江西省吉安市2023屆高三年級上冊11月期中考試數學（理）試卷(含答案)

江西省吉安市第一中學2023屆高三上學期11月期中考試數學(理)

試卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.設集合4={—1』,2},5={刀|0<]?2},則AB=()

A.{-1,1,2}B.{1}C.{2}D.{1,2}

2.某學校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學,

每名同學依據自己的興趣愛好最多可參加其中一個,各個社團的人數比例的餅狀圖如圖

所示,其中參加朗誦社團的同學有8名,參加太極拳社團的有12名，則()

A.這五個社團的總人數為100

B.脫口秀社團的人數占五個社團總人數的20%

C.這五個社團總人數占該校學生人數的8%

D.從這五個社團中任選一人，其來脫口秀社團或舞蹈社團的概率為50%

3.在等差數列{4}中,5“為其前〃項和.若52023=2023,且品絲-&=2001,則%等于()

202r12r

A.-2021B.-2020C.-2019D.-2018

4.若二項式―2]的展開式中僅第5項是二項式系數最大的項，則自然數〃的值為

()

A.6B.8C.9D.11

5.已知/0)=2好一以+lnx在區(qū)間(L+oo)上單調遞增,則實數。的取值范圍是()

A.(-oo,4)B.(-oo,4]C.(-oo,5)D.(-oo,5]

6.若。e（0,兀）,tan2a=一包1—，貝Ijsin|e+:]=（）

cos?+2

A6+岳BS岳C-石口―亞

*888-8

7.已知x,y，zeR,且a=x2+2y+2,b=y2+2z，c=z2+2x+l，貝11。，仇。三個數（）

A.至少有一個不小于0B.都小于0

C.至少有一個不大于0D.都大于0

8.若用紅、黃、藍、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點的兩個格子顏色不同,

則不同的涂色方案數有

A.48種B.72種C.96種D.216種

10.若隨機變量J~N（3,2019?卜且尸但＜1）=2a）.已知R為拋物線y2=4x的焦

點,。為原點，點P是拋物線準線上一動點，若點A在拋物線上，且|AE|=a，則|PA\+\PO\

的最小值為（）

A.亞B，713C.2百D.2V13

11.函數/（》）=25足（2%+放）"。|＜、］的圖像向左平移［個單位長度后對應的函數是奇

函數，函數g（x）=（2+百）cos2x.若關于％的方程f（x）+g（x）=-2在［0,兀）內有兩個不同

的解a,夕則cos（（z-/7）的值為（）

A_立B正C一拽D.也

5555

12.已知a—2=ln@,b—3=lnLc_3=ln￡淇中。,仇。€（0,1）,則（）

232

，c<b<aB.c<a<b^a<b<c^a<c<b

二,填空題

13.某人有3種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點

A,民C4,用,G上各裝一個燈泡,要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則不同的安裝方法

14.已知平面向量q，8，c，d滿足0,。，|4|=|切=：1皿+0|=1，若（2沙+2）（"-〃）2；,則

|c+d|的取值范圍是.

15.如圖，已知梯形ABCD中,||=21CD|,點E在線段AC上且人石=彳石。，雙曲線過

C,D,E三點，且以A,3為焦點.當2VXV。時,雙曲線離心率e的取值范圍是.

34

16.如圖,正方體ABCD-A4GR的棱長為11為A4］的中點"在側面上，若

DXM±CP，則AM"面積的最小值為.

三、解答題

17.記△A3。的內角A,B,C的對邊分別為a,瓦c,已知A=',sin5=±&sinC.

44

(1)求從一片的值;

C1

(2)若△ABC的外接圓半徑為加,求△ABC的面積.

18.如圖，四棱錐尸—ABCD中，底面A3。。為矩形,B4_L平面AB。,點石在線段如上.

⑴若E為PD的中點，證明：H〃平面AEC;

⑵若申=2，?！?gt;=245=4，若二面角E-AC-5的大小為空，試求PE:田的值.

