期末專題07 圓錐曲線小題綜合（橢圓、雙曲線、拋物線）（附加）（40題）（解析版）-備戰(zhàn)期末高二數(shù)學(xué)

期末專題07圓錐曲線小題綜合（橢圓、雙曲線、拋物線）（附加）（精選40題）一、單選題1．（22-23高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線方程求出的值，從而可求出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由于拋物線的方程為，所以，，則所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：A.2．（22-23高二下·河北·期末）已知雙曲線與雙曲線，則兩雙曲線的（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．虛軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通過(guò)的范圍，結(jié)合曲線，求解焦距，實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，判斷選項(xiàng)即可．【詳解】的實(shí)半軸的長(zhǎng)為5，虛半軸的長(zhǎng)為3，實(shí)數(shù)滿足，曲線是雙曲線，實(shí)半軸的長(zhǎng)為，虛半軸的長(zhǎng)為，顯然兩條曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)與虛軸的長(zhǎng)不相等，所以A、B均不正確；焦距為：，焦距相等，所以D正確；離心率為：和，不相等，所以C不正確．故選：D．3．（22-23高二下·湖北荊門·期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率為直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合已知點(diǎn)的關(guān)系求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，直線的方程為，

由消去y并整理得：，設(shè)，則，而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又是的中點(diǎn)，則有，由，，解得，因此，又，解得，所以.故選：D4．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于點(diǎn)，分別在點(diǎn)處作的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為，，與拋物線聯(lián)立可得，再利用求曲線上一點(diǎn)的切線方程得過(guò)與相切的直線方程，再利用兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)得???????，再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得結(jié)論.【詳解】顯然直線的斜率存在，因此設(shè)直線的方程為，，由得，因此，故.因?yàn)?，所以過(guò)與相切的直線方程分別為：、，因此由得，即，所以.因?yàn)椋?，因此，所以的取值范圍?故選:C.5．（22-23高二下·廣東·期末）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作C的一條漸近線的垂線，垂足為D，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，利用勾股定理求出，由銳角三角函數(shù)得出，在利用余弦定理可得出、、的齊次方程，可解出雙曲線離心率的值．【詳解】如下圖所示，雙曲線的右焦點(diǎn)，漸近線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，，即，因此，雙曲線的離心率為，故選：C．【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：①直接求出、，可計(jì)算出離心率；②構(gòu)造、的齊次方程，求出離心率；③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來(lái)求解．6．（22-23高二下·福建福州·期末）設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在上（位于第一象限）且點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，四邊形為矩形，設(shè)，則，利用橢圓定義可得出與的等量關(guān)系，利用勾股定理可得出與的等量關(guān)系，由此可得出橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示：

由題意可知，為、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)?，則四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，由勾股定理可得，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.7．（22-23高二下·廣西河池·期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，焦距為，以線段為直徑的圓在第一象限交雙曲線于點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓的直徑得出垂直關(guān)系，再根據(jù)正弦值得出邊長(zhǎng)，結(jié)合雙曲線定義可得2a，計(jì)算漸近線即可.【詳解】

因?yàn)榫€段為直徑的圓在第一象限交雙曲線于點(diǎn)所以，則漸近線方程為．故選:B．8．（22-23高二下·廣東韶關(guān)·期末）已知點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)Q，則點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)T，則可得，再結(jié)合雙曲線的定義得，連接，則，而為定值，所以由圖可知，從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)T，則因?yàn)槠椒郑?，所以，，因?yàn)镻在雙曲線上，所以，所以，連接，則，因?yàn)椋?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為3，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得，，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.9．（22-23高二下·廣東廣州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)點(diǎn)為右支上一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，過(guò)的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為2 B．C．直線的斜率的取值范圍是 D．的內(nèi)切圓圓心到軸的距離為1【答案】D【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程，可得答案.【詳解】由題意，，，可作圖如下：

