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貴州省安順市第二學(xué)期2025屆高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.在數(shù)列中,,且數(shù)列是等比數(shù)列,其公比,則數(shù)列的最大項等于()A. B. C.或 D.2.等比數(shù)列的前n項和為,已知,則A. B. C. D.3.設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則A. B. C. D.4.為了得到函數(shù)的圖象,可以將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度5.在銳角中ΔABC,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asinA.π12B.π6C.π6.已知集合,,則()A. B. C. D.7.若正數(shù)滿足,則的最小值為A. B.C. D.38.函數(shù)在的圖像大致為A. B.C. D.9.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為,滿足,且,則的形狀為()A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.頂角為的等腰三角形 D.頂角為的等腰三角形10.過△ABC的重心任作一直線分別交邊AB,AC于點D、E.若,,,則的最小值為()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知向量(1,x2),(﹣2,y2﹣2),若向量,共線,則xy的最大值為_____.12.已知橢圓的右焦點為,過點作圓的切線,若兩條切線互相垂直,則_____________.13.若銳角滿足則______.14.?dāng)?shù)列的前項和為,若數(shù)列的各項按如下規(guī)律排列:,,,,,,,,,,…,,,…,,…有如下運算和結(jié)論:①;②數(shù)列,,,,…是等比數(shù)列;③數(shù)列,,,,…的前項和為;④若存在正整數(shù),使,,則.其中正確的結(jié)論是_____.(將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)15.?dāng)?shù)列的前項和為,,,則________.16.在平面直角坐標(biāo)系中,點在第二象限,,,則向量的坐標(biāo)為________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)常數(shù)函數(shù)(1)若求函數(shù)的反函數(shù)(2)根據(jù)的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說明理由.18.在國內(nèi)汽車市場中,國產(chǎn)SUV出現(xiàn)了持續(xù)不退的銷售熱潮,2018年國產(chǎn)SUV銷量排行榜完整版已經(jīng)出爐,某品牌車型以驚人的銷量成績擊退了所有虎視眈眈的對手,再次霸氣登頂,下面是該品牌國產(chǎn)SUV分別在2017年與2018年7~11月份的銷售量對比表時間7月8月9月10月11月2017年(單位:萬輛)2.83.93.54.45.42018年(單位:萬輛)3.83.94.54.95.4(Ⅰ)若從7月至11月中任選兩個月份,求至少有一個月份這兩年該國產(chǎn)品牌SUV銷量相同的概率.(Ⅱ)分別求這兩年7月至11月的銷售數(shù)據(jù)的平均數(shù),并直接判斷哪年的銷售量比較穩(wěn)定.19.在中,內(nèi)角所對的邊分別是.已知,,且.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,求面積的最大值.20.已知關(guān)于直線對稱,且圓心在軸上.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知動點在直線上,過點引的兩條切線、,切點分別為.①記四邊形的面積為,求的最小值;②證明直線恒過定點.21.如圖,在三棱柱中,平面平面,,,為棱的中點.(1)證明:;(2)求點到平面的距離.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】
在數(shù)列中,,,且數(shù)列是等比數(shù)列,其公比,利用等比數(shù)列的通項公式可得:.可得,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】在數(shù)列中,,,且數(shù)列是等比數(shù)列,其公比,.,.由或8時,,或9時,,數(shù)列的最大項等于或.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式、累乘法、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查推理能力與計算能力,屬于中檔題.2、A【解析】設(shè)公比為q,則,選A.3、A【解析】,,選A.4、A【解析】
先將轉(zhuǎn)化為,再判斷的符號即可得出結(jié)論.【詳解】解:因為,所以只需把向右平移個單位.故選:A【點睛】函數(shù)左右平移變換時,一是要注意平移方向:按“左加右減",如由的圖象變?yōu)榈膱D象,是由變?yōu)?所以是向左平移個單位;二是要注意前面的系數(shù)是不是,如果不是,左右平移時,要先提系數(shù),再來計算.5、D【解析】試題分析:∵2a考點:正弦定理解三角形6、A【解析】
先分別求出集合,,由此能求出.【詳解】集合,,1,,或,,,.故選:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由,利用基本不等式,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,因為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以的最小值為,故選A.【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題,其中解答中合理構(gòu)造,利用基本不是準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由解析式研究函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、特殊函數(shù)值的正負(fù),可選擇正確的圖象.【詳解】易知函數(shù)()是偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,可排除BD,時,,可排除A.故選C.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題方法是由解析式分析函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的極值、最值、特殊值、函數(shù)的值的正負(fù)等等.9、D【解析】
先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系得,結(jié)合正余弦定理得進(jìn)而得B,再利用化簡得,得A值進(jìn)而得C,則形狀可求【詳解】由題即,由正弦定理及余弦定理得即故整理得,故故為頂角為的等腰三角形故選D【點睛】本題考查利用正余弦定理判斷三角形形狀,注意內(nèi)角和定理,三角恒等變換的應(yīng)用,是中檔題10、B【解析】
利用重心以及向量的三點共線的結(jié)論得到的關(guān)系式,再利用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)重心為,因為重心分中線的比為,則有,,則,又因為三點共線,所以,則,取等號時.故選B.【點睛】(1)三角形的重心是三條中線的交點,且重心分中線的比例為;(2)運用基本不等式時,注意取等號時條件是否成立.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
由題意利用兩個向量共線的性質(zhì),兩個向量坐標(biāo)形式的運算,可得,再利用基本不等式,求得的最大值.【詳解】向量,,若向量,共線,則,,即,當(dāng)且僅當(dāng),時,取等號.故的最大值為,故答案為:.【點睛】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì),考查兩個向量坐標(biāo)形式的運算和基本不等式,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】