6

19.2022年冬季奧林匹克運動會主辦城市是北京，北京成為第一個舉辦過夏季奧林匹克

運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市！為迎接冬奧會的

到來，某地很多中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學生在“自由式滑雪”

和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數

據：

(1)“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數都超過30人的學?？梢宰鳛椤皡⑴c冬奧運

動積極學?！?，現(xiàn)在從這10所學校中隨機選出3所，記X為選出“參與冬奧運動積極學校”

的學校個數，求X的分布列和數學期望；

(2)現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、跳躍、停止”這4個動作技巧進行集

訓,且在集訓中進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這4個動作中至少有3個動作達

到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在集訓測試中，小明同學“滑行”這個動作達到“優(yōu)秀”的

概率均為2,其余每個動作達至I」“優(yōu)秀”的概率都為L每個動作互不影響且每輪測試互不

33

影響.如果小明同學在集訓測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數的平均值達到5次，那么理論上

至少要進行多少輪測試？

22

20.已知橢圓0：二+匕=i(〃＞人〉0)的一個焦點與短軸的一個端點連線的傾斜角為

a2b2

30。,直線y=1■與橢圓C相交于P和。兩點，且|PQ|=26,。為坐標原點.

⑴求橢圓C的方程；

(2)直線/與橢圓C交于A乃兩點，直線。4的斜率為匕，直線的斜率為G，且堆2=-5

求。的取值范圍.

21.已知函數/(x)=x]nx+(a-l)x(aGR).

(1)當〃=1時,求曲線y=/(%)在％=1處的切線方程；

(2)求函數/(x)在區(qū)間上的最小值；

e

(3)若關于的方程/(%)=2/一3/在區(qū)間1,2內有兩個不相等的實數根,求實數。的

取值范圍.

22.已知曲線G的參數方程為F=4+5cost(/為參數)，以坐標原點為極點,工軸的正

[y=5+5sin/

半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為0=2sin6>.

(1)把G的參數方程化為極坐標方程；

(2)求G與。2交點的極坐標(P》。，04。<2兀)?

23.已知函數/(x)=|x+l|+2|x—3].

(1)求不等式/(%)<11的解集；

⑵若a>02>0,且a+b=V淇中”是/(x)的最小值，求工+士的最小值.

ab

參考答案

1.答案：D

解析：因為A={—l,l,2},B={x|0<x<2},所以A3={1,2},

故選：D

2.答案：B

解析：這五個社團的總人數為±=80,到-=4%.A錯誤,C錯誤.

10%2000

因為太極拳社團人數的占比為Uxio%=15%,所以脫口秀社團人數的占比為

8

1-10%-15%-30%-25%=20%3正確.從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團

或舞蹈社團的概率為25%+20%=45%，D錯誤.

故選：B.

3.答案：A

解析：因為S,為等差數列{4}的前n項和，令々=,

則也}也為等差數列，設其公差為d',

由"o，i—女。==一壇=2001,得d'=l，

202120202120

CC

又b2023==1,得4=Q=:=d023—2022/=1-2022=-2021.

故選：A.

4.答案：B

解析：—2］的展開式中第5項的二項式系數為C：,要使C：最大，由二項式系數的單

調性可知當〃=8時,C：最大，故”=8，

故選：B.

5.答案：D

解析：因為f(x)=2x2-ax+Inx,所以/(x)=4x-a+工=———ax+^,

因為f(x)=2/—+在區(qū)間(1,+co)上單調遞增，所以f(X)>0在(1,+8)上恒成立，

即4x2-ox+120在(L+00)上怛成立，所以4x+工>a，令g(x)=4x+—,

XX

則/(%)=4一3，當%￡(1,+8)時g'(%)>0,所以g(x)在(L+oo)上單調遞增,

X

又因為,§(1)=4x1+^=5g(x)>g(l)，所以5NQ,

故選：D.

6.答案：D

解析：由題，

sin2。2sin。cos。sino

tan2a=--------=---------------=-----------

cos2a2cosa-1cosa+2

2cos。_1

2cos20—lcosa+2

1

，cos。=——

4

又，aG(0,7i)

.(5兀\.5兀.5兀岳(G)(1—1—3行

sinaH-sinacoscosasin——+———-----------.

(6)664(2)14)28

故選：D.

