8-5隱函數(shù)的微分法

第八章

一、由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法二、由方程組確定的隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法第五節(jié)一、由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的微分法問(wèn)題的提出：？例如,

方程當(dāng)C<0時(shí),能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù);問(wèn)題1.

在何種條件下，能確定一個(gè)隱函數(shù)？在方程（或方程組）能確定隱函數(shù)時(shí),即問(wèn)題2.

在何種條件下，求導(dǎo)方法？求導(dǎo)公式？定理8.7

設(shè)函數(shù)則方程確定一個(gè)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)導(dǎo)數(shù)——隱函數(shù)求導(dǎo)公式①具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)能唯一在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)滿(mǎn)足②③滿(mǎn)足條件注意公式里的負(fù)號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)則uxxy在的某鄰域內(nèi)求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意y是x的函數(shù)！解(方法1)

公式法令則例1xyx求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意y是x的函數(shù)！(方法2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法用此法求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意y是x的函數(shù)！(方法3)全微分法一階全微分形式不變性，定理8.8的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)唯一確定一個(gè)函數(shù)z=f(x,y),滿(mǎn)足①在點(diǎn)滿(mǎn)足:②③的某一鄰域內(nèi)可注意公式里的負(fù)號(hào)兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)同樣可得則求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：注例2解(方法1)(方法2)用此法求導(dǎo)時(shí)，要注意z是x,y的函數(shù)！(方法3)求Fx時(shí)，要視y,z為常數(shù)(z不是x,y的函數(shù)！求Fz時(shí)，要視x,y為常數(shù)！求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要視z是x,y的函數(shù)！例3(1)證dx+dy二、由方程組確定的隱函數(shù)微分法由函數(shù)F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱(chēng)為函數(shù)F、G的雅可比(Jacobi

)行列式.以?xún)蓚€(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即定理8.9的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)能唯一確定滿(mǎn)足:導(dǎo)數(shù)；一對(duì)滿(mǎn)足條件具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)且有公式推導(dǎo)如下：則恒等式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得即由定理?xiàng)l件知，在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)系數(shù)行列式故得即同理可得注情形二的特例：若方程組滿(mǎn)足定理8.9的條件,則函數(shù)個(gè)數(shù)=方程個(gè)數(shù);自變量個(gè)數(shù)=方程組所含變量個(gè)數(shù)–方程個(gè)數(shù).即zFzGyFyGzFzGxFxGzFzG例4（方法1）直接套公式（方法2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法將所給方程的兩邊對(duì)x

求偏導(dǎo)數(shù)，并移項(xiàng)解將所給方程的兩邊對(duì)y

求偏導(dǎo)數(shù)，并解方程組得例5分析本題目方程組中包含兩個(gè)方程，由題目知y、z是函數(shù),故y,z均是由故有兩個(gè)函數(shù).x是自變量,方程組確定的自變量x的一元函數(shù).函數(shù)個(gè)數(shù)=方程個(gè)數(shù);自變量個(gè)數(shù)=方程組所含變量個(gè)數(shù)–方程個(gè)數(shù)解求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意y是x的函數(shù)！例6解uyxzxxyx于是可得,例7解（方法1）由方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法y,t都是x的函數(shù)（方法2）全微分法（方法3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法y(f)xtxyx故故內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)存在定理2.隱函數(shù)求導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)）的方法方法一復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法;方法二公式法;方法三全微分法思考題1.設(shè)求解（方法1）

（方法2）全微分法將dz進(jìn)行整理，其中dx的系數(shù)就是問(wèn)題如何用全微分法求？dy,dz

的系數(shù)分別是2.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解

1)令對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)①式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù),得則有由定理3

可知結(jié)論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù),可得本題的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的逆變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于例1-1解備用題下面求這函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù).（方法1）公式法求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意y是x的函數(shù)！（方法2）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法注意本方法中，始終將y看作x的函數(shù)（方法3）

全微分法根據(jù)全微分形式不變性，暫時(shí)不將y看作x的函數(shù)例1-2

驗(yàn)證方程在(0,0)點(diǎn)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法例2-1

設(shè)解（方法1）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法再對(duì)x

求導(dǎo)注意本方法中，始終將z看作x與y的函數(shù)（方法2）公式法設(shè)則兩端關(guān)于

x求偏導(dǎo)數(shù)，得用公式法求Fx時(shí),

先不將z看作x與y

的函數(shù)！應(yīng)暫視y,z為常數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要視z是x,y的函數(shù)！例2-2解例3-1設(shè)F(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解（方法1）

先求偏導(dǎo)數(shù)確定的隱函數(shù),則已知方程故對(duì)方程兩邊求全微分:（方法2）

全微分法例4-1解（方法1）

公式法略.（方法2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法對(duì)每一個(gè)方程兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù),得.類(lèi)似地對(duì)每個(gè)方程的兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù),可得（方法3）

全微分法解得于是例4-2解（方法1）

（方法2）例5-1

設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解（方法1）分別在各方程兩端對(duì)x

求導(dǎo),得(99考研)（方法2）全微分法對(duì)各方程兩邊分別求全微分:化簡(jiǎn)得消去可得分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),設(shè)解

每個(gè)方程兩邊都對(duì)x

求導(dǎo),得(2001考研)解得因此例7-1解二元線(xiàn)性代數(shù)方程組解的公式雅可比(1804–1851)德國(guó)數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)立地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ).