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文檔簡(jiǎn)介
江蘇省漣水一中新高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種2.若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的值是()A. B. C. D.4.設(shè)分別是雙線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A.-30 B.-40 C.40 D.507.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.8.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.9.在三棱錐中,,,P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上,且,.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上,則球Q的半徑為()A. B. C. D.10.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則11.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓12.已知復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個(gè)不等式應(yīng)該為_(kāi)_________.14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___.15.中,角的對(duì)邊分別為,且成等差數(shù)列,若,,則的面積為_(kāi)_________.16.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù),(1)當(dāng),,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,圓的方程為.(1)寫(xiě)出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)坐標(biāo)為,圓與直線交于兩點(diǎn),求的值.19.(12分)已知函數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn),,如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時(shí),又稱存在“中值跟隨切線”.試問(wèn):函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.20.(12分)為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召,促進(jìn)垃圾分類,某校組織了高三年級(jí)學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識(shí)問(wèn)卷作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問(wèn)卷進(jìn)行打分,作出如圖所示的莖葉圖,成績(jī)大于70分的為“合格”.(Ⅰ)由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表,是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)?男女總計(jì)合格不合格總計(jì)(Ⅱ)從上述樣本中,成績(jī)?cè)?0分以下(不含60分)的男女學(xué)生問(wèn)卷中任意選2個(gè),記來(lái)自男生的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821.(12分)在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,平面平面,,M、N分別為、的中點(diǎn).?(1)證明:;(2)求三棱錐的體積.22.(10分)在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上,并解答相應(yīng)的問(wèn)題.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足________________,,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開(kāi)始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,由題意得出,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值,并對(duì)的值進(jìn)行檢驗(yàn),即可得出結(jié)果.【詳解】,則,,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.若函數(shù)的零點(diǎn)不為,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn),不合題意.所以,,即,解得或.①當(dāng)時(shí),令,得,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:此時(shí),函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;②當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù),考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出,在求出參數(shù)后要對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.3、C【解析】
利用先求出,然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,,故當(dāng)時(shí),,數(shù)列是等比數(shù)列,則,故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式,只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果,較為基礎(chǔ).4、B【解析】
由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式,畫(huà)出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像,分段討論函數(shù)的零點(diǎn)情況:易知為的一個(gè)零點(diǎn);對(duì)于當(dāng)時(shí),由代入解析式解方程可求得零點(diǎn),結(jié)合即可求得的范圍;對(duì)于當(dāng)時(shí),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示:函數(shù)的零點(diǎn),即.由圖像可知,,所以是的一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,若,則,即,所以,解得;當(dāng)時(shí),,則,且若在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),則,綜上可得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫(huà)法,函數(shù)零點(diǎn)定義及應(yīng)用,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,屬于中檔題.6、C【解析】
先寫(xiě)出的通項(xiàng)公式,再根據(jù)的產(chǎn)生過(guò)程,即可求得.【詳解】對(duì)二項(xiàng)式,其通項(xiàng)公式為的展開(kāi)式中的系數(shù)是展開(kāi)式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令,可得的系數(shù)為;令,可得的系數(shù)為;故的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解,關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無(wú)最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減;當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.8、B【解析】
直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.9、A【解析】
設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑,設(shè),利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)椋酝饨訄A的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)?,所以,解?因?yàn)?,所?設(shè),易知平面ABC,則.因?yàn)椋?,即,解?所以球Q的半徑.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體,考查空間想象能力,考查計(jì)算求解能力,是中檔題10、C【解析】
根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí),不滿足,錯(cuò)誤;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,但,錯(cuò)誤;對(duì)于,由,知:,又,,正確;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.12、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為利用模長(zhǎng)公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,模長(zhǎng)公式和幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,對(duì)于第一個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第二個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第三個(gè)不等式,,則有,依此類推:第個(gè)不等式為:,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用,分析不等式的變化規(guī)律.14、28【解析】
將已知式轉(zhuǎn)化為,則的展開(kāi)式中的系數(shù)中的系數(shù),根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式可求得其值.【詳解】,所以的展開(kāi)式中的系數(shù)就是中的系數(shù),而中的系數(shù)為,展開(kāi)式中的系數(shù)為故答案為:28.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中的某特定項(xiàng)的系數(shù),關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡(jiǎn)將三項(xiàng)的冪的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項(xiàng)式的形式,屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】
由A,B,C成等差數(shù)列得出B=60°,利用正弦定理得進(jìn)而得代入三角形的面積公式即可得出.【詳解】∵A,B,C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.故由正弦定理,故所以S△ABC,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),三角形的面積公式,考查正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
變換,根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,,取和,計(jì)算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)或;(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)將化簡(jiǎn),分類討論即可;(2)由(1)得,,展開(kāi)后再利用基本不等式即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根據(jù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問(wèn)題,考查學(xué)生基本的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.18、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標(biāo)方程;(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據(jù)韋達(dá)定理可得結(jié)果試題解析:解:(Ⅰ)由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化為直角坐標(biāo)方程為x2+(y﹣)2=5;(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0設(shè)t1,t2是上述方程的兩實(shí)數(shù)根,所以t1+t2=3又直線l過(guò)點(diǎn)P,A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.19、(1),單調(diào)性見(jiàn)解析;(2)不存在,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?,整理?.(?。┊?dāng)時(shí),易知,,時(shí).故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(ⅱ)當(dāng)時(shí),令,解得或,則①當(dāng),即時(shí),在上恒成立,則在上遞增.②當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.③當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在上遞增.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上遞減.(2)滿足條件的、不存在,理由如下:假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,則,又,由題可知,整理可得:,令(),構(gòu)造函數(shù)().則,所以在上單調(diào)遞增,從而,所以方程無(wú)解,即無(wú)解.綜上,滿足條件的A、B不存在.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.20、(Ⅰ)填表見(jiàn)解析,有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān);(Ⅱ)分布列見(jiàn)解析,【解析】
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)列聯(lián)表,計(jì)算得到答案.(Ⅱ),計(jì)算,,,得到分布列,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖可得:男女總計(jì)合格101626不合格10414總計(jì)202040,故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果””有關(guān).(Ⅱ)從莖葉圖可知,成績(jī)?cè)?0分以下(不含60分)的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人,從中任意選2人,基本事件總數(shù)為,,,,012.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21、(1)證明見(jiàn)解析
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