7.答案：A

:a+b+c=x2+2y+2+y~+2z+z2+2x+1=x?+2x+y~+2y+z-+2z+1+2

=(x+l)2+(y+l)2+(z+l)2>0

所以a+b+cNO,則a,b,c三個數至少有一?個不小于0

故選：A.

8.答案：C

解析：分析：直接按照乘法分步原理解答.

詳解：

按照以下順序涂色，

A:C；-?3:C；:C；fC:C；-?E:C；./：C；,

所以由乘法分步原理得總的方案數為C；-C；.C；=96種.

所以總的方案數為96,

故答案為：C.

9.答案：B

解析：函數的定義域為｛x|XHO｝,

因為/(_)=3^=_"2?=_/(均，

-XX

所以/(X)=皿竺為奇函數,其圖象關于原點對稱，所以排除AC,

X

當尤>0時，當尤—0時,10cos%—10,——>+8,

x

所以"2f+oo,所以排除D,

X

故選：B.

10.答案：D

解析：隨機變量。~N(3,2019?｝且P轉<1)=>?),

???1和。關于％=3對稱，

二，a=5即|AF|=5,

設A為第一象限中的點,A(x,y),

拋物線方程為：y2=4X,F(1,0),

???AF|=x+1=5，解得了=4即A(4,4),

.?.4(4,4)關于準線尤=—1的對稱點為4(-6,4),

根據對稱性可得：|24|=|如］

.'.IPA\+\PO\=\PA\+\PO>|Ao\=7(-6)2+42=A/52=2713

當且僅當％,P,O三點共線時等號成立.如圖

11.答案：D

解析：函數/(x)=2sin(2x+“S|〈卯勺圖像向左平移專個單位長度后，

可得y=2sin12x+1+”的圖象.

由條件y=2sin^2x+-1-+^^為奇函數，貝！J('+0=E,左eZ,即0=

又|。|<1,所以“=—三,即/(x)=2sin"x—

關于x的方程/(x)+g(x)=-2在［0,兀)內有兩個不同的解a,/3,

即2sin［2x-1〔+(2+6)COS2X=-2在［0,兀)內有兩個不同的解a邛,

即sin2x+2cos2x=-2在［0,兀)內有兩個不同的解a,/3,

即^^sin(2x+6)=-1淇中(cos。=避~，sin6=，。為銳角)

255

在［0,兀)內有兩個不同的解a，

即方程即sin(2x+，)=-孚在［。,兀)內有兩個不同的解a，B,

由尤w［0,7i)，則2%+8e［仇2兀+8),

所以sin(2a+6)=—孚，sin(2〃+，)=—普

所以sin8=-sin(2a+e)=-sin(2/?+e)

貝|J2a+e=7i+22/+e=2兀一e,即2a—2/?=—兀+2夕，

所以。一/=+,cos(a-/7)=cos^-^=sin^=-

故選：D

12.答案：A

解析：構造函數/(x)=x-lnx(x>0),

則/'(x)=l—工=3,

XX

當x>l時"'(x)〉0,當0<%<1時,/'(x)<0,

故"X)在O<X<1上單調遞減，在x>l上單調遞增，

由a-2=In可得a—2=Ina—In2,即a—Inq=2—In2,

2

即/(a)=/⑵，

由人一3=In—,可得〃-3=lnb—ln3，即Z?—lnZ?=3—ln3，

3

即W)"(3),

因為3>2"(x)在％>1上單調遞增，

所以/(3)>/(2),故/3)>/(a),

因為/(x)在0<%<1上單調遞減,a,Z?e(O,l)，故Z?<a，

因為c-3=ln￡=lnc-ln2>lnc-ln3,

2

故c—lnc>3—ln3,即/(c)>/(3),

因為/S)=〃3),所以/(c)>/(b),

因為在O<X<1上單調遞減，仇ce(O,l)，故C<ZJ,

從而c<b<a-

故選：A

13.答案：12

解析：先安排下底面三個頂點共有A；=6種不同的安排方法,

再安排上底面的三個頂點共有C；=2種不同的安排方法，

由分步計數原理可知：共有6x2=12種不同的安排方法，

故答案為：12.

