重慶長(zhǎng)壽中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

重慶長(zhǎng)壽中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．18 B．13 C．9 D．72．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出以下四個(gè)結(jié)論：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1與平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．在正四棱柱，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為A． B． C． D．4．若關(guān)于x的不等式x-1-x-2≥A．0,1 B．-1,0 C．-∞,-1∪0,5．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線(xiàn)，則四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形6．在數(shù)列中，已知，，則該數(shù)列前2019項(xiàng)的和（）A．2019 B．2020 C．4038 D．40407．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．圖像的對(duì)稱(chēng)中心是B．在定義域內(nèi)是增函數(shù)C．是奇函數(shù)D．圖像的對(duì)稱(chēng)軸是8．如圖，兩個(gè)正方形和所在平面互相垂直，設(shè)、分別是和的中點(diǎn)，那么：①；②平面；③；④、異面.其中不正確的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④9．過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．10．設(shè)，為兩個(gè)平面，則能斷定∥的條件是（）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行 B．，平行于同一條直線(xiàn)C．，垂直于同一條直線(xiàn) D．，垂直于同一平面二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時(shí)21海里的速度航行，一個(gè)燈塔M原來(lái)在輪船的北偏東30°的方向，經(jīng)過(guò)40分鐘后，測(cè)得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來(lái)的距離是_____海里．12．已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么__________．13．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，且的面積是，___________.14．已知數(shù)列，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則正整數(shù)______；15．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則______16．觀(guān)察下列等式：（1）；（2）；（3）；（4），……請(qǐng)你根據(jù)給定等式的共同特征，并接著寫(xiě)出一個(gè)具有這個(gè)共同特征的等式（要求與已知等式不重復(fù)），這個(gè)等式可以是__________________.（答案不唯一）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知，且，向量，.（1）求函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為5，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展推動(dòng)著科技的進(jìn)步,正是基于線(xiàn)性代數(shù)、群論等數(shù)學(xué)知識(shí)的極化碼原理的應(yīng)用,華為的5G技術(shù)領(lǐng)先世界.目前某區(qū)域市場(chǎng)中5G智能終端產(chǎn)品的制造由H公司及G公司提供技術(shù)支持據(jù)市場(chǎng)調(diào)研預(yù)測(cè),5C商用初期,該區(qū)域市場(chǎng)中采用H公司與G公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品分別占比及假設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致,且隨著技術(shù)優(yōu)勢(shì)的體現(xiàn)每次技術(shù)更新后,上一周期采用G公司技術(shù)的產(chǎn)品中有20%轉(zhuǎn)而采用H公司技術(shù),采用H公司技術(shù)的僅有5%轉(zhuǎn)而采用G公司技術(shù)設(shè)第n次技術(shù)更新后,該區(qū)域市場(chǎng)中采用H公司與G公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比分別為及,不考慮其它因素的影響.(1)用表示,并求實(shí)數(shù)使是等比數(shù)列;(2)經(jīng)過(guò)若干次技術(shù)更新后該區(qū)域市場(chǎng)采用H公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比能否達(dá)到75%以上?若能,至少需要經(jīng)過(guò)幾次技術(shù)更新;若不能,說(shuō)明理由？(參考數(shù)據(jù):)19．如圖，已知四棱錐，側(cè)面是正三角形，底面為邊長(zhǎng)2的菱形，，.（1）設(shè)平面平面，求證：；（2）求多面體的體積；（3）求二面角的余弦值.20．從全校參加科技知識(shí)競(jìng)賽初賽的學(xué)生試卷中，抽取一個(gè)樣本，考察競(jìng)賽的成績(jī)分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高之比是，最后一組的頻數(shù)是6.請(qǐng)結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績(jī)?cè)诜值膶W(xué)生人數(shù)；（3）從樣本中成績(jī)?cè)?0.5分以上的同學(xué)中隨機(jī)地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.21．已知平面向量（1）若，求；（2）若，求與夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和列方程組，求出，．由此能求出．【詳解】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，解得，．．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列第7項(xiàng)的值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2、B【解析】

在①中，由，得到平面；在②中，由，得到平面；在③中，由，得到與平面相交但不垂直；在④中，由平面，得到平面平面，即可求解．【詳解】由正方體中，可得：在①中，因?yàn)?，平面，平面，∴平面，故①正確；在②中，∵，平面，平面，∴平面，故②錯(cuò)誤；在③中，∵，∴與平面相交但不垂直，故③錯(cuò)誤；在④中，∵平面，平面，∴平面平面，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3、A【解析】

作出兩異面直線(xiàn)所成的角，然后由余弦定理求解．【詳解】在正四棱柱中，則異面直線(xiàn)與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線(xiàn)所成的角，然后通過(guò)解三角形求之．4、D【解析】x-1-x-2=x-1-∵關(guān)于x的不等式x-1-∴a2+a-1>1，即解得a>1或∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞,-2∪5、C【解析】∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，與不平行，∴四邊形ABCD為梯形．6、A【解析】

根據(jù)條件判斷出為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到和之間的關(guān)系，得到答案.【詳解】為等差數(shù)列【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.7、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】．，由得，，的對(duì)稱(chēng)中心為，，故正確；．在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；．為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；．的圖象不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故錯(cuò)誤．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了整體思想，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬基礎(chǔ)題．8、D【解析】

