押成都卷第26題（幾何（三角形與四邊形）綜合壓軸）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學

押成都卷第26題押題方向一：幾何（三角形與四邊形）綜合壓軸3年成都真題考點命題趨勢2023年成都卷第25題等腰三角形性質(zhì)、全等（相似）的判定與性質(zhì)、軌跡問題等從近年成都中考來看，幾何綜合壓軸主要以三角形或四邊形為背景，從全等過渡到相似，從定點過渡到動點，求線段長度、比值，探究數(shù)量關(guān)系等，整體難度極高，是高分段學生盡量要攻克的難點；預計2024年成都卷還將重視幾何綜合壓軸的考查。2022年成都卷第25題矩形的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、相似的判定與性質(zhì)、勾股定理2021年成都卷第27題等腰三角形性質(zhì)與判定、相似的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線1．（2023·四川成都·中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．【初步感知】(1)如圖1，當時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．

【答案】(1)見解析(2)①，證明過程略；②當點F在射線上時，，當點F在延長線上時，(3)【分析】（1）連接，當時，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，即當點F在射線上時；當點F在延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當與重合時，取的中點，當與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，當時，，即，，

，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，當時，，即，是的中點，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當點F在射線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，同①，可得，

，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；當點F在延長線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，連接；同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線段之間數(shù)量關(guān)系為,綜上所述，當點F在射線上時，；當點F在延長線上時，；（3）解：如圖，當與重合時，取的中點，當與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，過點作的垂線段，交于點，過點作的垂線段，交于點，

，，，，，，，是的中點，，，，，根據(jù)（2）中的結(jié)論，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．(1)【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由．(2)【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當是線段中點時，求的值．(3)【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據(jù)題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據(jù)△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據(jù)題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當FH=BH時，當FH=BF=nBE時，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；（2）解：根據(jù)題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設(shè)DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；（3）解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當FH=BH時，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當FH=BF=nBE時，，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．3．（2021·四川成都·中考真題）在中，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A，C的對應點分別為點，．（1）如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；（3）如圖3，連接，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長．（2）作交于點D，作交于點E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長．（3）作且交延長線于點P，連接．由題意易證明，，，即得出．再由平行線性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點D為中點．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當點三點共線時最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．【詳解】（1）在中，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點D，作交于點E．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長線于點P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點D為中點．∵點E為AC中點，∴DE為的中位線，∴，即要使DE最小，最小即可．根據(jù)圖可知，即當點三點共線時最小，且最小值為．∴此時，即DE最小值為1．【點睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強，為困難題．正確的作出輔助線為難點也是解題關(guān)鍵．常見考點：直角、等腰、全等、相似三角形的性質(zhì)與判定；特殊的四邊形的性質(zhì)與判定；勾股定理與逆定理；銳角三角形函數(shù)；三大幾何變換；線段的垂直平分線與角平分線的性質(zhì)等。常見切入點：（1）尋找相關(guān)的基本模型或基本圖形；（2）緊扣不變量，并善于使用前面問題中所用的方法、結(jié)論；（3）不會做，找相似；有相似，用相似；（4）在題目中尋找更多的信息，并加以運用。1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖1，在菱形中，點P是對角線上一點，連接和，在射線上取點E，使得，射線交射線于點Q，設(shè)．(1)如圖2，若，連接，交于點O，求證：；(2)【探究】如圖3，若，，請畫出圖形，并求的值；【歸納】若，的值為______．（用含k、α的表達式表示）【答案】(1)見解析(2)【探究】；【歸納】【分析】對于（1），先說明四邊形是正方形，結(jié)合已知得，再根據(jù)“等邊對等角”得，最后根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”得出結(jié)論；對于（2），先作出輔助線標注圖形，再證明，接下來表示，并說明，可得，再根據(jù)線段垂直平分線可得，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得出，進而得出，再結(jié)合已知條件表示出，最后根據(jù)得出答案．對于【歸納】，根據(jù)（2）可表示，再設(shè)，則，然后根據(jù)，并表示出，根據(jù)可得，再根據(jù)表示，并代入得出答案.【詳解】（1）證明：如圖，∵，則，又∵四邊形是菱形，∴四邊形是正方形，∴.∵，∴.∵P在上，，則，∴.∵，，∴，∴，∴；（2）解：[探究]如圖所示，延長至Q′使得，連接，，過點作交的延長線于點M，作交的延長線于點S，∵，∴.又∵，∴.∵，且四邊形是菱形，∴，∴，∴.∵四邊形是菱形，∴，，，∴，則.∵，∴.∵，∴，∴.∵，∴，.∵P是上的點，垂直平分，∴.又，，.∵，∴，，∴，，過點P作于點T，則，∵，設(shè)，則，∵，，，，．[歸納]同（2）可得，設(shè)，則，∵，.，，.故答案為：．【點睛】本題主要考查了特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形的應用，等腰三角形的性質(zhì)和判定，準確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，平行四邊形中,，過A作，在上取一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段．(1)如圖1，若點是中點，,旋轉(zhuǎn)后點恰好落在邊上，求的長度．(2)如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段，當時，在上取一點，使,連，猜想與的大小關(guān)系并證明．(3)如圖3，若點為中點，點為中點，，當最小時，直接寫出．【答案】(1)；(2)，證明見解析；(3)．【分析】（）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得到，，，根據(jù)得到，根據(jù)中點性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)推出，得到；（）延長到點，使，連，，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到，，得到，根據(jù)，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，，得到，結(jié)合推出，由推出，推出，得到，，推出，，推出，得到；（）根據(jù)點為中點，得到當點繞著點旋轉(zhuǎn)時，點繞著的中點旋轉(zhuǎn)，根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)中點性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，運用三角形面積公式求出，當最小時，點P在上，推出，得到，得到．【詳解】（1）如圖，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵點是中點，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∴，，∴，∴，∴；（2），證明如下：如圖，延長至點，使，連，，∵，是的中位線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）∵點為中點，∴當點繞著點旋轉(zhuǎn)時，點繞著的中點旋轉(zhuǎn)，如圖，連接，，設(shè)的邊上的高為，∵，∴，，∵點為中點，∴，∴，∴，，當最小時，點在上，此時，，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)，含的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形中位線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等問題，熟練掌握以上知識點的應用是解題的關(guān)鍵．3．（2024·湖北黃岡·一模）