14.答案：］姮—2,姮+2

22

解析：由已知|a\=\b\=l^\b-^-c\=l^a±b，設4二《，”)

不妨設〃=(1,0),/?=(0,1)"=(%,y),

Ic-(-Z?)|=］可得%；+(%+1)2=］

又因為(2b+d){a-6?)>—(x,2+^)-(1-x,-y)=-x2+x-y2-2y>—

44

所以x?-x+y?+2y<即(x—+(y+1)2<1

所以ic+di=id-(-。)i，易知,-c終點在以a(。4)為圓心，彳=i為半徑的圓上.

d終點在以為圓心,々=1為半徑的圓上.

卜+4=卜-卜”的取值范圍為“與終點距離的取值范圍

故答案為：［姮—2,姮+2.

22

15.答案：訪］

解析：以A3所在直線為x軸、線段A3的中點為原點建立平面直角坐標系，如下所示:

22

設過點CD4三點的雙曲線方程為：二一當=1(?！祇力〉0)，

ab2

根據題意可得：A(-c,0),B(c,0)，設C,E兩點坐標分別為［"l，，,(m,n),

則AE=(m+c,〃)，EC=

由AE=XEC可得：m+c=A,n-2(Z-n)，解得m=,2)。,n=

2(4+1)2+1

因為點C,E的坐標都滿足雙曲線方程，故可得:

S—￡=i廁產=維一人將其代入［而川7bl

4ab4a2-----------L］

,、2,%G-l［「Q-2)cf(力

整理化簡可得：(2-2yL14a人］，即2(2+-［立

4(2+*(A+l)2一下--------不

故可得e2e[7,10],則ee[/癡].

故答案為：[正,麗].

16.答案：立

10

解析：如圖，取A3的中點NA。的中點Q,連接RQ,QN,gN,AC，

由于C尸在面ABCD內的射影為AC,QN±AC,故QN±CP

因為C尸在面ADAH內的射影為

又4Q。QN=Q,所以CP，平面D,QNB,.

要使CP1DtM，必須點M在平面DQNB[內，

又點M在側面A415d內，

所以點M在平面DXQNBX與平面A41gB的交線上，即M&B.N.

因為C8J_平面ABB^,BMu平面相用5,所以CB，，

所以5A=-xCBxBM

當BM，B}N時,3"最小,此時,△RCM的面積最小.

又BB\=l,BN=L故B[N=叵

1X1

由RtAB[BN的面積可得BM=,

所以叫CM=L1X^=@.

△BCM2510

故答案為：立.

10

17.答案：(1)1

2

⑵12

解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知，得6=之巨c.

4

222

又4=殳，由余弦定理得標=尸+c-2Z?ccosA=—c+c-2xcxcx=—c

48428

9252

所以萬—I8<一8<_1-

c2-2

（2）在△ABC中，由正弦定理得而！一頁一”，

V

則a=20,

由（1）得0=￥°=4后，

V5

,372.

b=------c=6，

4

所以=—Z?csinA=—x6x4A/2X=12?

△ABC222

18.答案：（1）證明見解析

（2）2

解析：（1）證明：連接3。交AC于。，連接0E,

因為四邊形A3CD為矩形,'o為3。的中點，

又因為E為PD的中點，則OE//PB,

因為OEu平面AEC,尸8a平面AEC,因此PB//平面ACE.

（2）由題設上4,平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，

以點A為坐標原點43、AD,AP所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標系，

，平面ABCD,ADu平面ABCD,PA±AD，

所以‘AD=JPD2—=2相,

則。(2,2代,0)、。(0,2百,0)、P(0,0,2)、A(0,0,0),

^PE=APD=2(0,20,—2)=(0,2^2,-22)，其中0W%W1,

則AE=AP+PE=(0,2732,2-22),AC=(2,26,0),

設平面ACE的法向量為m=(x,y,z)—=T2氐=°

m-AE=2V32y+(2-2A)z=0

取y="l,可得加=(6(1—1,包)，

易知平面ABC的一個法向量為〃=(0,0,1)，

由題可得Icos(m,ri)|=""川=g,

\m\-\n\J4(f2+3/2

因為0W/LWL解得4=2,此時二=2.

