人教版高中數(shù)學(xué)選修二第四章 數(shù)列（能力測評卷）

章末檢測（四)數(shù)列能力測評卷姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分150分，考試時間12分鐘，試題共22題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．（2021·江西高三其他模擬（文））設(shè)等差數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝7，則a7＝()A．10 B．20C．16 D．12【答案】D【解析】∵{an}是等差數(shù)列，∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.2．（2021·甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)高三期末（文））在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于()A．－ D．C．－ D．【答案】B【解析】∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.3．（2021·陜西咸陽市·高三一模（理））設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3【答案】A【解析】在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.4．（2021·江西吉安市·高二期末（文））在等比數(shù)列{an}中，已知前n項和Sn＝5n＋1＋a，則a的值為()A．－1 B．1C．5 D．－5【答案】【解析】因為Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比數(shù)列的前n項和Sn＝，可知其常數(shù)項與qn的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a＝－5.5．（2021·陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學(xué)高二期末）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝則254是該數(shù)列的()A．第8項 B．第10項C．第12項 D．第14項【答案】D【解析】當(dāng)n為正奇數(shù)時，an＋1＝2an，則a2＝2a1＝2，當(dāng)n為正偶數(shù)時，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次類推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，歸納可得數(shù)列{an}的通項公式an＝則2＋1－2＝254，n＝14，故選D.6．（2021·江西高二期末（文））已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1a2a3＝15，且＝，則a2＝()A．2 D．C．3 D．【答案】C【解析】∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＝.∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故選C.7．（2021·浙江麗水市·高二月考）如果數(shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為的等比數(shù)列，那么an＝()A. D．C. D．【答案】A【解析】由題知a1＝1，q＝，則an－an－1＝1×n－1.設(shè)數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n項和為Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝＝，∴an＝.8．（2021·陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學(xué)高二期末）若有窮數(shù)列a1，a2，…，an(n是正整數(shù))，滿足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整數(shù)，且1≤i≤n)，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m＞1，m∈N*)的對稱數(shù)列，且1,2,4，…，2m－1是數(shù)列{bn}的前m項，則當(dāng)m＞1200時，數(shù)列{bn}的前2019項和S2019的值不可能為()A．2m－2m－2009 B．22019－1C．2m＋1－22m－2019－1 D．3·2m－1－22m－2020－1【答案】A【解析】若數(shù)列{bn}的項數(shù)為偶數(shù)，則數(shù)列可設(shè)為1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，當(dāng)m≥2019時，S2019＝＝22019－1，故B可能．當(dāng)1200＜m＜2019時，S2019＝2×－＝2m＋1－22m－2019－1，故C可能．若數(shù)列為奇數(shù)項，則數(shù)列可設(shè)為1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，當(dāng)m≥2019時，S2019＝＝22019－1.當(dāng)1200＜m＜2019時，S2019＝2×－＋2m－1＝3·2m－1－22m－2020－1，故D可能．故選A.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．（2021山東省淄博市實驗中學(xué)高二期末考試）已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－，等差數(shù)列{bn}的首項b1＝12，若a9>b9且a10>b10，則以下結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)9·a10<0 B．a(chǎn)9>a10C．b10>0 D．b9>b10【答案】AD【解析】∵等比數(shù)列{an}的公比q＝－，∴a9和a10異號，∴a9a10＝<0，故A正確；但不能確定a9和a10的大小關(guān)系，故B不正確；∵a9和a10異號，且a9>b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一個數(shù)是負(fù)數(shù)，又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故D正確；∴b10一定是負(fù)數(shù)，即b10<0，故C不正確．故選A、D.10．（2021山東省濰坊一中高二期末考試）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則下列命題正確的是()A．若S5＝S9，則必有S14＝0B．若S5＝S9，則必有S7是Sn中最大的項C．若S6＞S7，則必有S7＞S8D．若S6＞S7，則必有S5＞S6【答案】ABC【解析】∵等差數(shù)列{an}的前n項和公式Sn＝na1＋，若S5＝S9，則5a1＋10d＝9a1＋36d，∴2a1＋13d＝0，∴a1＝－，∵a1＞0，∴d＜0，∴a1＋a14＝0，∴S14＝7(a1＋a14)＝0，A對；又∵Sn＝na1＋＝－＋＝，由二次函數(shù)的性質(zhì)知S7是Sn中最大的項，B對；若S6＞S7，則a7＝a1＋6d＜0，∴a1＜－6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴a6＝a1＋5d＜－6d＋5d＝－d，a8＝a7＋d＜a7＜0，S7＞S8＝S7＋a8，C對；由a6＜－d不能確定a6的符號，所以S5＞S6不一定成立，D錯．故選A、B、C.11．（2021·江蘇鹽城市·高二期末）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．則下列說法正確的是()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】ABD【解析】設(shè)此人第n天走an里路，則{an}是首項為a1，公比為q＝的等比數(shù)列．所以S6＝，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正確，由a1＝192，則S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正確．a(chǎn)2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5＜96，所以C不正確．a(chǎn)1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，則后3天走的路程為378－336＝42而且42×8＝336，所以D正確．故選A、B、D.12．（2021·湖北高二期末）若數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}(n∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有()A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝n2＋1C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ln【答案】CD【解析】對A，若an＝3n，則an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不為遞減數(shù)列，故A錯誤；對B，若an＝n2＋1，則an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}為遞增數(shù)列，故B錯誤；對C，若an＝，則an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故C正確；對D，若an＝ln，則an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，由函數(shù)y＝ln在(0，＋∞)遞減，所以數(shù)列{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故D正確．故選C、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．（2021·江西高三其他模擬（文））已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2020－3n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．【答案】673【解析】由an＝2020－3n>0，得n<＝673，又∵n∈N*，∴n的最大值為673.14．（2021·河南高二月考（理））已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則an＝________，S10＝________.【答案】22－2n110【解析】設(shè){an}的首項，公差分別是a1，d，則解得a1＝20，d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n.S10＝10×20＋×(－2)＝110.15．（2021·遼寧大連市·高二期末）已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則＝________.【答案】【解析】因為數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因為數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q為等比數(shù)列的公比)，所以b2＝3，則＝.16．（2021·江蘇高三一模）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________.【答案】【解析】設(shè){an}的公比為q，q>0，且＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)（2021·山東濟(jì)南市·高二期末）已知等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式;（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，由題意得：解得所以（2）所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以．18．(本小題滿分12分)（2020·山東省濟(jì)南第十一中學(xué)高二期中）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－1，.(1)求等比數(shù)列{an}的公比q；(2)求.【解析】(1)由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝，q＝－.(2)由(1)，得an＝(－1)×，所以＝n－1，所以數(shù)列{}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故＝＝.19．(本小題滿分12分)（2021·江蘇高三一模）已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為.若，(為偶數(shù))，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以即解得，所以.經(jīng)檢驗，符合題設(shè)，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，，所以.，∴，因為，，所以，即.因為為偶數(shù)，所以.20．(本小題滿分12分)（2021·安徽滁州市·高二期末（理））已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，則a2＝q，a3＝q2，因為S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，則1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，則Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，兩式相減，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化簡得Tn＝(2n－3)×2n＋3.21．(本小題滿分12分)（2021·安徽高二期末考試（文））在①；②為等差數(shù)列，其中成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.已知數(shù)列中，______.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，求證：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）若選條件①，，，又，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以；若選擇②，設(shè)數(shù)列的公差為d，則，因為成等比數(shù)列，，解得或；當(dāng)時，，此時不能構(gòu)成等比數(shù)列，所以，所以，若選擇③，由得，當(dāng)時，，兩式相減得，所以，當(dāng)時，也適合上式，所以，（2）由（1）得，所以，故22．(本小題滿分12分)（2021年山東省淄博實驗中學(xué)高二期末考試）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數(shù)列{an}的通項公式．(2)設(shè)bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成