概率統(tǒng)計課件：離散型隨機變量及其概率分布

離散型隨機變量及其概率分布定義若隨機變量X

的可能取值是有限多個或無窮可列多個，則稱X

為離散型隨機變量描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性質(zhì)離散型隨機變量的概念

非負性

規(guī)范性

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點為第一類跳躍間斷點，在間斷點處有躍度

pk離散型隨機變量的分布函數(shù)例1設(shè)一汽車在開往目的地的途中需經(jīng)過4盞信號燈，每盞信號燈獨立地以概率p允許汽車通過。令

X

表示首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的概率分布與p=0.4時的分布函數(shù)。出發(fā)地目的地解?0?1?2?3?4xx]]]?]??kpk012340.60.4

0.60.42

0.60.43

0.60.44當?0?1?2?3?4xF(x)o?o?1?o?o?o概率分布或分布函數(shù)可用來計算有關(guān)事件的概率例2在上例中，分別用概率分布與分布函數(shù)計算下述事件的概率：解或或或此式應(yīng)理解為極限對離散型隨機變量用概率分布比用分布函數(shù)計算這些概率更方便或或例3一門大炮對目標進行轟擊，假定此目標必須被擊中r

次才能被摧毀。若每次擊中目標的概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨立，一次一次地轟擊直到摧毀目標為止。求所需轟擊次數(shù)X的概率分布。解P(X=k)=P(前k–1次擊中r–1次，第k

次擊中目標)注利用冪級數(shù)在收斂域內(nèi)可逐項求導的性質(zhì)當歸納地令例4

將3個有區(qū)別的球隨機地逐個放入編號為1，2，3，4的四只盒中（每盒容納球的個數(shù)不限）。設(shè)X為有球的盒子的最大號碼，試求：（1）隨機變量X的分布律與分布函數(shù)；

（2)解（1）

隨機變量X的可能取值為：即隨機變量X的分布律為X1234PX的分布函數(shù)為(2)(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可寫成

§2.4

常見的離散型隨機變量的分布凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，應(yīng)用場合常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負荷等等.n重Bernoulli試驗概型：即可看作每次試驗有兩個可能的結(jié)果：設(shè)

Bernoulli試驗概型每次試驗的結(jié)果與其他次試驗無關(guān)——稱為這n次試驗是相互獨立的將隨機試驗重復

n

次每次試驗感興趣的事件為A

(2)二項分布若P(A)=p,則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記作0–1分布是n=1的二項分布n重Bernoulli試驗概型感興趣的問題為：在n

次試驗中事件A

出現(xiàn)

k

次的概率，記為例5

獨立射擊5000次，每次的命中率為0.001,求命中次數(shù)不少于2次的概率.令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)解

本例啟示

小概率事件雖不易發(fā)生，但重復次數(shù)多了，就成大概率事件.問題如何計算？Possion定理則對固定的

k設(shè)Poisson定理說明：若X~B(n,p),則當n

較大，p

較小，而適中，則可以用近似公式解令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)令此結(jié)果也可直接查P.378附表2Poisson分布表得到，它與用二項分布算得的結(jié)果

僅相差千分之二點四.利用Poisson定理再求例5

例6

某廠產(chǎn)品不合格率為0.03，現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱，若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個合格品，則每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解

設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n個，每箱的不合格品個數(shù)為X

，則X~B(100+n,0.03)應(yīng)用Poisson定理由題意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3查Poisson分布表=3一欄得n+1=6,n=5所以每箱至少應(yīng)裝105個產(chǎn)品,才能符合要求.在實際計算中，當n

20,p0.05時，可用上述公式近似計算；而當n

100,np10時,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二項分布按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1解

(1)設(shè)需要配備N

個維修工人,設(shè)X

為90臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則X~B(90,0.01)

設(shè)有同類型設(shè)備90臺，每臺工作相互獨立，每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個人獨立維修，每人同時也只能維修一臺設(shè)備.問至少要配備多少維修工人，才能保證當設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?(2)問3個人共同負責90臺還是3個人各自獨立負責30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？例7令則查附表2得N=4三個人共同負責90臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率為設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個人獨立負責30臺設(shè)備，第i個人負責的30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件Ai

則三個人各獨立負責30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修為事件故

三個人共同負責90臺設(shè)備比各自負責好！在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機變量的概率分布—Poisson分布(3)Poisson分布或或若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布，記作在一定時間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點個數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；應(yīng)用場合電話總機接到的電話次數(shù)；一個容器中的細菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機質(zhì)點流,若它們滿足一定的條件，則稱為Poisson流,在長為

t

的時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)Xt~P(t)市級醫(yī)院急診病人數(shù)；等等例8

設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機變量

X~P(

),

每個蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率為p.設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨立的.求一只昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成的幼蟲數(shù)Y

的概率分布.解昆蟲X

個蟲卵Y個幼蟲已知由全概率公式故例9從一家工廠生產(chǎn)的一大批某種產(chǎn)品中,不放回地抽取50次,每次取一件.經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)其中3件次品.問是否可相信該批產(chǎn)品的次品率不超過12‰.解:抽取50件產(chǎn)品可近似看作50重貝努力試驗.假定該批產(chǎn)品的次品率不超過12‰,則抽取50件產(chǎn)品的次品數(shù)則50件產(chǎn)品中恰有3件次品的概率若次品率小于12‰,則會更小.由實際推斷原理,懷疑假設(shè)的正確性,從而認為次品率不超過12‰

不可信.“小概率事件在一次試驗中實際上不可能發(fā)生”

實際推斷原理

例10

設(shè)一次試驗中事件A發(fā)生的概率

把試驗獨立地重復做n次,求事件A至少發(fā)生一次的概率.解:

記X為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),

令事件A至少發(fā)生一次,時,這說明,當n充分大時,事件A遲早要發(fā)生.從而得出一個重要結(jié)論:“小概率事件在大量重復試驗中是遲早要發(fā)生的”.因此,在試驗次數(shù)很大的情況下