對(duì)于A，由題意以及圖象可知：當(dāng)與右頂點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令且，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由漸近線方程為，過(guò)的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：直線的斜率的取值范圍為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若內(nèi)切圓與三邊相切于，如圖象所示，則，，，又，即，由，，即與右頂點(diǎn)重合，易知的內(nèi)切圓圓心到軸的距離為，故D正確.故選：D.10．（22-23高二下·浙江杭州·期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記為的內(nèi)心．直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用角平分線性質(zhì)得到，設(shè)，則，根據(jù)橢圓定義得到，然后利用平面向量的數(shù)量積和余弦定理即可求解.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，如圖所示，

因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以為的角平分線，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，由橢圓的定義可知，，可得，所以，，又因?yàn)椋?，在中，由余弦定理可得，，所以，則，故選：B.11．（22-23高二下·江蘇南京·期末）直線過(guò)圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】求出圓的圓心，根據(jù)題意可得、，利用平面向量的線性運(yùn)算可得，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑，因?yàn)橹本€過(guò)圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，所以，又雙曲線，則，，右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，即，所以的最小值為，故選：D.

12．（22-23高二下·廣東深圳·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為矩形，再根據(jù)橢圓的定義求出，再利用勾股定理構(gòu)造齊次式即可得解.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.

13．（22-23高二下·廣東汕頭·期末）已知橢圓方程是其左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若的最大值為，最小值為，那么（

）A． B．4 C．8 D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為的最值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，則，如圖：

當(dāng)點(diǎn)P在位置M時(shí)，取到最大值，當(dāng)點(diǎn)P在位置N時(shí)，取到最小值，所以的取值范圍是，即，所以的最大值，最小值，所以.故選：C.14．（22-23高二下·湖南·期末）如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，因?yàn)椋鶕?jù)對(duì)稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；2．焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．15．（22-23高二下·浙江·期末）雙曲線右焦點(diǎn)為，離心率為，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓的方程，聯(lián)立方程組，由得出的范圍，從而得解.【詳解】由題意，右焦點(diǎn)，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，，聯(lián)立方程組，得，由圓與雙曲線有公共點(diǎn)，所以，即，結(jié)合，化簡(jiǎn)為，由方程兩根為：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】解決本題關(guān)鍵是曲線與曲線的位置關(guān)系，用聯(lián)立方程組的方法，其中化簡(jiǎn)是個(gè)難點(diǎn).二、多選題16．（22-23高二下·江蘇南通·期末）雙曲線的離心率為e，若過(guò)點(diǎn)能作該雙曲線的兩條切線，則e可能取值為（

）．A． B． C． D．2【答案】AC【分析】設(shè)出切線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)過(guò)點(diǎn)能作該雙曲線的兩條切線，求得a的取值范圍，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍，從而可得答案.【詳解】斜率不存在時(shí)不合題意，所以直線切線斜率一定存在，設(shè)切線方程是，由得，顯然時(shí)，所得直線只有一條，不滿足題意，所以，由得，整理為，由題意此方程有兩不等實(shí)根，所以，，則為雙曲線的半焦距，，即，代入方程，得，此時(shí)，綜上，e的范圍是故選：AC

17．（22-23高二下·湖北咸寧·期末）已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．的最大值為4C．的最大值為3 D．的最大值為【答案】BCD【分析】由橢圓方程求出離心率可判斷A；由基本不等式可判斷B；由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；當(dāng)點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求出可判斷D.【詳解】由橢圓方程得，，，因此，，選項(xiàng)A中，，，故，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；選項(xiàng)C中，令，則，故C正確；選項(xiàng)D中，當(dāng)點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，，的最大值為，D正確.故選：BCD.

