高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型增分練專(zhuān)題19數(shù)列求和歸類(lèi)教師版新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

專(zhuān)題19數(shù)列求和歸類(lèi)【題型一】公式法求和1（等差）【典例分析】．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用累乘法求出時(shí)，通過(guò)驗(yàn)證也滿(mǎn)意，從而求出通項(xiàng)公式為，；（2）依據(jù)第一問(wèn)得到數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，又滿(mǎn)意，綜上：，；（2）由（1）知：，；由等差數(shù)列求和公式可得：【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列求和公式：(1)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.【變式訓(xùn)練】在等比數(shù)列中，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)設(shè)的公比為，依據(jù)已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公比q的方程組，求出首項(xiàng)和公比，依據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；(2)求出的通項(xiàng)公式，推斷其為等差數(shù)列，依據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解．【詳解】（1）設(shè)的公比為，依題意得，解得，因此．（2）∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，故其前項(xiàng)和．【題型二】公式法求和2（等比）【典例分析】已知數(shù)列滿(mǎn)意，.(1)記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前12項(xiàng)和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出，從而得到，又由可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.故；（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，然后依據(jù)等比數(shù)列求和求解即可.（1）解：由題意得：當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②由②，即，③把③代入①，得故，且，，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.故.（2）把①代入②，得，且所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故，于是.【提分秘籍】基本規(guī)律等比數(shù)列有關(guān)公式：通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1； (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))（3）【變式訓(xùn)練】在①，②，③數(shù)列為等比數(shù)列這三個(gè)條件中選出兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答這個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，___________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，且，求的值.注：假如選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選條件①②：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將條件化為基本量和的關(guān)系，即可求解；選條件①③：依據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，可結(jié)合其性質(zhì)得到，再將條件化為基本量和的關(guān)系，再結(jié)合即可求解；選條件②③：依據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，可結(jié)合其性質(zhì)得到，與都化為基本量和的關(guān)系，解方程組即可求解.（2）依據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求出，再利用分組求和即可表示出，即可建立方程求解.【詳解】（1）解：選條件①②：設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以，所以.選條件①③：設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋瑪?shù)列為等比數(shù)列，所以，得，化簡(jiǎn)可得，得.所以.選條件②③：設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，得，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所?（2）依據(jù)等比數(shù)列求和公式可得，利用分組求和，可得.所以，得.【題型三】倒序求和【典例分析】已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);(2)若，求；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)，，滿(mǎn)意，證明即可；（2）依據(jù)（1）中的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，其中且，則有，因此函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，①，②，①+②得，即.【提分秘籍】基本規(guī)律若函數(shù)f（x）有對(duì)稱(chēng)中心，則數(shù)列f（n）的前n項(xiàng)和，可以借助對(duì)稱(chēng)中心構(gòu)建倒序求和。所以倒序求和，多是具有中心對(duì)稱(chēng)的【變式訓(xùn)練】設(shè)是函數(shù)的圖象上隨意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；(2)若且求；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式的表示，得到，然后代入求中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的過(guò)程，依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，可以得到常數(shù)；（2）利用（1）中所求，當(dāng)時(shí)，，可以接受倒序相加法，求和即可.【詳解】（1）證明：設(shè)，因?yàn)?，故可得，由知，故，?故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.（2）由（1）知。，兩式相加得：，故.【題型四】錯(cuò)位相消【典例分析】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿(mǎn)意，記，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用與的關(guān)系，即可證明是等差數(shù)列（2）利用錯(cuò)位相減法求得，可以證明【詳解】（1））當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，，整理得，∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.（2）由（Ⅰ）可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故，∴①，②，①－②得，，故，∴.【提分秘籍】基本規(guī)律錯(cuò)位相減法：形如an＝，用錯(cuò)位相減法求解．