng)式x3【變式4-1】（2024七年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2-mx+n可分解為x【變式4-2】（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知多項(xiàng)式x4+mx+n能分解為(x2【變式4-3】（2024七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）已知多項(xiàng)式x2+kx+36能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次式的乘積，則A．10 B．8 C．5 D．4【題型5利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)算】【例5】（2024七年級(jí)下·上海青浦·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：20202【變式5-1】（2024七年級(jí)下·重慶·期中）簡(jiǎn)便計(jì)算：(1)9999×10001-10000(2)999992【變式5-2】（2024七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）下列算式不正確的是（

）A．999×1001=1000-1×1000+1C．257-5【變式5-3】（2024七年級(jí)下·四川遂寧·期中）已知P=999999，Q=11A．P>Q B．P<Q C【題型6利用因式分解探究三角形形狀】【例6】（2024七年級(jí)下·山東泰安·階段練習(xí)）已知a,b,c【變式6-1】（2024七年級(jí)下·福建福州·期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足ba-b+A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式6-2】（2024七年級(jí)下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足b2+bc-ba-A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【變式6-3】（2024七年級(jí)下·重慶北碚·期中）已知△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c【題型7與因式分解有關(guān)的探究題】【例7】（2024七年級(jí)下·山東淄博·期中）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，兩個(gè)正整數(shù)為它的“智慧分解”．例如，因?yàn)?6=52-32，所以16就是一個(gè)智慧數(shù)，而5和3小穎的方法是通過(guò)計(jì)算，一個(gè)個(gè)羅列出來(lái)：3=22-12，5=3小明認(rèn)為小穎的方法太麻煩，他想到：設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且則(k(1)根據(jù)上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧數(shù)，并請(qǐng)直接寫(xiě)出11，15的智慧分解；(2)繼續(xù)探究，他們發(fā)現(xiàn)8=32-12，12=42-2(3)根據(jù)以上所有探究，請(qǐng)直接寫(xiě)出第2023個(gè)智慧數(shù)，以及它的智慧分解．【變式7-1】（2024七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）探究題:(1)問(wèn)題情景：將下列各式因式分解，將結(jié)果直接寫(xiě)在橫線上：x2+6x+9=__________；x2(2)探究發(fā)現(xiàn)：觀察以上三個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)：62=4×1×9；(-4)2歸納猜想：若多項(xiàng)式ax2+bx+c(a>0,(3)驗(yàn)證結(jié)論：請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)不同于上面出現(xiàn)的完全平方式，并用此式驗(yàn)證你猜想的結(jié)論．(4)解決問(wèn)題：若多項(xiàng)式(n+1)x【變式7-2】（2024七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）閱讀理解并填空：(1)為了求代數(shù)式x2+2x若x=1，則這個(gè)代數(shù)式的值為_(kāi)_______﹔若x=2，則這個(gè)代數(shù)式的值為_(kāi)______可見(jiàn)，這個(gè)代數(shù)式的值因x的取值不同而變化，盡管如此，我們還是有辦法來(lái)考慮這個(gè)代數(shù)式的值的范圍．(2)把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以解決求代數(shù)式的最大（或最?。┲祮?wèn)題．例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(3)求代數(shù)式-x2-(4)試探究關(guān)于x、y的代數(shù)式5x2-4xy【變式7-3】（2024七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）在學(xué)習(xí)《因式分解》）時(shí)，鄒老師給同學(xué)們發(fā)了很多硬紙片(a×a的正方形A，b×b的正方形B

(1)在探究中，小明用1張A和1張C組成如圖1所示的長(zhǎng)方形可以說(shuō)明a2+ab

(2)繼續(xù)探究中，小明用1張A，2張B和3張C再次拼得一個(gè)長(zhǎng)方形，請(qǐng)?jiān)诳?中畫(huà)出示意圖，并將長(zhǎng)方形面積表達(dá)式的因式分解結(jié)果寫(xiě)在橫線上(3)嘗試應(yīng)用：請(qǐng)你仿照小明同學(xué)的探究方法，嘗試用1張A，4張B和若干張C拼成一個(gè)長(zhǎng)方形或者正方形，請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種不同的拼法，在框2和框3中分別畫(huà)出示意圖，并在相應(yīng)的橫線上寫(xiě)出所拼長(zhǎng)方形的面積表達(dá)式及因式分解的結(jié)果．

【題型8因式分解的應(yīng)用】【例8】（2024七年級(jí)下·湖北恩施·期中）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x4-y4，因式分解的結(jié)果是x-yx+yx2+y2，若取x=9，y=9，則各個(gè)因式的值是：A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【變式8-1】（2024七年級(jí)下·湖南湘西·期中）如圖，某養(yǎng)雞場(chǎng)老板準(zhǔn)備用20米的籬笆圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，已知a2b+A．32 B．24 C．16 D．12【變式8-2】（2024七年級(jí)下·吉林·期中）如圖，將一張大長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長(zhǎng)為acm的大正方形，2塊是邊長(zhǎng)為bcm的小正方形，5塊長(zhǎng)是acm，寬為(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5(2)若圖中陰影部分的面積為34cm2，大長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為①求a+②求圖中空白部分的面積．【變式8-3】（2024七年級(jí)下·福建泉州·期中）【實(shí)踐探究】小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖2所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的