取的中點(diǎn)，連接，，連接，，由線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)可判斷①；由三角形的中位線(xiàn)定理，以及線(xiàn)面平行的判定定理可判斷②③④．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，連接，，正方形和所在平面互相垂直，、分別是和的中點(diǎn)，可得，，平面，可得，故①正確；由為的中位線(xiàn)，可得，且平面，可得平面，故②③正確，④錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)和線(xiàn)面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

由已知直線(xiàn)方程求得直線(xiàn)的斜率，再根據(jù)兩直線(xiàn)垂直，得到所求直線(xiàn)的斜率，最后用點(diǎn)斜式寫(xiě)出所求直線(xiàn)的方程.【詳解】已知直線(xiàn)的斜率為：因?yàn)閮芍本€(xiàn)垂直所以所求直線(xiàn)的斜率為又所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)所以所求直線(xiàn)方程為：即：故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系及直線(xiàn)方程的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可得出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)，相交于直線(xiàn)時(shí)，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行，即A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，相交于直線(xiàn)時(shí)，存在直線(xiàn)滿(mǎn)足：既與平行又不在兩平面內(nèi)，該直線(xiàn)平行于，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)直線(xiàn)AB垂直于，平面，垂足分別為A,B，假設(shè)與不平行，設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)為C，則三角形ABC中，，顯然不可能成立，即假設(shè)不成立，故與平行，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，垂直于同一平面，與可能平行也可能相交，故D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判斷，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

畫(huà)出示意圖，利用正弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是能通過(guò)題意將航海問(wèn)題的示意圖畫(huà)出，然后選用正余弦定理去分析問(wèn)題.12、.【解析】分析：由，均為單位向量，它們的夾角為，求出數(shù)量積，先將平方，再開(kāi)平方即可的結(jié)果.詳解：∵，故答案為.點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.13、【解析】

利用同角三角函數(shù)計(jì)算出的值，利用三角形的面積公式和條件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.【詳解】，，，且的面積是，，，，，由余弦定理得，.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角形面積公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、9【解析】

分析數(shù)列的單調(diào)性，以及數(shù)列各項(xiàng)的取值正負(fù)，得到數(shù)列中的最大項(xiàng)，由此即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，又因?yàn)樵谏线f增，在也是遞增的，所以，又因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)都有，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)判斷，難度一般.處理數(shù)列單調(diào)性或者最值的問(wèn)題時(shí)，可以采取函數(shù)的思想來(lái)解決問(wèn)題，但是要注意到數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的定義域?yàn)?15、-1【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，再代入的展開(kāi)式進(jìn)行求值.【詳解】角終邊過(guò)點(diǎn)，終邊在第三象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義知：，【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義及三角恒等變換，在變換過(guò)程中要注意符號(hào)的正負(fù).16、【解析】

觀(guān)察式子特點(diǎn)可知，分子上兩余弦的角的和是，分母上兩個(gè)正弦的角的和是，據(jù)此規(guī)律即可寫(xiě)出式子【詳解】觀(guān)察式子規(guī)律可總結(jié)出一般規(guī)律：，可賦值，得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理能力，能找出余角關(guān)系和補(bǔ)角關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），單調(diào)增區(qū)間為；（2）或；（3）.【解析】試題分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)，解不等式求得的范圍即得增區(qū)間（2）討論a的正負(fù)，確定最大值，求a；（3）化簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式，轉(zhuǎn)化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.試題解析：（1）∵∴∴單調(diào)增區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，若，，∴若，，∴∴綜上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范圍.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，恒成立問(wèn)題的處理及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng).18、（1），；（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)題意經(jīng)過(guò)次技術(shù)更新后，通過(guò)整理得到，構(gòu)造是等比數(shù)列，求出，得證；(2)由（1）可求出通項(xiàng)，令，通過(guò)相關(guān)計(jì)算即可求出n的最小值，從而得到答案.【詳解】（1）由題意，可設(shè)5商用初期，該區(qū)域市場(chǎng)中采用H公司與G公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品的占比分別為.易知經(jīng)過(guò)次技術(shù)更新后，則，①由①式，可設(shè)，對(duì)比①式可知.又.從而當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，所以經(jīng)過(guò)次技術(shù)更形后，該區(qū)域市場(chǎng)采用H公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比.由題意，令，得.故，即至少經(jīng)過(guò)6次技術(shù)更新，該區(qū)域市場(chǎng)采用H公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比能達(dá)到75%以上.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列與不等式的相關(guān)計(jì)算，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的閱讀理解能力，轉(zhuǎn)化能力，分析能力，計(jì)算能力，難度較大.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】

（1）由，證得平面，再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)，即可得到；（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，推得，，得到平面，再由多面體的體積，結(jié)合體積公式，即可求解；（3）由，設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)，推得，從而得到就是二面角的平面角，由此可求得二面角的余弦值.【詳解】證明：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面，平面平面，所以；?）取中點(diǎn)，連結(jié)，由得，同理，又因?yàn)?，所以平面，在中，，所以，所以多面體的體積；（3）由題意知，底面為邊長(zhǎng)2的菱形，，所以，又，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)，由側(cè)面是正三角形知，，所以，因此就是二面角的平面角，在中，，，由余弦定理得，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面位置關(guān)系的判定，多面體的體積的計(jì)算，以及二面角的求解，其中解答中熟記線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，以及而面積的平面角的定義，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.20、（1）48；（2）30；（3）【解析】

（1）設(shè)樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據(jù)比例列式求解即可；（3）根據(jù)比例得成績(jī)?cè)?0.5分以上的同學(xué)有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個(gè)數(shù)，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式可得結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)樣本容量為，則，解得，所以樣本的容量是48；（2）樣本