問題提出：如圖①，E是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點G，探究與的數(shù)量關(guān)系．(1)先將問題特殊化，如圖②，當時直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖①，求與的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖①特殊化，如圖③，當時，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在上截取，連接,根據(jù)，得證,結(jié)合，得，結(jié)合，證明，得根據(jù)計算即可；（2）在上截取，連接,證明，再結(jié)合已知證明，得到,得到，即可得證．（3）過點A作交的延長線于點P，先算，證明，求得，過點B作于點N，則，，計算．本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）在上截取，連接,∵，四邊形是菱形,∴四邊形是正方形，∴，∵，∴∴,∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴．（2）．理由如下：在上截取，連接,∵，四邊形是菱形,∴，∴,，∴，∵，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴．（3）過點A作交的延長線于點P，∵，∴,，，∵，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴，∴，解得，根據(jù)(2)得，∴，過點B作于點N，則，∵，，∴，，∴，∴∴．4．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）（1）用數(shù)學的眼光觀察．如圖1，在菱形中，，點E是對角線上一動點，連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求的度數(shù)．（2）用數(shù)學的思維思考．如圖2，在正方形中，點E是對角線上一動點，且，連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．判斷C，D，F(xiàn)三點的位置裝關(guān)系，并說明理由；（3）用數(shù)學的語言表達．如圖3，在矩形中，，，點E是對角線上一動點，連接，以為邊在的右邊作直角，，，連接，，若是以為腰的等腰三角形，求的長度．【答案】（1）（2）三點共線，理由見解析（3）或【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到為等邊三角形，進而證明，即可得出結(jié)果；（2）過點作，交于點，利用正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，推出，即可得出結(jié)論；（3）過點作，交于點，先證明，進而得到點的運動軌跡，然后分，，兩種情況，設(shè)，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，利用勾股定理列出方程進行求解即可．【詳解】解：（1）∵菱形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，又，∴，∴；（2）三點共線，理由如下：過點作，交于點，∵正方形，∴，，∴，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴三點共線；（3）如圖，過點作，交于點，∵矩形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴點在射線上移動，當是以為腰的等腰三角形，分兩種情況討論：①當時：過點作于點，∵，∴，∵，∴，，∴，設(shè)，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，解得：（負值已舍掉）；∴，∴；②當時：過點作，∵矩形，∴，∴，設(shè)，則：，由（1）知，∴，，∴，在中，，∴，解得：（負值已舍掉），∴．綜上：或．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形，正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性強，難度大，計算量大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形．5．（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）用四根一樣長的木棍搭成菱形，是線段上的動點（點不與點和點重合），在射線上取一點，連接，，使．操作探究一（1）如圖1，調(diào)整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，則______，=______．操作探究二（2）如圖2，調(diào)整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．拓展遷移（3）在菱形中，，．若點在直線上，點在射線上，且當時，請直接寫出的長．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）的長度為或．【分析】（1）證明得到，，從而得到，推出為等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）證明得到，，從而得到，作交于，則，，根據(jù)含角的性質(zhì)及勾股定理得出，從而得到；（3）當時，點和點重合，再分兩種情況：當點在線段的延長線時，過點作于點；當點在的延長線上時，過點作交的延長線于點；利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角形函數(shù)進行計算即可得到答案．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，故答案為：，；（2），理由如下：四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，，，，，，，如圖2，作交于，則，，在中，，，，，；（3）當時，點和點重合，如圖3，當點在線段的延長線時，過點作于點，設(shè)，，，為等腰直角三角形，，四邊形是菱形，，，，，，由菱形的對稱性及可得，在中，，，，，，，；如圖4，當點在的延長線上時，過點作交的延長線于點，設(shè)，同①可得：，，，，，綜上所述，的長度為或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東深圳·模擬預測）【問題發(fā)現(xiàn)】數(shù)學小組成員小明做作業(yè)時遇到以下問題：請你幫助解決

