高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)61變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例文北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)61變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1．某公司在2018年上半年的收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如表所示：月份123456收入x支出y2根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則()A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C[月收入的中位數(shù)是eq\f(15＋17,2)＝16，由表可知收入增加，支出也增加，則x與y有正線性相關(guān)關(guān)系，故選C.]2．對(duì)兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，對(duì)兩個(gè)變量u，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)C[由線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859＞0知x與y正相關(guān)，由線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568＜0知u與v負(fù)相關(guān)，又|r1|＜|r2|，∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng)，故選C.]3．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是()A．100個(gè)吸煙者中至少有99人患有肺癌B．1個(gè)人吸煙，那么這個(gè)人有99%的概率患有肺癌C．在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人D．在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒有D[∵“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，表示有99%的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立，與多少個(gè)人患肺癌沒有關(guān)系，只有D選項(xiàng)正確，故選D.]4．已知變量x，y之間的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))x＋10.3，且x，y之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是()x681012y6m32A.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)x＝20時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^))B．m＝4C．變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系D．變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)B[由eq\o(y,\s\up8(^))x＋10.3，取x＝20，得eq\o(y,\s\up8(^))＝－3.7，故A正確；eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(6＋8＋10＋12)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(6＋m＋3＋2,4)＝eq\f(11＋m,4)，代入eq\o(y,\s\up8(^))x＋10.3，得eq\f(11＋m,4)×9＋10.3，即m＝5，故B錯(cuò)誤；由線性回歸方程可知，變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)，故C、D正確，故選B.]5．為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2的觀測(cè)值k＝7.069，參考下表，則認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過()P(χ2≥k0)k0B[k＝7.069＞6.635，對(duì)照表格，則認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01，故選B.]二、填空題6．(2019·合肥模擬)某企業(yè)的一種商品的產(chǎn)量與單位成本數(shù)據(jù)如表：產(chǎn)量x(萬件)1416182022單位成本y(元/件)12107a3若根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))x＋28.1，則a＝________.5[由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋a＋3)＝eq\f(32＋a,5).由點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在線性回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))x＋28.1上，∴eq\f(32＋a,5)×18＋28.1，則32＋a×5，解得a＝5.]7．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，因?yàn)棣?≥3.841，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為________．5%[∵χ2≈4.844＞3.841，∴有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，即作出“主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系”的判斷出錯(cuò)的可能性不超過5%.]8．(2019·長沙模擬)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))中的eq\o(b,\s\up8(^))＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量約為________度．68[根據(jù)題意知eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，所以eq\o(a,\s\up8(^))＝40－(－2)×10＝60，eq\o(y,\s\up8(^))＝－2x＋60，所以當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量約為68度．]三、解答題9．為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值；(2)記A表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績不低于80分”，估計(jì)A的概率；(3)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請(qǐng)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生40女生50合計(jì)100參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k)0.00501k[解](1)由題可得(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋a＋0.010)×10＝1，解得a＝0.025.(2)由(1)知a＝0.025，則比賽成績不低于80分的頻率為(0.025＋0.010)×10＝0.35，故從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績不低于80分的概率約為0.35.(3)由(2)知，在抽取的100名學(xué)生中，比賽成績優(yōu)秀的有100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生104050女生252550合計(jì)3565100所以χ2的觀測(cè)值k＝eq\f(100×10×25－25×402,35×65×50×50)＝eq\f(900,91)≈9.890＜10.828，所以沒有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”．10．電動(dòng)化是汽車工業(yè)未來發(fā)展的大趨勢(shì)，在國家的節(jié)能減排、排放法規(guī)等硬性要求之下，新能源汽車乘勢(shì)而起，來自中國汽車工業(yè)協(xié)會(huì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2018年新能源汽車?yán)塾?jì)銷量已經(jīng)超過100萬臺(tái)，意味著我國的新能源汽車市場(chǎng)的正式興起．某人計(jì)劃購買一輛某品牌新能源汽車，他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到2018年1月到5月的實(shí)際銷量如下表：月份(x)12345銷量(y，單位：輛)500600100014001700(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷?shí)際銷量y(輛)與月份x之間的相關(guān)關(guān)系．請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，并據(jù)此預(yù)測(cè)2018年10月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；(2)2018年6月12日，中央財(cái)政和地方財(cái)政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程對(duì)購車補(bǔ)貼進(jìn)行新一輪調(diào)整．如圖為2018年執(zhí)行的補(bǔ)貼政策．最大續(xù)航里程R(單位：km)補(bǔ)貼金額(單位：萬元)150≤R<200200≤R<250250≤R<300300≤R<400R≥400已知該品牌的新能源汽車的最大續(xù)航里程不小于250km，某地的月銷量為3000輛，其中50%最大續(xù)航里程在[250,300)內(nèi)．問購車補(bǔ)貼能否達(dá)到1200萬元？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，請(qǐng)求出最大續(xù)航里程在[300,400)內(nèi)的銷售量范圍．