18．（22-23高二下·重慶渝中·期末）已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．為定值－8 B．的最小值為4C．的最小值為 D．點(diǎn)的軌跡方程為【答案】ACD【分析】設(shè)直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，再一一判斷即可．【詳解】由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，顯然，兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，設(shè)，且，，聯(lián)立，整理可得，顯然，，，，，所以A正確；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B不正確；因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；由題意可得的中點(diǎn)，設(shè)，則，消參可得，整理可得，所以D正確．故選：ACD．19．（22-23高二下·廣東深圳·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的一條直線與交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】由拋物線的定義可判斷A項(xiàng)，聯(lián)立直線AB方程與拋物線方程求得、，進(jìn)而可求得可判斷B項(xiàng)，由直角三角形性質(zhì)及拋物線的定義可判斷C項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，計(jì)算可得，可得，運(yùn)用等面積法、直角三角形性質(zhì)及基本不等式可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如圖所示，

由拋物線定義可知，若，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：如圖所示，

當(dāng)時(shí)，為正三角形，所以直線的傾斜角為，設(shè)直線的方程為，由可得，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，垂足分別為，作的中點(diǎn)N，如圖所示，

由選項(xiàng)B可知，又因?yàn)椋?，由拋物線定義可知，所以，所以M為的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如圖所示，

設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，則，由B項(xiàng)可知，由選項(xiàng)C可知，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，且，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.20．（22-23高二下·湖北·期末）“嫦娥五號(hào)”是中國(guó)首個(gè)實(shí)施無(wú)人月面取樣返回的月球探測(cè)器，是中國(guó)探月工程的收官之戰(zhàn)，實(shí)現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測(cè)器飛到月球附近時(shí)，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則以下說(shuō)法正確的是（

）

A．橢圓軌道Ⅱ的焦距為B．橢圓軌道Ⅱ的短軸長(zhǎng)為C．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大D．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大【答案】AC【分析】根據(jù)圖中幾何關(guān)系列方程組求出a，c，然后可得b，可判斷AB；分離常數(shù)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】在橢圓中，由圖可知，解得，所以，所以，A正確，B錯(cuò)誤；，當(dāng)不變時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；，當(dāng)不變時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：AC21．（22-23高二下·廣東江門·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長(zhǎng)度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】ACD【分析】由弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得選項(xiàng)A、B；C、D選項(xiàng)，可以利用圓的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點(diǎn)，設(shè)直線,聯(lián)立，，，同理可得，，，故A選項(xiàng)正確；，故弦AB的長(zhǎng)度最小值為4，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；記中點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線的性質(zhì)，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項(xiàng)正確；，記中點(diǎn)，則點(diǎn)N到拋物線的準(zhǔn)線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線的焦點(diǎn)弦常見(jiàn)結(jié)論：設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

(1)(2)弦長(zhǎng)(α為弦AB的傾斜角)．(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)度等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦．(5)（定值）.(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.22．（22-23高二下·山西長(zhǎng)治·期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，由余弦定理化簡(jiǎn)得，求得，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，由余弦定理化簡(jiǎn)得，求得，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，根?jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的斜率小于零，如圖（1）所示，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，解得（舍去），此時(shí)雙曲線的漸近線方程為，如圖（2）所示，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，解得（舍去），此時(shí)雙曲線的漸近線方程為.故選：AB.

23．（22-23高二下·廣東茂名·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在上的射影，線段交軸于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A．B．直線與拋物線相切C．點(diǎn)的軌跡方程為D．可以是直角【答案】ABC【分析】分別應(yīng)用拋物線定義，直線與拋物線位置關(guān)系的判定，求軌跡方程的方法，向量法判斷垂直進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，由拋物線知原點(diǎn)為的中點(diǎn)，軸，所以為線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意知，為線段的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直線與拋物線相切，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，而是拋物線上任意一點(diǎn)，于是得，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因點(diǎn)的軌跡方程為，則設(shè)，令，有，，于是得為銳角，故錯(cuò)誤.故選：ABC.

