2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在平行四邊形中，,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．下圖是500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖，則這500名學(xué)生中測(cè)試成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90，100）中的學(xué)生人數(shù)是A．60 B．55 C．45 D．503．以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，則（）A．10 B．20 C．100 D．2005．已知函數(shù)f(x)=5sinωx-π3(ω>0)，若A．0,16 B．0,166．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)的單位長(zhǎng)度，再將所得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．7．化為弧度是A． B． C． D．8．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx?2lgyC．2lgx?lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx?2lgy9．集合A={x|-2<x<2}，B={x|-1<x<3}那么A∪B=()A．{x|-2<x<-1} B．{x|-1<x<2}C．{x|-2<x<1} D．{x|-2<x<3}10．如圖，某船在A處看見燈塔P在南偏東方向，后來船沿南偏東的方向航行30km后，到達(dá)B處，看見燈塔P在船的西偏北方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是：A．10kmB．20kmC．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某公司當(dāng)月購(gòu)進(jìn)、、三種產(chǎn)品，數(shù)量分別為、、，現(xiàn)用分層抽樣的方法從、、三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為的樣本，若樣本中型產(chǎn)品有件，則的值為_______．12．設(shè)數(shù)列滿足,,,，______.13．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的兩點(diǎn)，∠P1OP2＝θ(θ為鈍角)．若，則x1x2＋y1y2的值為_____．14．已知無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則其各項(xiàng)的和為__________．15．若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此圓柱的體積為.16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若將數(shù)列中的項(xiàng)從小到大按如下方式分組：第一組：，第二組：，第三組：，…，則2018位于第________組.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．（1）求b；（2）求∠A．18．如圖所示，已知的斜邊長(zhǎng)，現(xiàn)以斜邊橫在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)體．（1）當(dāng)時(shí)，求此旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）比較當(dāng)，時(shí)，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體表面積的大小．19．已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求;（2）若，求.20．已知圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為.（1）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處，求此時(shí)切線的方程；（2）求滿足的點(diǎn)的軌跡方程.21．在正方體中.（1）求證：；（2）是中點(diǎn)時(shí)，求直線與面所成角.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

先求,再求,即可求D坐標(biāo)【詳解】，∴，則D(6,1)故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2、D【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖可得測(cè)試成績(jī)落在中的頻率，從而可得結(jié)果.詳解：由頻率分布直方圖可得測(cè)試成績(jī)落在中的頻率為，所以測(cè)試成績(jī)落在中的人數(shù)為，，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.直觀圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率.3、D【解析】

四個(gè)交點(diǎn)中的任何一個(gè)到焦點(diǎn)的距離和都是，然后分析正六邊形中的長(zhǎng)度和焦距的關(guān)系，從而建立等式求解.【詳解】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)是，圓與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)是,設(shè)，，，，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型4、C【解析】

由題可得數(shù)列是以為首相，為公差的等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式證明數(shù)列是等差數(shù)列以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于一般題．5、B【解析】

由題得ωπ-π3<ωx-【詳解】因?yàn)棣?lt;x≤2π，ω>0，所以ωπ-π因?yàn)閒x在區(qū)間(π,2π]所以ωπ-π3≥kπ解得k+13≤ω<因?yàn)閗+1所以-4因?yàn)閗∈Z，所以k=-1或k=0．當(dāng)k=-1時(shí)，0<ω<16；當(dāng)k=0時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)問題和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.6、A【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換法則，即可得出結(jié)論?！驹斀狻繉⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)的單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再將所得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換法則，注意對(duì)的影響。7、D【解析】

由于，則.【詳解】因?yàn)?，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查角度制與弧度制的互化.8、D【解析】因?yàn)閍s+t=as?at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y為正實(shí)數(shù)），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx?2lgy，滿足上述兩個(gè)公式，故選D．9、D【解析】

根據(jù)并集定義計(jì)算．【詳解】由題意A∪B={x|-2<x<3}．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

在中，利用正弦定理求出得長(zhǎng)，即為這時(shí)船與燈塔的距離，即可得到答案．【詳解】由題意，可得，即，在中，利用正弦定理得，即這時(shí)船與燈塔的距離是，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握正弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

