數(shù)學(xué)-廣東省四校聯(lián)考2024屆高三年級(jí)上冊(cè)10月月考試題和答案(一)

2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期四校聯(lián)考（二）

數(shù)學(xué)試卷

說明：本試卷共4頁，22道題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位

號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡

上的非答題區(qū)域均無效。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知全集0=&,集合/={x|Q,%2},S={x|x2-x>0},則圖中的陰影部分表示的集合為

A.{x|1或x>2}B.{x\x<0或1<x<2}

Cx<2}D.{短<匕2}

2.在等差數(shù)列{〃〃}中，若。8=6,。11=0,則〃2=()

A.16B.18C.20D.22

./、2yJ~5TC

3.已知sm(?+a)=-^—,則sin(—+2a)的值為()

?2

14

4.設(shè)S“為正項(xiàng)等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和.若Szg=2023,貝I］一+—的最小值為（）

“442020

59

A.-B.5C.9D.-

22

5.命題“V1&W2,N—為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.B.。三5C.“W4D.QW5

試卷第1頁，共6頁

1

6.己知函數(shù)/(x)滿足礦(x)lnx+/(x)>0(其中/(X)是/(x)的導(dǎo)數(shù))，若。=八")，6=/(e),

c=/(e2),則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.4c<2b<aB.2b<4c<aC.a<2b<4cD.a<4c<2b

7.若函數(shù)/(x)=/+3x+l+h?，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A.(—2,0]B.(e2,+oo)C.[0,e2)u{--}D.(-co,--)u{0}

eee

8.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)4B兩點(diǎn)滿足：①點(diǎn)A,B都在函數(shù)/(x)的圖象上；②點(diǎn)4B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，則稱點(diǎn)(48)是函數(shù)/(X)的一個(gè)"姊妹點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)(48)與(3,/)可看作是同一個(gè)"姊妹點(diǎn)

\ax-l(x,0)、一

對(duì)〃.已知函數(shù)/(%)=1/八、恰有兩個(gè)〃姊妹點(diǎn)對(duì)〃，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

[lnx(x>0)

A.0<a,,e~2B,0<a<e~2C.0<a<e~xD.0<a,,e~1

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題為真命題的是()

A.若。</?,則/〈Z/B.若一<一<0,則a--->b——

abab

C.若關(guān)于x的不等式辦2+法+2〉0的解集為{x|—?jiǎng)ta+6=—10

D.函數(shù)7(x)=l0gl(-/+4%+5)在區(qū)間(3?7-2,加+2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

2

[1,3]

10.在數(shù)列也J中，q=1,且對(duì)任意不小于2的正整數(shù)"，。1+:。2+-+匕。,7=%恒成立，則

下列結(jié)論正確的是()

*+〃+2

A.an=n(nEN*)B.al0-5C.a『a4,4成等比數(shù)列D.a1+a2+...+an=--------

11.下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是()

試卷第2頁，共6頁

A."九1"是"關(guān)于x的方程mx2+2x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解"的必要不充分條件

B.命題汩xeR,使得/+x+l<0"的否定是："對(duì)VxeR,均有f+x+l…0”

C.若x>0,則函數(shù)了=6+2+/。的最小值是2

V%2+2

D.若函數(shù)f(x)-x3+3ax2++/在x=-1有極值0,則。=2,6=9或a=1,b-3.

12.已知X],%分別是函數(shù)/@)=6'+》-2和g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)，貝ij()

x

A.占+%2=2B.e'+Inx2=2C.x1x2>——D.x；+x；<3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.數(shù)列｛4｝中，q=2,an+l=2an,〃eN*.若其前k項(xiàng)和為126,則左=.

cos——,0<%,2

14.已知函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽,滿足〃x+2尸-/(x),當(dāng)-2<~2時(shí)〃x)=；，則

|x+-|,-2<x?0

/(/(-5))=.

15.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x,yeR者B有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),

f(x)>0,f(k-2x)+f(4x+1-8x-2x)>0對(duì)任意xe[-1,2]恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

2

16.函數(shù)/(x)=/-axlnx在(一,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

e

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題10分)

已知曲線y=/(x)=$32+6X+1在點(diǎn)(0,/(0))處的切線的斜率為3,且當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)

/(x)取得極值.

(1)求函數(shù)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；

試卷第3頁，共6頁

(3)若存在xe[0,3],使得不等式/(x)—加(0成立，求m的取值范圍.

18.(本小題12分)

己知角〃的終邊上一點(diǎn)且sinO=-g

C0S(6——)-C0S(-6-7T)

(1)求tan。的值；(2)求2的值.

sin(〃-6)+cos(6+7i)

(3)若9￡(一工,o],a0,->1,且sin(a+6)=,求cosa的值.