24．（22-23高二下·湖南·期末）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，為上一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．的離心率為B．的最小值為C．若，為的左、右頂點(diǎn)，與，不重合，則直線，的斜率之積為D．設(shè)的左焦點(diǎn)為，若的面積為，則【答案】ACD【分析】根據(jù)題意列關(guān)于的等式，從而可得雙曲線的方程，計(jì)算離心率，的最小值，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)滿足的方程，列式計(jì)算，在焦點(diǎn)三角形中，由雙曲線的定義，余弦定理以及三角形面積公式列式即可計(jì)算出.【詳解】由已知可得，，所以，則的方程為，離心率為，A正確；因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，，所以C正確；設(shè)，由可得，得，則，所以D正確．故選：ACD25．（22-23高二下·安徽阜陽(yáng)·期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．雙曲線與雙曲線共漸近線C．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則直線的斜率與直線的斜率之積為D．若，則的內(nèi)切圓半徑為【答案】AC【分析】根據(jù)題意，求得雙曲線的方程為，其中，結(jié)合雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以，則，所以雙曲線，其中，對(duì)于A中，由雙曲線的離心率，所以A正確；對(duì)于B中，由雙曲線的漸近線方程為，又由雙曲線的漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于中，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨記在第一象限，則，因?yàn)?，可得，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的周長(zhǎng)為，又由的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.26．（22-23高二下·安徽宣城·期末）已知拋物線，準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，垂足為，設(shè)，則（

）A．過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有2條B．已知曲線上的兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為10，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4C．的最小值為D．的最小值為4【答案】BCD【分析】由點(diǎn)在拋物線外從而判斷A；由拋物線的定義結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷B；由拋物線的定義結(jié)合圖像判斷C；聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式得出的最小值.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵趻佄锞€外，顯然過(guò)與拋物線相切的直線有2條，當(dāng)此直線與x軸平行時(shí)，與拋物線也是僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，即，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，，（當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取等號(hào)），故C正確；對(duì)于D，設(shè)，設(shè)直線的方程為，由，得，易得，則，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故D正確；故選：BCD

.

27．（22-23高二下·浙江·期末）雙曲線，點(diǎn)，則（

）A．該雙曲線漸近線為B．過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則滿足的直線有1條C．與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的直線斜率可以是1.1D．過(guò)點(diǎn)能作4條僅與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)的直線【答案】ACD【分析】由雙曲線漸近線的定義可求出漸近線方程，判斷A選項(xiàng)；再由直線與雙曲線的位置關(guān)系依次判斷選項(xiàng)B、C、D.【詳解】由題意，雙曲線，則雙曲線漸近線為，選項(xiàng)A正確；依題意，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)時(shí)，通徑最短，為，當(dāng)直線與雙曲線的兩支交于兩點(diǎn)時(shí)，的最小值為，所以，若，則滿足條件的直線有3條，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于雙曲線漸近線為，與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的直線斜率，而，選項(xiàng)C正確；過(guò)點(diǎn)能作兩條與漸近線平行的直線和兩條切線，均與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足條件的直線有4條，選項(xiàng)D正確.故選：ACD

28．（22-23高二下·浙江·期末）已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，，分別為，的離心率，點(diǎn)是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則以下判斷正確的有（

）A．面積為B．若，則C．若，則的取值范圍為D．若，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】由橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式可判斷A；由和結(jié)合基本不等式可判斷B；由條件可得，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可判斷C、D.【詳解】設(shè)，，，不妨設(shè)點(diǎn)是，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則，，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，一方面，所以，此時(shí)面積為；另一方面，，所以，此時(shí)面積為，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以，又，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，由得，即，所以，所以，，對(duì)于C，令，則，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，記，則，函數(shù)是對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD29．（22-23高二下·湖南岳陽(yáng)·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上兩個(gè)相異的動(dòng)點(diǎn)，分別在點(diǎn)，處作拋物線的切線，，與交于點(diǎn)，則（