首先分析直線與圓的位置關(guān)系,然后結(jié)合已知可判斷四邊形的形狀,得出的比值,最后得到答案.【詳解】設(shè)切點為,根據(jù)已知兩切線垂直,四邊形是正方形,,根據(jù),可得.故填:.【點睛】本題考查了直線與圓的幾何性質(zhì),以及橢圓的性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力,屬于基礎(chǔ)題型.13、【解析】
由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,的值,利用兩角差的余弦公式即可計算得解.【詳解】、為銳角,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、①③④【解析】
根據(jù)題中所給的條件,將數(shù)列的項逐個寫出,可以求得,將數(shù)列的各項求出,可以發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列,故不是等比數(shù)列,利用求和公式求得結(jié)果,結(jié)合條件,去挖掘條件,最后得到正確的結(jié)果.【詳解】對于①,前24項構(gòu)成的數(shù)列是,所以,故①正確;對于②,數(shù)列是,可知其為等差數(shù)列,不是等比數(shù)列,故②不正確;對于③,由上邊結(jié)論可知是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,所以有,故③正確;對于④,由③知,即,解得,且,故④正確;故答案是①③④.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的性質(zhì)以及對應(yīng)量的運算,解題的思想是觀察數(shù)列的通項公式,理解項與和的關(guān)系,認(rèn)真分析,仔細(xì)求解,從而求得結(jié)果.15、18【解析】
利用,化簡得到數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,利用,即可求解.【詳解】,即所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列即所以故答案為:【點睛】本題主要考查了與的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由三角函數(shù)的定義求出點的坐標(biāo),然后求向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點,由三角函數(shù)的定義有,得,,得,所以,所以故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用和已知點的坐標(biāo)求向量坐標(biāo),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)時,是偶函數(shù);時,是奇函數(shù);當(dāng)且時,為非奇非偶函數(shù),理由見解析【解析】
(1)根據(jù)反函數(shù)的定義,即可求出;
(2)利用分類討論的思想,若為偶函數(shù),求出的值,若為奇函數(shù),求出的值,問題得以解決.【詳解】解:(1)∵,
∴
,
,
∴調(diào)換的位置可得,.所以函數(shù)的反函數(shù)
(2)若為偶函數(shù),則對任意均成立,
,整理可得.不恒為0,,此時,滿足為偶函數(shù);
若為奇函數(shù),則對任意均成立,
,整理可得,,,,
此時,滿足條件;
當(dāng)且時,為非奇非偶函數(shù),
綜上所述,時,是偶函數(shù);時,是奇函數(shù);當(dāng)且時,為非奇非偶函數(shù).【點睛】本題主要考查了反函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性,利用了分類討論的思想,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ),,年銷售量更穩(wěn)定.【解析】
(Ⅰ)列舉出所有可能的情況,在其中找到至少一個月份兩年銷量相同的情況,根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果;(Ⅱ)根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式分別計算出兩年銷量的平均數(shù)與方差;由可得結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)從月至月中任選兩個月份,記為,所有可能的結(jié)果為:,,,,,,,,,,共種情況記事件為“至少有一個月份這兩年國產(chǎn)品牌銷量相同”,則有:,,,,,,,共種情況,即至少有一個月份這兩年國產(chǎn)品牌銷量相同的概率為(Ⅱ)年銷售數(shù)據(jù)平均數(shù)為:方差年銷售數(shù)據(jù)平均數(shù)為:方差年的銷售量更穩(wěn)定【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解、計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)、利用方差評估數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的問題;處理古典概型問題的關(guān)鍵是通過列舉的方式得到所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù),從而利用公式求得結(jié)果.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)先利用向量垂直的坐標(biāo)表示,得到,再利用正弦定理以及兩角和的正弦公式將,化為,進(jìn)而得到,由此能求出.(Ⅱ)將兩邊平方,推導(dǎo)出,當(dāng)且僅當(dāng),時取等號,由此求出面積的最大值.【詳解】解析:(Ⅰ)由得,則得,即由于,得,又A為內(nèi)角,因此.(Ⅱ)將兩邊平方,即所以,當(dāng)且僅當(dāng),時取等號.此時,其最大值為.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運算、兩角和的正弦公式應(yīng)用、三角形面積公式的應(yīng)用以及利用基本不等式求最值.20、(1)(2)①②證明見解析【解析】
(1)根據(jù)圓的一般式,可得圓心坐標(biāo),將圓心坐標(biāo)代入直線方程,結(jié)合圓心在軸上,即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)①根據(jù)切線性質(zhì)及切線長定理,表示出的長,根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)最小時,即可求得面積的最小值;②設(shè)出M點坐標(biāo),根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點共圓,可得圓心坐標(biāo)及半徑,進(jìn)而求得的方程,根據(jù)兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程,進(jìn)而求得過的定點坐標(biāo).【詳解】(1)由題意知,圓心在直線上,即,又因為圓心在軸上,所以,由以上兩式得:,,所以.故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①如圖,的圓心為,半徑,因為、是的兩條切線,所以,,故又因為,根據(jù)平面幾何知識,要使最小,只要最小即可.易知,當(dāng)點坐標(biāo)為時,.此時.②設(shè)點的坐標(biāo)為,因為,所以、、、四點共圓.其圓心為線段的中點,,設(shè)所在的圓為,所以的方程為:,化簡得:,因為是和的公共弦,所以,兩式相減得,故方程為:,當(dāng)時,,所以直線恒過定點.【點睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用,圓中三角形面積問題的應(yīng)用,直線過定點問題,綜合性強(qiáng),屬于難題.21、(1)
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