12；I2；10

19.(本小題12分)

已知數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和為S"，且S”=〃2,數(shù)列也｝的前n項(xiàng)積為7；,且看=(百)/+"

⑴求｛%｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列也也｝的前。項(xiàng)和

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/(x)=(f—2x)e%e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,加]上的最大值和最小值.

試卷第4頁，共6頁

21.(本小題12分)

廣東某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地。PQ,經(jīng)測(cè)量其半徑為60m,圓心角為一.學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上

3

修建一所矩形室內(nèi)籃球場(chǎng)ABCD,初步設(shè)計(jì)方案1如圖1所示.

(1)取PQ弧的中點(diǎn)E,連接OE,設(shè)ZBOE=a，試

用。表示方案1中矩形ABCO的面積，并求其最大

值；

(2)你有沒有更好的設(shè)計(jì)方案2來獲得更大的籃球

場(chǎng)面積?若有，在圖2中畫出來，并證明你的結(jié)論.

22.(本小題12分)

已知函數(shù)/(x)=x-alnx(aeR).

(1)當(dāng)a<e時(shí)，討論函數(shù)/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/■(力2"。瓦-北恒成立，求。的取值范圍.

試卷第5頁，共6頁

試卷第6頁，共6頁

2023?2024學(xué)年第一學(xué)期四校聯(lián)考(二)參考答案

題號(hào)123456789101112

答案ABDDBCCBBCBCDBCDABD

V24

13.614.15.k>\16.(2,---------).

2ln2+l

部分試題答案詳解

7.【答案】C

【解答】解：由題意知Y+3x+l+加、=0有兩個(gè)不同的解，即y=-[與y=左有

e

兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記g.L—x—l,貝I]g，(x)=x2+：2=(x+2),xl),

eee

當(dāng)x<-2時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)—2<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)g(x)有極大值e2,當(dāng)尤=1時(shí)，函

數(shù)g(x)有極小值-2.

e

又因?yàn)橛?—00時(shí)，g(x)<0;xf+8時(shí)，g(x)<0,且

g(x)To,

如下圖：

數(shù)形結(jié)合可知ke[0,e2)L7{--}時(shí)，函數(shù)/(x)恰有兩個(gè)零

e

點(diǎn).

8.【答案】B

67X-1(X^O)

【解答】解:由題意知函數(shù)/(%)=<恰有兩個(gè)"姊妹點(diǎn)對(duì)〃,

lnx(x>0)

等價(jià)于函數(shù)/(x)=Inx,x>0與函數(shù)g(x)=〃x+l,的圖象恰好有兩個(gè)交點(diǎn),

所以方程Inx=QX+1,即lnx—Qx—1=0在(0,+8)上有兩個(gè)不同的解.

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx-ax-1,則/(x)=L—〃，

當(dāng)。(0時(shí)，h\x)>0,函數(shù)力0)區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令〃(x)>0,解得0<x<L,所以函數(shù)人(X)在區(qū)間(0,工)上單調(diào)遞增,

aa

第1頁共9頁

令"(X)<0,解得X>L,所以函數(shù)儀X)在區(qū)間(工,+8)上單調(diào)遞減,

aa

所以〃(1)>0,解得0<a<e-2,

a

又h(e)-\^e-ae-\--ae<0,

所以函數(shù)以X)在(e,-)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

a

_.112-A/Y

令M(x)=lnx-?-l,則"(x)=-----廣=------,

x2Vx2x

令解得0<x<4,

所以函數(shù)/(x)在(0,4)上單調(diào)遞增,

令/，(x)<0,解得x>4,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(4,+oo)上單調(diào)遞減.

所以M(x)111ax=M(4)=In4—3<0,

所以M(x)=Inx-五一1WM(4)<0,即Inx(6+1.

又h(4)=ln^--tzx-^--l<+l-ax3—1=.^-(1-^2)<0，

aa~a\aa\a

17

所以函數(shù)h(x)在(--)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

aa

綜上可得0<a<2.

12.【答案】ABD

【解答】解：函數(shù)/(x)=e*+x-2的零點(diǎn)為石，

函數(shù)g(x)=Inx+x-2的零點(diǎn)為馬,

可得ef=2-X],Inx2=2-x2,

由了=/與其反函數(shù)y=Inx關(guān)于直線了=x對(duì)稱,

y=/與直線y=2-x的交點(diǎn)為(西,2-占)，

y=lnx與直線y=2-x的交點(diǎn)為(%2,2-％)，

可得占=2-即苞+工2=2,故A正確；

直線了=2-x與直線V=x垂直，則點(diǎn)(再,/)和GJn%)也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則有

第2頁共9頁

Xj=lnx2,則有e*+lnX2=e*+再=2,故B正確;

又g⑴=lnl+l—2=—1<0,

j_iL3

g(4e)=]n4e+^e-2=e1+--2>2.25^--=Q,

3

所以5<、2〈五，貝!1再%2=%2(2—X2)=X21n%2，

因?yàn)閥=x\nx,

y=1+Inx>0,

所以了=xlnx在上單調(diào)遞增,

所以xtx2=x2Inx2<VeInVe=，故C錯(cuò)誤；

33

由上可知xrx2=x2Inx2>—In—,

因?yàn)槿?ln±3——1=1m2a7z-1Jn衛(wèi)〉0,

2222828e

3311

所以]In萬〉萬，即xxx2>—,貝!jx：+x[=(/+/『-2X1X2=4-2x1x2<3,

所以x；+x；<3,故D正確.