）A．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B．若點(diǎn)在直線上，則直線過(guò)定點(diǎn)C．若直線過(guò)焦點(diǎn)，則面積的最小值為D．若，則面積的最大值為【答案】AB【分析】設(shè)，，，與拋物線相切的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出直線的方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，根據(jù)直線過(guò)焦點(diǎn)可判斷A；根據(jù)點(diǎn)在直線上，把，代入直線的方程可判斷B；根據(jù)直線過(guò)焦點(diǎn)，求出，求出點(diǎn)到直線的距離，求出面積由基本不等式可判斷C；由弦長(zhǎng)公式求出，可得點(diǎn)到直線的距離，再由基本不等式可得面積最大值可判斷D.【詳解】設(shè)，，，與拋物線相切的切線方程為，則化簡(jiǎn)得，由，可得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，可得，，所以過(guò)的切線方程為，同理，過(guò)的切線方程為，所以直線的方程為，又，①

，②聯(lián)立①②可得，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，對(duì)于，若直線過(guò)焦點(diǎn)，則，故，所以點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對(duì)于B，若點(diǎn)在直線上，則，代入直線的方程得，解得，，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若直線過(guò)焦點(diǎn)，則，直線的方程為，即，，點(diǎn)到直線的距離為，所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，可得，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用與拋物線相切的切線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，常常利用韋達(dá)定理解決相關(guān)問(wèn)題.30．（22-23高二下·福建廈門·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則（

）A．P的軌跡方程為 B．P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱C．的面積的最大值為2 D．P的橫坐標(biāo)的取值范圍為【答案】BCD【分析】由動(dòng)點(diǎn)滿足的條件可求軌跡方程，由橢圓定義知軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，利用橢圓的性質(zhì)求對(duì)稱軸，求焦點(diǎn)三角形的最大面積，通過(guò)聯(lián)立方程組利用判別式求P的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，得到，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由橢圓定義知P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，故所在直線是橢圓的對(duì)稱軸，故B正確.對(duì)于C，因?yàn)殚L(zhǎng)半軸，半焦距，所以短半軸，當(dāng)點(diǎn)P在短軸頂點(diǎn)上，，此時(shí)的面積最大，最大值為2，故C正確.對(duì)于D，聯(lián)立方程，得，由，得，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由已知和橢圓定義可知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，充分利用橢圓的性質(zhì)，可以更快找到解題思路，減少運(yùn)算量.三、填空題31．（22-23高二下·湖南·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)到x軸的距離為6，則的最大值為．【答案】20【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合梯形中位線定理、兩點(diǎn)間線段最短進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線方程為．設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)點(diǎn)A，B，M作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，N．

因?yàn)镸到軸的距離為6，所以．由拋物線的定義知，所以．因?yàn)椋?dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為20．故答案為：20．32．（22-23高二下·河南信陽(yáng)·期末）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】以雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)特征為突破點(diǎn)解答即可；【詳解】解析：橢圓的焦點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)所以，得，所以雙曲線的離心率．故答案為：.33．（22-23高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，且直線的斜率為，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】由距離公式得出，，進(jìn)而由等面積法得出，由，結(jié)合離心率公式求解即可.【詳解】由題意得，雙曲線的一條漸近線方程為，則，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，因?yàn)橐驗(yàn)橹本€的斜率為，所以則，即，，則整理得，則離心率為.

故答案為：34．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知拋物線，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)差法即可求解斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€內(nèi)部，又，所以是的中點(diǎn).設(shè)，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：

35．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與的一條漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為（點(diǎn)在第一象限），且，則的離心率為．【答案】或【分析】寫出雙曲線漸近線方程，由題意求出點(diǎn)M坐標(biāo)，結(jié)合求得，列式求得，即可求得答案.【詳解】由題意可得雙曲線漸近線方程為，

聯(lián)立，求得，則，因?yàn)?，可知為銳角，故，即得，解得或，故答案為：或36．（22-23高二下·福建龍巖·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為．【答案】【分析】以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)建系，設(shè)，根據(jù)可得的軌跡，進(jìn)而可得的最小值.【詳解】以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，故，，由可得，解得，故的軌跡是線段，則的最小值為到線段的距離.

故答案為：37．（22-23高二