（1）若四邊形是菱形，邊長為，，點是射線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊，如圖1，連接、，則與的數(shù)量關(guān)系為，長度的最小值為．【類比探究】數(shù)學小組對該問題進一步探究，請你幫助解決：（2）如圖2，若四邊形是正方形，邊長為，點為中點，點是射線上一動點，以為斜邊在邊的右側(cè)作等腰，，連接、．求：①與的數(shù)量關(guān)系；②求長度的最小值．【拓展應用】（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，當是對角線的延長線上一動點時，以為直角邊在邊的右側(cè)作等腰，，連接，若，，求的面積．【答案】（1），1；（2），長度的最小值為1；（3）【分析】（1）連接，由菱形性質(zhì)得到推出和是等邊三角形，又是等邊三角形，可證明即得，，延長交于，則在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，可得，即可求出的最小值為1；（2）①連接，根據(jù)正方形性質(zhì)可知是的中點，知是等腰直角三角形，有，，而是等腰直角三角形，可知，，即可推出，利用相似三角形性質(zhì)可得結(jié)果；②延長交于，由在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，可求出，故可求出最小值；（3）連接交于點，過點作交于點，根據(jù)正方形性質(zhì)，可得的長，證明，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接，四邊形是菱形，，

，和是等邊三角形，，，，，，，四邊形是菱形，，，，如圖，延長交于，則在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，，，，，的最小值為1，故答案為：，1；（2）①如圖，連接，四邊形為正方形，為的中點，是等腰三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，；②延長交于，如圖，