15.【答案】解：(1)令x=y=O,得/(0+0)=/(0)+/(0),所以/(o)=o.

證明：令》=一》，#f(x-x)=/(x)+/(-x)=/(0)=0,

所以/(-%)=-/(X),所以/(X)為奇函數(shù).

由題知：f(k-2X)+/(4X+1-8T-2X)>0=/(O),

即f(k-T+4"i-8"-2X)>/(O),

又了=/(x)是定義在R上的增函數(shù)，

所以h2*+4-T+1-8Y-2x>0對(duì)任意xe[-1,2]恒成立,

所以h2￡〉2'+8'—4>1，

即左〉1+22-22，

令2』，令［；,用,

貝Ug(/)=〃—4/+1,所以左〉g(/)max，

第3頁共9頁

當(dāng)，=4時(shí)，g(Omax=g(4)=16-16+1=1,

所以%>1.

16.【解答】解：/'(x)=2x—a(lnx+l),

2

若函數(shù)/(x)=/-axlnx在(一,2)上不單調(diào)，

e

2

則方程/'(x)=0在(一,2)上有根

e

2x2

即方程〃=-——-在(-,2)上有根且方程的根是函數(shù)/'(X)的變號(hào)零點(diǎn),

lnx+1e

2x，/、21nx

令，貝"

工￡(一/)時(shí),g\x)<0,g(x)遞減，X￡(l,2)時(shí)，gf(x)>0,g(x)遞增,

e

又g⑴=2,g(-)=,g(2)=-:,由g(2)-g(-)=

eem2m2+1em2+1

4

得g(x)￡(2),

ln2+l

4

故ae(2,：、

ln2+l

故答案為：(2,-^-).

In2+1

/(0)=6=3,

17.【答案】解：⑴/(》)=--2辦+6,結(jié)合題意可得i分

/(3)=-6a+b+9=0,

(4=2

解得八2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，........................3分

[6=3

故f(x)=^x3-2x2+3x+l.

所以在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為>=3x+l...............................................4分

(2)由(1)知廣(x)=/-4x+3.

令/X%)〉。，解得x>3或x<l,令r(%)<0,解得l<x<3,

故/(%)在(3,+8)上單調(diào)遞增，在［1,3］上單調(diào)遞減，..................6分

7

所以“X)極大值="1)=；，極小值=/⑶=1；..................7分

(3)/(%)在［0,3］上有極大值，無極小值，

又因?yàn)?0)=1,"3)=1,.

所以要使不等式/(%)一加W0能成立，則/(X%(加..............8分

第4頁共9頁

所以加21.............................................9分

故m取值取值范圍是是[1,+8).............................................10分

18.【答案】解：⑴角6的終邊上一點(diǎn)p(l,田且sing一巨得

2

所以9為第四象限角，則y<0,.........................................1分

所以由sin。=―；兇>y=-A/3.........................................3分

所以tan0=-3..........................................4分

(2)因?yàn)閠an9=一3，

冗

COS(6)—COS(-0—71).IA

所以n

2Lsine+cosJ........................................6分

sin(yr-6)+cos(6+?)sincos0

=tan0+l=^3±l=2_^.

.........................................8分

tan0-1-\3-l

(3)因?yàn)?,0),ocGf0,—j,且si

[a+ff)=得

10

a+0€(0,^-),所以cos(a+6)=Jl-sin2(a+e)=31,...........................10分

210

.....................11分

所以cosa=cos[(a+e)-8]=cos(a+60cos6+sin(a+e)sin。

3V101癡，6、

=------?—+------?(--)

102102

_3A/T0-V30

20

..............................................................12分

19.【答案】解：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，%=岳=1;............................................................................1分

當(dāng)時(shí)，%=5“一S“|=〃2一("-1)2=2〃-1,..................................................................2分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)”=1時(shí)，滿足％=2〃-1,因此％=2〃一1........................................3分