思維結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖示如下【變式訓(xùn)練】數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)意，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，，又，且，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以.（2）由（1）知：，則，，，.【題型五】正負(fù)相間求和【典例分析】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為常數(shù)）.(1)求的值，并寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由已知求、，由為等比數(shù)列求出，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）由（1）寫(xiě)出通項(xiàng)公式，由奇偶項(xiàng)和為定值，用并項(xiàng)求和法求.【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以適合，所以，（2）由，則所以【提分秘籍】正負(fù)相間求和：1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以相鄰的正負(fù)兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.假如須要探討奇偶，一般狀況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，干脆代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最終的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)?！咀兪接?xùn)練】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）可得，再分類(lèi)探討結(jié)合分組并項(xiàng)求和法求解即可【詳解】（1）設(shè)公比為，由題意得解得（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；．【題型六】裂項(xiàng)相消基礎(chǔ)【典例分析】已知等差數(shù)列中，，為其前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，，，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)的值.【答案】(1);(2)5.試題解析：(1)∵等差數(shù)列中，，為其前項(xiàng)和，，∴，解得，，∴.(2)∵時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式成立，∴，∴隨遞增，且，，，∴，∴最小正整數(shù)的值為5.【提分秘籍】基本規(guī)律基本規(guī)律裂項(xiàng)相消法：常用的裂項(xiàng)公式有：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)； ②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))； 【變式訓(xùn)練】已知公差不為0的等差數(shù)列滿(mǎn)意，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，并求使得成立的最小正整數(shù).【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)由題意求得首項(xiàng)和公差，據(jù)此可得通項(xiàng)公式為；(2)裂項(xiàng)求和得到關(guān)于實(shí)數(shù)n的不等式，求解不等式可得使得成立的最小正整數(shù)的值為26.試題解析：（1）是公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)公差為，∵，，成等比數(shù)列，∴得，解得：或（舍去），∴.（2）∵即化簡(jiǎn)得：，，使不等式成立的最細(xì)正整數(shù)為.【題型七】分組求和1：等差等比分組【典例分析】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)意.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由遞推式變形得，從而利用等比數(shù)列的定義即可得證；（2）由（1）求得，再利用分組求和法與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)意，所以，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以.【提分秘籍】基本規(guī)律形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加（減）【變式訓(xùn)練】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)意且是的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿(mǎn)意．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)條件，列方程求出和，運(yùn)用累加法求出；（2）令，對(duì)分類(lèi)探討即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由條件得，即，解得或（舍），，累加得：，，又符合該式，所以；（2）令，則，又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，.【題型八】分組求和2：裂項(xiàng)分組【典例分析】已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，，，成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組求解即可；(2)依據(jù)題意可得，利用裂項(xiàng)相消和分組求和運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，即，整理得，解得，所以，∵，所以.（2）∵，∴，故.【提分秘籍】基本規(guī)律形如an＝，用分組+裂項(xiàng)求和法求和，分別求和而后相加減【變式訓(xùn)練】已知公比大于1的等比數(shù)列滿(mǎn)意，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)條件，求出等比數(shù)列的公比，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，利用裂項(xiàng)相消法和組合求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，，可得，即得，解得或（舍去），故，所以的通項(xiàng)公式為；（2）若，則，故，即，即所以.【題型九】分組求和3：正負(fù)相間分組【典例分析】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用之間的關(guān)系，求得的關(guān)系，依據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）依據(jù)（1）中所求，求得，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)探討，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，于是得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以.【提分秘籍】基本規(guī)律.形如，多可以通過(guò)奇偶取值，再各自求和，得到奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)和【變式訓(xùn)練】在等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）等比數(shù)列可求出首項(xiàng)、公比和通項(xiàng)，可得到數(shù)列的通項(xiàng).（2），接受分組求和法求.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則所以，故.（2）由(1)得，，.【題型十】分段數(shù)列求和【典例分析】.已知數(shù)列滿(mǎn)意(1)求的值；(2)求的前50項(xiàng)和．【答案】(1)2，(2)675【分析】（1）依據(jù)遞推公式依次求出2,3,4,5項(xiàng)即可；（2）先說(shuō)明奇數(shù)項(xiàng)成等差，然后將和分為奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和分別求和即可.