，在射線上運動，當，即與重合時，取最小值，四邊形為正方形，，，，是等腰直角三角形，，的最小值為1；（3）如圖，連接交于點，過點作交于點，四邊形為正方形，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，在中，有勾股定理得：，，解得：，（舍去），，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、作輔助線構(gòu)造相似三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2024·山東濰坊·一模）【問題情境】綜合與實踐課上，老師發(fā)給每位同學一張正方形紙片．在老師的引導下，同學們在邊上取中點E，取邊上任意一點F（不與C，D重合），連接，將沿折疊，點C的對應點為G，然后將紙片展平，連接并延長交所在的直線于點N，連接．探究點F在位置改變過程中出現(xiàn)的特殊數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系．【探究與證明】（1）如圖1，小亮發(fā)現(xiàn)：．請證明小亮發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．（2）如圖2、圖3，小瑩發(fā)現(xiàn)：連接并延長交所在的直線于點H，交于點M，線段與之間存在特殊關(guān)系．請寫出小瑩發(fā)現(xiàn)的特殊關(guān)系，并從圖2、圖3中選擇一種情況進行證明．【應用拓展】（3）在圖2、圖3的基礎(chǔ)上，小博士進一步思考發(fā)現(xiàn)：將所在直線與所在直線的交點記為P，若給出和的長，則可以求出的長．請根據(jù)題意分別在圖2、圖3上補畫圖形，并嘗試解決：當時，求的長．【答案】（1）見詳解；（2）；（3）或【分析】（1）利用證明得，可得，即可求證；（2）由折疊得對稱軸垂直平分對應點連線段，所以，繼而可知，再由，E為中點，即可求證；（3）第一種情況，當點P在點H左側(cè)，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”證明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二種情況，當點P在點H右側(cè)，求解方法仿照第一種情況即可．【詳解】（1）證明：∵正方形∴，∵將沿折疊，∴，∵E為中點，∴，∴，在和中∴，∴，∵，∴，∴．（2），選擇圖2進行證明．將沿折疊，則，∴，∵，∴，∴，∴，而E為中點，∴，∴．（3）第一種情況，當點P在點H左側(cè)，如圖2，∵，E為中點，∴，而∴在中，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；第二種情況，當點P在點H右側(cè)，如圖3，同理可求，此時，∵，∴，∴，同理可得，∴，∴，∵，∴．綜上所述，或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角三角函數(shù)值相等，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵．8．（2023·貴州·模擬預測）已知，如圖①，四邊形是矩形，對角線相交于點O，．(1)【問題解決】在圖①中，根據(jù)給出的條件，直接寫出一條未知線段的長度或一個角的大??；(2)【問題探究】如圖②，在矩形中，點P是對角線上的一個動點，連接，過點P作交于點E，連接，在點P運動的過程中試探究的大小，并寫出證明過程；(3)【拓展延伸】如圖③，在矩形中，點P是對角線上的一個動點，連接，在的左下方作，使，，在點P從點B向點D的運動過程中，猜想點Q的運動路徑并求出它的長度．【答案】(1)或或或或或（答案不唯一）；(2)(3)點Q的運動軌跡是平行于的一段線段；點Q的路徑長為．【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出線段，判斷出為等邊三角形，即可得出答案；(2)先判斷出點四點共圓，即可求出答案；(3)先判斷出，進而判斷出，進而判斷出點D的運動軌跡是平行于的一段線段，最后判斷出四邊形是平行四邊形，即可求出答案．【詳解】（1）在矩形中，對角線相交于點O，，∵，，∴是等邊三角形，；∵四邊形是矩形，，，在中，，根據(jù)勾股定理得，；即或或或或或（答案不唯一）；（2）；理由：∵四邊形是矩形，，，，，∴點四點共圓，；（3）如圖，連接交于，由（1）知，，過點A作于，即點P在的位置時，點Q在的位置，連接，，，，，，，，在中，，，，，，即點Q的運動軌跡是平行于的一段線段；如圖，當點P在點B時，，，，當點P在點D處，，，，∵，∴四邊形是平行四邊形，，即點Q的路徑長為．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，判斷出點D的運動軌跡是平行于的一段線段是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·遼寧沈陽·模擬預測）在中，，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，以為一邊向逆時針方向作，使，，直線交直線于點．(1)直接寫出______，______（均用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖1，當，時，求證：；(3)如圖2，當時，點為邊上一動點，取線段的中點，線段上有一點，點到點的距離為，若，則線段長度的最小值為______；(4)如圖3，當時，若，則點落在線段的垂直平分線上時，直接寫出的值為______．【答案】(1)，(2)見解析(3)(4)或或26【分析】（1）由，，可得；由，，可得；（2）當時，可知是等邊三角形；得到，，，在以為圓心，為半徑的上，從而，，據(jù)此即可證明；（3）當，且，，共線時，線段的長度最小，連接，在上取點，使，連接，證明，可得；可證，有，得，可得，從而求得線段長度的最小值為；（4）分三種情況畫出圖形，①過作于，在上取點，使，連接，，求得；②當與重合時，根據(jù)，結(jié)合勾股定理可得；③設(shè)的垂直平分線交于，求得．【詳解】（1）解：，，；，，，；故答案為：，；（2）證明：當時，如圖：，，是等邊三角形；，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，，在以為圓心，為半徑的上；，，，；（3）解：當，且，，共線時，線段的長度最小，連接，在上取點，使，連接，如圖：，為中點，，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，；，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，即線段長度的最小值為；故答案為：；（4）解：①過作于，在上取點，使，連接，，設(shè)的垂直平分線交于，如圖：，在的垂直平分線上，，，，共線，，，，，，，在中，設(shè)，則，，，，，，，解得，，；，，，，，是等邊三角形，，，，；，，又，，，，，；②當與重合時，設(shè)的垂直平分線交于，如圖：，，，，，，，，，，，共線，由①可知，，，，，，，，，即，，；③設(shè)的垂直平分線交于，連接，如圖：，，，，是等邊三角形，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，由②知，，，在中，，，，；綜上所述，的值為或或26．故答案為：或或26．【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，涉及等腰直角三角形性質(zhì)及應用，等邊三角形判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)及應用，勾股定理的應用及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，等邊三角形解決問題，本題難度較大．10．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在銳角中，，點，分別是，上的動點，連接，．