3ED

19.答案：(1)分布列見解析，期望為3

2

(2)27輪

解析：(1)“單板滑雪”與“自由式滑雪”每項參與人數超過30人的學校共5所,X的所

有可能取值為0、1、2、3,

「31

所以P(X=0)=T=—，

Go12

C2cl_之

p(x=i)=m一,

jo12

C2cl

P(X=2)=-^=,

jo12

c31

。5=3)=片=

Jo12

所以X的分布列如下表：

X0123

1551

p

12121212

J^f^E(X)=Ox—+lx—+2x—+30x——1二-3?

121212122

(2)記“小明同學在一輪測試中要想獲得優(yōu)秀”為事件A,

p⑷二xcMx2+LM[+Mc；xd，

3333333Uj27

由題意，小明同學在集訓測試中獲得“優(yōu)秀”的次數服從二項分布小，總，

由題意可得上x〃25,得至。227,因為“eN*，所以〃的最小值為27,故至少要進行27輪

27....

測試.

20.答案：（l）《+y2=l

4

⑵卜訓

解析：⑴不妨設左焦點為耳，上頂點為昭則|OM|=b,NORM=30°,

所以|M|=2/?=a,

因為直線y與橢圓C相交于P和。兩點，且|PQ|=2百,

所以將點P卜石,;的坐標代入橢圓C的方程，得與+工=1,

a24b2

2b=a

a=2

聯(lián)立方程組31，解得＜

源+方=1b=l

2

所以橢圓C的方程為土+）2=1；

4''

⑵設4（%,X）,3（九2,%），

y=kx+t

y=f,2

若直線/的斜率存在，設/的方程為區(qū)+聯(lián)立方程組X2＞

—+V-=1

[4'

Skt

--------7

X,+X2=

'-1+442

消去y得（l+4/）f+86+4產—4=0,A=i+4產_/＞（）,則＜

4t2-4

X,X9=--------7

'-1+442

又K&=U=一%所以%％=-：石々,且即4〃一4,°，則

因為X-kxx+t,y2=kx2+t,

所以=（g+，）（區(qū)2+，）2笈（玉+%2）+，2r-4k2￡

—KH

4/一44

整理得2r=4左2+121，

則士,「心且A〉。恒成立,

訴i、j1334t2—43(/—1)3(1A

rn^OAOB=%尤2+X%=龍1九2-z玉％2=w=2t-=511一

又產，，且產Hi,

2

所以如撲卜別唱,即—卜|,o}[o,|)；

、,212

當直線I的斜率不存在時,々=尤1,%=-%，又%總=-V=-—，五+#=1解得d=2,

西44

所以OAOB=X；—y：=3X；=3

11412

綜上,Q4O3的取值范圍為-3'°}[°，|?

21.答案：(1)y=X-l',

Q-2

----,a>1

e

⑵〃x)mm=一e：—lWaWl；

ea,a<-1

(3)(0,ln2]

解析：(1)當q=l時,/(x)=xlnx,

/(x)=Inx+L

：.k=/(l)=l"(l)=O,

二所求的切線方程為y=x+L

(2)/(x)=xlnx+(a-l)x,

fr(x)=lnx+a(x>0).

由r(x)=0得尤=e，

故函數J(x)在(f,e")上單調遞減，在(e-a,+oo)單調遞增；

①當e"<L即。>1吐/'(x)>0"(x)在-,e上為增函數，/。焉=/■仕]=巴工

e|_eJ【eje

②當14e-"e,即-iKaWl吐在上/'(力<。,/(耳為減函數，在[eee]上

el_e」

制x)>O"(x)為增函數,/(x)疝n=/(e-a)=-e-fl；

③當e">e，即a<-1時,/'(“<。J(x)在|,e上為減函數,/代卷。=/(e)=ea.

a-2i

------,a>1

e

綜上所述,/(1)_&=-b,-1V。VI

ea,a<-1

(3)%>0，方程/(%)=2/一3/在I2上有兩個不相等的實數根，

等價于方程：2x2—3x-lnx-(a-1)=