參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，[解](1)eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(500＋600＋1000＋1400＋1700,5)＝1040，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝320x＋80，當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^))＝320×10＋80＝3280，所以預(yù)測(cè)2018年10月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量約為3280輛．(2)設(shè)最大續(xù)航里程在[300,400)內(nèi)的新能源汽車銷售t輛，則購車補(bǔ)貼T＝1500×t＋(3000－1500－t)×t.由T≥t≥12000，解得t≤1200，所以t∈[0,1200]．故當(dāng)最大續(xù)航里程在[300,400)內(nèi)的銷售量不高于1200輛時(shí)，購車補(bǔ)貼能達(dá)到1200萬元．1．(2019·肇慶模擬)如圖是相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析，方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程y＝b1x＋a1，相關(guān)系數(shù)為r1；方案二：剔除點(diǎn)(10,21)，根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸直線方程y＝b2x＋a2，相關(guān)系數(shù)為r2.則()A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0D[根據(jù)相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖知，變量x，y具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且點(diǎn)(10,21)是離群值；方案一中，沒剔除離群值，線性相關(guān)性弱些，成負(fù)相關(guān)；方案二中，剔除離群值，線性相關(guān)性強(qiáng)些，也是負(fù)相關(guān)．所以相關(guān)系數(shù)－1＜r2＜r1＜0.故選D.]2．某國企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是該國企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤：年號(hào)x12345年生產(chǎn)利潤y(單位：千萬元)1預(yù)測(cè)第8年該國企的生產(chǎn)利潤約為()CC[eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\,5)＝1.＝eq\f(0.7＋1.6＋3＋4.4＋7－5×3×1,1＋4＋9＋16＋25－5×9)＝0.17，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)×3＝0.49.∴y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))x＋0.49.取x＝8，得eq\o(y,\s\up8(^))×8＋0.49＝1.85.即預(yù)測(cè)第8年該國企的生產(chǎn)利潤約為1.85千萬元，故選C.]3．(2019·黃山模擬)在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說法正確的是________．(填序號(hào))①若χ2的觀測(cè)值為k為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌②由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺癌③若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤③[獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.故③正確．]4．某測(cè)試團(tuán)隊(duì)為了研究“飲酒”對(duì)“駕車安全”的影響，隨機(jī)選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測(cè)試．測(cè)試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離)．無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于表1和表2.表1：無酒狀態(tài)停車距離d(米)(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]頻數(shù)26mn82表2：酒后狀態(tài)平均每毫升血液酒精含量x(毫克)1030507090平均停車距離y(米)3050607090已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為26，回答以下問題．(1)求m，n的值，并估計(jì)駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；(2)根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))；(3)該測(cè)試團(tuán)隊(duì)認(rèn)為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于(1)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．請(qǐng)根據(jù)(2)中的回歸方程，預(yù)測(cè)當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時(shí)為“醉駕”？(附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up8(^))＝[解](1)依題意，得eq\f(6,10)m＝50－26，解得m＝40，又m＋n＋36＝100，解得n＝24.故停車距離的平均數(shù)為15×eq\f(26,100)＋25×eq\f(40,100)＋35×eq\f(24,100)＋45×eq\f(8,100)＋55×eq\f(2,100)＝27.(2)依題意，可知eq\x\to(x)＝50，eq\x\to(y)＝60，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do14(i＝1))xiyi＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17800，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝102＋302＋502＋702＋902＝16500，所以eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(17800－5×50×60,16500－5×502)＝0.7，eq\o(a,\s\up8(^))×50＝25，所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))x＋25.(3)由(1)知當(dāng)y>81時(shí)認(rèn)定駕駛員是“醉駕”．令eq\o(y,\s\up8(^))x＋25＞81，解得x>80，當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時(shí)認(rèn)定為“醉駕”．1．某城市收集并整理了該市2018年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B．10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月D．最低氣溫低于0℃的月份有4個(gè)D[在A中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故A正確；在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；在C中，月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；在D中，最低氣溫低于0℃的月份有3個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選D.]2．(2019·煙臺(tái)模擬)某地級(jí)市共有200000名中小學(xué)生，其中有7%的學(xué)生在2017年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數(shù)之比為5∶3∶2，為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項(xiàng)教育基金”，對(duì)這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助1000元、1500元、2000元．經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)厝司芍涫杖胼^上一年每增加n%，一般困難的學(xué)生中有3n%會(huì)脫貧，脫貧后將不再享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%轉(zhuǎn)為一般困難，特別困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級(jí)市2013年到2017年共5年的人均可支配收入，對(duì)數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值，其中年份x取13時(shí)代表2013年，x與y(萬元)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝C1·2C2x，其中C1，C2為常數(shù)(2013年至2019年該市中學(xué)生人數(shù)大致保持不變)．eq\x\to(y)eq\x\to(k)eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do14(i＝1))(ki－eq\x\to(k))2eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do14(i＝1))(yi－eq\x\to(y))2eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(ki－eq\x\to(k))21其中ki＝log2yi，eq\x\to(k)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up1