2023-2024學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市多校高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河南省新鄉(xiāng)市多校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，.故選：A.2.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為4，寬為2的矩形，則該圓柱的軸截面的面積為（）A.32 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若4為底面周長(zhǎng)，則圓柱的高為2，此時(shí)圓柱的底面直徑為，故圓柱的軸截面的面積為；若2為底面周長(zhǎng)，則圓柱的高為4，此時(shí)圓柱的底面直徑為，故圓柱的軸截面的面積為.故選：D.3.若在已知和的條件下，有兩個(gè)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖解析〗因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，所以，所以，即.故選：C.4.如圖所示，水平放置的用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖為，其中，，那么為（）A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.鈍角三角形 D.三邊互不相等的三角形〖答案〗B〖解析〗根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法還原，則，且，因此，且，所以為等腰直角三角形.故選：B.5.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，則，所以在上的投影向量為.故選：A.6.在中，邊上的中線為，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗為的中點(diǎn)，，.故選：A.7.一個(gè)高為的圓錐形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)部能完全容納的最大球的半徑為，若，則這個(gè)圓錐的體積與這個(gè)最大球的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作圓錐的軸截面，如圖，由題可知，,，所以，即，解得，則，所以故選：D.8.在中，已知為銳角，，若的最小值為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，則，所以，又為銳角，故，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.存在只有三個(gè)面的多面體 B.平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形C.長(zhǎng)方體是直四棱柱 D.棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，易知面數(shù)最少的多面體是三棱錐，它有四個(gè)面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平行六面體的定義知，平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，故B正確；對(duì)于C，易知長(zhǎng)方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故C正確；對(duì)于D，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形，故D正確.故選：BCD.10.如圖，已知長(zhǎng)方形中，，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)時(shí)，與的夾角余弦值為C.當(dāng)時(shí)，D.對(duì)任意的〖答案〗AC〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，顯然，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與的夾角余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或1時(shí)，的值為1，所以對(duì)任意的，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且的外接圓半徑為，，，則（）A. B.C. D.面積的最大值為〖答案〗BC〖解析〗在銳角三角形中，由正弦定理可得，又，所以，又，所以，故C正確；因?yàn)椋?，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故A錯(cuò)誤，B正確.由余弦定理得，所以，又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，高為，則該正四棱錐的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗4〖解析〗如圖，四棱錐為正四棱錐，高，底面邊長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，則是的中點(diǎn)，連接，于是斜高，所以正四棱錐的表面積.故〖答案〗為：4.13.已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.〖答案〗8〖解析〗因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，得.故〖答案〗為：8.14.如圖，在多面體中，已知是邊長(zhǎng)為2正方形，且均為正三角形，則該多面體的體積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗如圖，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則平面，平面將多面體分成兩個(gè)同樣的三棱錐和一個(gè)直三棱柱，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正方形，且均為正三角形，則，取的中點(diǎn)，連接，，，，則多面體的體積故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，且，求；（2）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)，由，且，得，解得，而復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，所以.（2），由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.如圖，已知在中，是邊的中點(diǎn)，且，設(shè)與交于點(diǎn).記，.（1）用表示向量；（2）若，且，求.解：（1），，.（2）三點(diǎn)共線，由得，，即，，.17.如圖（1）所示，四邊形為水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖，其中.（1）在圖（2）所示的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出四邊形，并求四邊形的面積；（2）若將四邊形以直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.解：（1）在直觀圖中，則在四邊形中，所以四邊形如圖所示：由圖可知，四邊形為直角梯形，所以面積為.（2）直角梯形以直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，由（1）可知幾何體的底面圓半徑，圓柱的高，圓錐的高，母線長(zhǎng)，所以該幾何體的體積，表面積.18.如圖，已知四面體的棱長(zhǎng)均為6，棱的中點(diǎn)分別為，用平面截四面體，得到三棱臺(tái).（1）求三棱臺(tái)的體積；（2）若為棱上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求取最小值時(shí)線段的長(zhǎng)度.解：（1）作點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，連接，根據(jù)題意可知，是等邊三角形的中心，則，，即四面體的高為，所以，所以.