當(dāng)〃=1時(shí)，4=7]=3;......................................4分

T(6廣廠

當(dāng)磋2時(shí)，%=六='J=(百產(chǎn)=3",.......................................5分

當(dāng)〃=1時(shí)，滿足bn=3"，因此6〃=3〃........................................6分

第5頁共9頁

⑵由⑴知%，=(2〃-1)x3",

M,=1x3+3x3?+5x3'+…+(2〃-1)x3",.................7分

3M“=1x3?+3x3?+5x3"+…+(2〃-3)x3"+(2〃-l)x3"M,.................8分

兩式相減得

234,,+1

-2Mit=3+2x(3+3+3+---+3")-(2H-1)X3..................9分

Q_4〃+1

=3+2x———(2M-1)X3,,+1..................10分

1—3

=-6-(2〃-2)x3"+1.................11分

故％=3+(〃-l)x3向.............................12分

20.【答案】解：⑴/(X)=(X2-2X>\

求導(dǎo)得/'(x)="(x2—2)...........................1分

因?yàn)?〉0,令/'(x)=e%x2—2)〉0,即――2〉0，

解得x<—0或x>也，

令八x)=，(Y—2)<0,即――2<0，

解得—0<x<0，..........................4分

函數(shù)/(X)在(-叫-夜)和(0,+QO)上單調(diào)遞增，在(-8,行)上單調(diào)遞減......5分

(2)①當(dāng)0〈加時(shí)，

/(x)在［-V2,V2］上單調(diào)遞減，

/(x)在區(qū)間［0,m］上的最大值為/(0)=0,

m

/(x)在區(qū)間［0,加］上的最小值為/(加)=(加2-2m)e.........................7分

②當(dāng)行</聯(lián)2時(shí)，

V/(x)在［-V2,V2］上單調(diào)遞減，在［近,+oo)上單調(diào)遞增，

且/(0)=/(2)=0,

/(x)在區(qū)間［0,m］上的最大值為/(0)=0,

/(x)在區(qū)間［0,m］上的最小值為/(V2)=(2-2也)步................9分

第6頁共9頁

③當(dāng)加>2時(shí)，

V/（x）在［-V2,V2］上單調(diào)遞減，在［V2,+oo）上單調(diào)遞增,

且/（加）〉0=/（0）,

.'./（X）在區(qū)間［0,加］上的最大值為f（jn）=-2ni）em,

/（x）在區(qū)間［0,加］上的最小值為/（、歷）=（2—20）e/....................................11分

綜上所述，當(dāng)0〈加WJ5時(shí)，最大值為/（0）=0，最小值為/（加）=（加2—2加）e"'.

當(dāng)、回（加〈2時(shí)，最大值為/（0）=0,最小值為/（、回）=（2—2j5）e行.

當(dāng)加>2時(shí)，最大值為/（加）=（加2—2加）e"‘，最小值為/（、匯）=（2—2j5）e3.…12分

21.【答案】解：⑴如圖所示，

取PQ弧的中點(diǎn)E,連接OE,

設(shè)。E交AO于M,交BC于N,顯然矩形ABC。關(guān)于

OE對(duì)稱，而分別為AD,BC的中點(diǎn).設(shè)

71

ZBOE=a,0<a<—,在RtACW中，

6

BN=60sina,ON=60cos6z1分

OM=^-=4i>DM=V3C2V=60V3sinaCCH,「.

.n，所以A/2V=ON-OM=60cosa-60丁3sina，

tan—

6

BPAB=60cosa-60A/3sina，ffi]BC=2BN=120sina*..................................2分

故矩形八BCD的面積S=AB?BC=3600(cosa-V^sina)-2sina.................................3分

=3600(2sinacosa-2Gsin2a)=3600[sin-V3(1-cos2a)]

二3600(sin2a+Gcos2a--Ji)=7200sin(2a+yj-3600百,.................................5分

jrjT

因?yàn)?<a<—,所以0<2a<一,

63

r-Lr、t兀-7127r八

所以................6分

故當(dāng)2aH—=—,即a=—時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S=3600(2—JJ),

3212

所以矩形ZBCO面積的最大值為3600(2-我療；.................7分

第7頁共9頁

(2)如圖所示，在半徑OP上截取線段AB為矩形的一邊，作

得矩形ABCD.

7T

設(shè)ZBOC=/0<。<—,可得CB=60sin0,OB=60cos6,

3

則CM=C8tan工=20Gsin。，................8分

6

所以S=(08—CM)xC5=(60cosd-x206sin6)x60sin0

=3600(sin6cos0———sin20)=\800(sin2。+-^-cos20)-600、

40073，V3._12006

=--------(——sin29+—cos29)------------

3223

=120073sin(2,+-)-600>/3,..................................10分

6

.?_八TCIT_八TC57c

因t為o<e<—,可行—<2。H—<—,

3666

TTTCTC—

所以當(dāng)2。+：=7時(shí)，即9=：時(shí)，S有最大值為60(x/J.

626

即教室面積的最大值為600后?.....................