【詳解】（1）依據(jù)遞推公式可知：．（2）依據(jù)遞推公式知：當(dāng)時(shí)，．于是，即．所以，是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；且【提分秘籍】基本規(guī)律有分段型（如），可奇偶各段各自求和。分段型，還包括符號(hào)型（如），周期型（如）等等【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)意，等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)定義，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）依據(jù)，作差即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式，再設(shè)數(shù)列的公差為，即可得到方程組，解得、，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）依據(jù)通項(xiàng)公式推斷數(shù)列的單調(diào)性，即可得到的通項(xiàng)公式，再用分組求和法計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；設(shè)數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以.（2）解：因?yàn)椋磾?shù)列為遞增數(shù)列，即數(shù)列單調(diào)遞減，，，，，，，，，，，，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以.【題型十一】裂項(xiàng)相消拔高1：f（x）型裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，其前項(xiàng)和為，且數(shù)列也為等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，成等差數(shù)列，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，.（2），，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.【提分秘籍】基本規(guī)律1.形如，可列為型。其中，分子a-b是隱藏比較深的分母相減結(jié)果，須要留意構(gòu)造出這種形式。2.假如分子次冪比較高，可以先分別常數(shù)，再構(gòu)造分母之差的形式?！咀兪接?xùn)練】．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和的值.【答案】(1);(2).試題解析：（1)當(dāng)時(shí)，即,解得,①②①-②：，所以，即，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，即，其中，所以是以為首相，1為公差的等差數(shù)列，所以.(2)因?yàn)?，所以，所以，所?【題型十二】裂項(xiàng)相消拔高2：指數(shù)型裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列滿(mǎn)意，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于隨意的，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，則，兩式相除得：.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴.（2）由（1）知，則，∴，由恒成立，則.【提分秘籍】基本規(guī)律形如指數(shù)型，其中f（n）可構(gòu)造為，化為。留意構(gòu)造過(guò)程中指數(shù)冪的運(yùn)算【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)積為，求.（4）數(shù)列滿(mǎn)意，，其中，，求.【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）介紹見(jiàn)解析.【詳解】（1），則，解得，故，，即，，解得或（舍去），，故.（2）故.（3），故；（4），即.培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2024·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，依據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：依據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．2．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，明顯對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴3．（·湖北·高考真題（文））已知數(shù)列和滿(mǎn)意：，，，，且是以為公比的等比數(shù)列.（1）證明：；（2）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求和：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）利用列方程，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此證得.（2）求得、，由此求得，進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列.（3）利用分組求和法，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類(lèi)探討，由此求得.【詳解】（1）∵是以為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴.（2）∵，∵數(shù)列，，，…和數(shù)列，，，…均是以為公比的等比數(shù)列，故，，∴.故是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列.（3）由（2），得，，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴.4．（2024·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)意，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分探討，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)隨意恒成立，分類(lèi)探討分別參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽視狀況；（2）恒成立分別參數(shù)時(shí)，要留意變量的正負(fù)零探討，如（2）中恒成立，要對(duì)探討，還要留意時(shí)，分別參數(shù)不等式要變號(hào).5．（2024·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)意．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)接受作差法，或者作商法要依據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類(lèi)型靈敏選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一干脆作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二依據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三接受構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.培優(yōu)其次階——培優(yōu)拔尖練1．（2024·陜西漢中·模擬預(yù)料（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）將化簡(jiǎn)一下用基本量表示出來(lái)解方程可得，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）將代入后，作為一組分組表示出來(lái)可得前項(xiàng)和.【詳解】（1）由可得，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.（2）由（1）可得，.2．（20