（預(yù)習課）2024年高中數(shù)學高二暑假講義05 空間向量基本定理（原卷版）

第第頁§1.2空間向量基本定理第1課時空間向量基本定理學習目標1.掌握空間向量基本定理.2.會用空間向量基本定理對向量進行分解.知識點一空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．思考零向量能否作為基向量？答案不能.零向量與任意兩個向量a，b都共面．知識點二空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．1．只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間的一個基底．(×)2．若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量．(√)3．如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有a與b共線．(√)4．對于三個不共面向量a1，a2，a3，不存在實數(shù)組(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(×)一、空間的基底例1已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個基底．反思感悟基底的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間一個基底的向量組有()A．1個 B．2個C．3個 D．0個(2)已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＋y＝________.二、空間向量基本定理例2如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，點M，N分別是BC′，B′C′的中點，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).延伸探究若把本例中“eq\o(AA′,\s\up6(→))＝a”改為“eq\o(AC′,\s\up6(→))＝a”，其他條件不變，則結(jié)果是什么？反思感悟用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).1．下列結(jié)論錯誤的是()A．三個非零向量能構(gòu)成空間的一個基底，則它們不共面B．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線C．若a，b是兩個不共線的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個基底D．若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一個基底，則O，A，B，C四點共面2．已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是()A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2aC．a(chǎn)，2b，b－c D．c，a＋c，a－c3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，可以作為空間一個基底的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))C.eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)) D.eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))4．正方體ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點，以{eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(AO2,\s\up6(→))，eq\o(AO3,\s\up6(→))}為基底，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(→))，則()A．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,2) B．x＝y(tǒng)＝z＝1C．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y(tǒng)＝z＝25．在四面體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)1．知識清單：(1)空間的基底．(2)空間向量基本定理．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：(1)基向量理解錯誤，沒有注意到基向量的條件．(2)運算錯誤：利用基底表示向量時計算要細心．1．設(shè)p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．已知M，A，B，C四點互不重合且任意三點不共線，則下列式子中能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成為空間的一個基底的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))3.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點O為空間內(nèi)任意一點，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示為()A．a(chǎn)－b＋2cB．a(chǎn)－b－2cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c4．已知{a，b，c}是空間的一個基底，若p＝a＋b，q＝a－b，則()A．a(chǎn)，p，q是空間的一組基底B．b，p，q是空間的一組基底C．c，p，q是空間的一組基底D．p，q與a，b，c中的任何一個都不能構(gòu)成空間的一組基底5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則下列向量與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c6．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝________.7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，用eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(→))作為基向量，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝____________.8.如圖所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，且PA＝AD＝1，四邊形ABCD為正方形，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________.9．已知平行六面體OABC－O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up6(→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(AC′,\s\up6(→))；(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up6(→)).10.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E為A1D1的中點，F(xiàn)為BC1與B1C的交點．(1)用基底{a，b，c}表示向量eq\o(DB1,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))；(2)化簡eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，并在圖中標出化簡結(jié)果．11．點P是矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點，且eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，則滿足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實數(shù)x，y，z的值分別為()A．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B.eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)C．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，－eq\f(1,6) D．－eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)12.如圖，點M為OA的中點，{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))}為空間的一個基底，eq\o(DM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)＝________.13．已知四面體ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)14．如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG＝2GN，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OG,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)15．設(shè)O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則(x，y，z)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))16.如圖所示，在空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用向量a，b，c表示向量eq\o(GH,\s\up6(→)).第2課時空間向量基本定理的初步應(yīng)用學習目標1.會用基底法表示空間向量.2.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的思想．知識點一證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.思考怎樣利用向量共線、向量共面解決幾何中的證明平行、共線、共面問題？答案平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題．知識點二求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求夾角、證明垂直問題？答案幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍．知識點三求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求距離(長度)問題？答案幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用數(shù)量積可以求得．1．四點A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形ABCD的充要條件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).(×)2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點共線．(×)3．已知兩個向量eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的夾角為60°，則∠NMP＝60°.(×)4．如果eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，則四點O，P，M，N一定共面．(√)一、證明平行、共面問題例1如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，E，F(xiàn)分別為AA′和CC′的中點．求證：BF∥ED′.反思感悟證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點共線或直線平行．(2)利用空間向量基本定理證明點線共面或線面平行．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面．二、求夾角、證明垂直問題例2如圖所示，在三棱錐A－BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E為BC的中點．(1)證明：AE⊥BC；(2)求直線AE與DC的夾角的余弦值．反思感悟求夾角、證明線線垂直的方法利用數(shù)量積定義可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，進而求得線線角，兩直線垂直可作為求夾角的特殊情況．跟蹤訓(xùn)練2在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分別是AD，DC的中點．求異面直線MN與BC1所成角的余弦值．三、求距離(長度)問題例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有兩點A，B，線段AC?α，線段BD?β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，則CD＝________.反思感悟求距離(長度)問題的思路選擇已知長度和夾角的三個向量作為基向量，利用基底表示向量，將距離(長度)問題轉(zhuǎn)化為向量的模的問題．跟蹤訓(xùn)練3正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，點N為B1B的中點，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|等于()A.eq\f(\r(21),6)aB.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)aD.eq\f(\r(15),3)a1．(多選)已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外的任一點，則“點M與點A，B，C共面”的充分條件是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))2．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定3．如圖，三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2eq\r(2)，則SC與AB所成角的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°4．如圖，已知?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC的長為________．5．已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cos〈a，b〉＝________.1．知識清單：(1)空間向量基本定理．(2)空間向量共線、共面的充要條件．(3)向量的數(shù)量積及應(yīng)用．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：(1)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆．(2)轉(zhuǎn)化目標不清：表示向量時沒有轉(zhuǎn)化目標，不理解空間向量基本定理的意義．1．已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)) B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))2．如圖，已知空間四邊形ABCD中，AC＝BD，順次連接各邊中點P，Q，R，S，所得圖形是()A．長方形B．正方形C．梯形D．菱形3．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DC，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是()A．0B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(15),5)4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則CA1與C1B所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°5．如圖，二面角α－l－β等于eq\f(2π,3)，A，B是棱l上兩點，BD,AC分別在平面α，β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，則CD的長等于()A．2eq\r(3) B.eq\r(13)C．4 D．56．已知向量a，b滿足條件|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，則實數(shù)λ＝________.7．如圖，在空間四邊形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝eq\f(π,2)，∠ABC＝eq\f(π,4)，BC＝BD＝1，AB＝eq\r(2)，則異面直線AB與CD所成角的大小是________．8．如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是________．9．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求實數(shù)x，y，z的值．10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點，正方體的棱長為1.(1)求〈eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))〉的余弦值；(2)求證：eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→)).11．在四面體O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且eq\o(OG,