(1)如圖1，若，且，平分，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)60度得到線段，連接，過點做，垂足為點，在點運動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)如圖3，若點為下方一點，連接，，為等邊三角形，將沿直線翻折得到．是線段上一點，將沿直線翻折得到，連接，當線段取得最小值，且時，請求出的值．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）在上截取，連接，可證得，從而，，進而得出，進一步得出結(jié)果；（2）連接，在上截取，根據(jù)得出點、、、共圓，從而，，進而得出，從而，，進而得出是等邊三角形，進一步得出結(jié)果；（3）在的上方作等邊三角形，作的外接圓，連接并延長，交于點，當點運動到點時，最大，作于點，連接，作于，可推出、、共線，設(shè)，則，可得出，構(gòu)造，，在上，，，則，進而推出，設(shè)，，解三角形，表示出，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）如圖1，在上截取，連接，

平分，，，，，，，，，，；（2）如圖2，

，理由如下：連接，在上截取，，，是等邊三角形，，，，，點、、、共圓，，，，，，是等邊三角形，，，；（3）如圖3，在的上方作等邊三角形，作的外接圓，連接并延長，交于點，當點運動到點時，最大，作于點，連接，作于，，是等邊三角形，，、、共線，設(shè)，則，，，，，如圖4，在中，，在上，，，則，不妨設(shè)，，，，，，，設(shè)，，，，，由得，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．11．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）在中，是上一點．

(1)如圖，是中點，，求線段的長度；(2)如圖，，點在線段上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點，當時，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖，在（2）的條件下，點在上，點在上，，連接，若，直接寫出的最小值．【答案】(1)5(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線，得到，由等邊對等角，得到，進而得到，設(shè)，，利用勾股定理，求出，，即可得到的長度；（2）延長至，使得，連接，取中點，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證，得到，，再根據(jù)三角形中位線定理，得到，，進而得出，，然后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論；（3）連接，取的中點，連接、、，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點作交于點，交于點，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，得出，證明，得到，，進而證明是等腰直角三角形，，當點與點重合時，有最小值，則有最小值，最小值為，推出，設(shè)，則，，，利用正弦函數(shù)，分別求出，，再利用正切函數(shù)，求出，進而得到，即可得到的最小值．【詳解】（1）解：中，，是中點，，，，，，設(shè)，，由勾股定理得：，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長至，使得，連接，取中點，連接，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，在和中，，，，是的中點，是的中點，是的中位線，，，，，，，是等腰直角三角形，，是的外角，是的外角，，，，；（3）解：如圖，連接，取的中點，連接、、，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點作交于點，交于點，AI

是等腰直角三角形，，，點是的中點，，，，，，，在和中,，，，，，，是等腰直角三角形，，即，，當點與點重合時，此時，，則，即有最小值，則有最小值，最小值為，，，在中，，，，，設(shè)，則，，，和都是直角三角形，，，，，，，，，，，，，，即的最小值為．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，正確構(gòu)造輔助線，證明三角形全等和構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．12.（2024·山西·一模）綜合與實踐：數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實踐應用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)交于點，∵∴，故答案為：，．

（2）結(jié)論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，則是等腰直角三角形，，

∵,∴，∵，∴，∴，∴，∵，在中，，∴，∴，過點作于點，設(shè)，則，在中，，在中，，∴，∴，解得：，則，設(shè)交于點，則是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴，又，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，綜上所述，或，故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形