利用分層抽樣每層抽樣比和總體的抽樣比相等，列等式求出的值.【詳解】在分層抽樣中，每層抽樣比和總體的抽樣比相等，則有，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，解題時(shí)要充分利用各層抽樣比與總體抽樣比相等這一條件列等式求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、8073【解析】

對(duì)分奇偶討論求解即可【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故故答案為8073【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查分析推理能力，對(duì)分奇偶討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，是難題13、－【解析】

先利用平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算得到，再利用兩角和的正弦公式和平方關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)題意知，又P1，P2在單位圓上，，即x1x2＋y1y2＝cosθ；∵①又sin2θ＋cos2θ＝1②且θ為鈍角，聯(lián)立①②求得cosθ＝－.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義和坐標(biāo)運(yùn)算、兩角和的正弦公式，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本運(yùn)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

根據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式求出等比數(shù)列的各項(xiàng)和.【詳解】由題意可知，等比數(shù)列的各項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列各項(xiàng)和的求解，解題的關(guān)鍵就是利用無窮等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】試題分析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，底面積為S，體積為V，則有2πr=2?r=1π，故底面面積S=πr考點(diǎn)：圓柱的體積16、1【解析】

根據(jù)題意可分析第一組、第二組、第三組、…中的數(shù)的個(gè)數(shù)及最后的數(shù)，從中尋找規(guī)律使問題得到解決．【詳解】根據(jù)題意:第一組有2＝1×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為4；第二組有4＝2×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為12，即2×（2+4）；第三組有6＝2×3個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為24，即2×（2+4+6）；…∴第n組有2n個(gè)數(shù)，其中最后一個(gè)數(shù)為2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．∴當(dāng)n＝31時(shí)，第31組的最后一個(gè)數(shù)為2×31×1＝1984，∴當(dāng)n＝1時(shí)，第1組的最后一個(gè)數(shù)為2×1×33＝2112，∴2018位于第1組．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查觀察與分析問題的能力，考查歸納法的應(yīng)用，從有限項(xiàng)得到一般規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）∠A＝120°.【解析】

由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，進(jìn)而求出∠A的值．【詳解】（1）由正弦定理得＝可得，＝＝，所以b＝＝1．（2）由余弦定理得cosA＝＝＝，又因?yàn)椋浴螦＝120°．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)正弦定理求出b的值，是解題的關(guān)鍵．18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形狀，可利用兩個(gè)圓錐的體積和得到所求（2）分別計(jì)算兩個(gè)圓錐的側(cè)面積求和即可.【詳解】沿斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周即得到如圖所示的旋轉(zhuǎn)體．∵，，∴，，，∴．（2）當(dāng)，其表面積；當(dāng)，其表面積．通過計(jì)算知，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的形成，圓錐的體積、面積求法，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）對(duì)等式兩邊同時(shí)平方，利用平面向量數(shù)量積的定義以及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可以求出；（2）根據(jù)兩個(gè)非零向量互相垂直等價(jià)于它們的數(shù)量積為零，可以得到方程，解方程可以求出的值.【詳解】解：（1）由得，那么；解得或（舍去）∴；（2）由得，那么因此∴.【點(diǎn)睛】本題考查了求平面向量模的問題，考查了兩個(gè)非零平面向量互相垂直的性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算性質(zhì).20、（1）或；（2）.【解析】

解:把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴圓心為C（－1,2），半徑r＝2.（1）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿足條件．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為y－3＝k（x－1），即kx－y＋3－k＝0，則＝2，解得k＝.∴l(xiāng)的方程為y－3＝（x－1），即3x＋4y－15＝0.綜上，滿足條件的切線l的方程為或.（2）設(shè)P（x，y），則|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|.∴（x＋1）2＋（y－2）2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴點(diǎn)P的軌跡方程為.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；圓的切線方程；點(diǎn)的軌跡方程.21、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）連接，證明平面，進(jìn)而可得出；（2）連接、、，設(shè)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，設(shè)，則角和均為直線與平面所成的角，從而可得出，即可求出所求角.【詳解】（1）