（2）如圖所示，將平面與展開(kāi)到同一平面，可知，在中，，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，在中，設(shè)，由余弦定理得，即，解得或，結(jié)合圖可知，綜上，的最小值為，且取最小值時(shí).19.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，.（1）求的外接圓面積；（2）若為的內(nèi)心，求周長(zhǎng)的最大值.解：（1）由條件可得，所以，因?yàn)?，故，則，故，所以的外接圓半徑，面積為.（2）由題可知，，故，設(shè)，則，且，在中，由正弦定理可得，所以，故的周長(zhǎng)，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，的周長(zhǎng)最大，且最大值為.河南省新鄉(xiāng)市多校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，.故選：A.2.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為4，寬為2的矩形，則該圓柱的軸截面的面積為（）A.32 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若4為底面周長(zhǎng)，則圓柱的高為2，此時(shí)圓柱的底面直徑為，故圓柱的軸截面的面積為；若2為底面周長(zhǎng)，則圓柱的高為4，此時(shí)圓柱的底面直徑為，故圓柱的軸截面的面積為.故選：D.3.若在已知和的條件下，有兩個(gè)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖解析〗因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，所以，所以，即.故選：C.4.如圖所示，水平放置的用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖為，其中，，那么為（）A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.鈍角三角形 D.三邊互不相等的三角形〖答案〗B〖解析〗根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法還原，則，且，因此，且，所以為等腰直角三角形.故選：B.5.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因，則，所以在上的投影向量為.故選：A.6.在中，邊上的中線為，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗為的中點(diǎn)，，.故選：A.7.一個(gè)高為的圓錐形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)部能完全容納的最大球的半徑為，若，則這個(gè)圓錐的體積與這個(gè)最大球的體積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作圓錐的軸截面，如圖，由題可知，,，所以，即，解得，則，所以故選：D.8.在中，已知為銳角，，若的最小值為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，則，所以，又為銳角，故，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.存在只有三個(gè)面的多面體 B.平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形C.長(zhǎng)方體是直四棱柱 D.棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，易知面數(shù)最少的多面體是三棱錐，它有四個(gè)面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平行六面體的定義知，平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，故B正確；對(duì)于C，易知長(zhǎng)方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故C正確；對(duì)于D，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形，故D正確.故選：BCD.10.如圖，已知長(zhǎng)方形中，，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)時(shí)，與的夾角余弦值為C.當(dāng)時(shí)，D.對(duì)任意的〖答案〗AC〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于A，顯然，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與的夾角余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或1時(shí)，的值為1，所以對(duì)任意的，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且的外接圓半徑為，，，則（）A. B.C. D.面積的最大值為〖答案〗BC〖解析〗在銳角三角形中，由正弦定理可得，又，所以，又，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故A錯(cuò)誤，B正確.由余弦定理得，所以，又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，高為，則該正四棱錐的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗4〖解析〗如圖，四棱錐為正四棱錐，高，底面邊長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于，則是的中點(diǎn)，連接，于是斜高，所以正四棱錐的表面積.故〖答案〗為：4.13.已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.〖答案〗8〖解析〗因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，得.故〖答案〗為：8.14.如圖，在多面體中，已知是邊長(zhǎng)為2正方形，且均為正三角形，則該多面體的體積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗如圖，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則平面，平面將多面體分成兩個(gè)同樣的三棱錐和一個(gè)直三棱柱，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正方形，且均為正三角形，則，取的中點(diǎn)，連接，，，，則多面體的體積故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，且，求；（2）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)，由，且，得，解得，而復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，所以.（2），由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.如圖，已知在中，是邊的中點(diǎn)，且，設(shè)與交于點(diǎn).記，.（1）用表示向量；（2）若，且，求.解：（1），，.（2）三點(diǎn)共線，由得，，即，，.17.如圖（1）所示，四邊形為水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖，其中.（1）在圖（2）所示的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出四邊形，并求四邊形的面積；（2）若將四邊形以直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.解：（1）在直觀圖中，則在四邊形中，所以四邊形如圖所示：由圖可知，四邊形為直角梯形，所以面積為.（2）直角梯形以直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，由（1）可知幾何體的底面圓半徑，圓柱的高，圓錐的高，母線長(zhǎng)，所以該幾何體的體積，表面積.18.如圖，已知四面體的棱長(zhǎng)均為6，棱的中點(diǎn)分別為，用平面截四面體，得到三棱臺(tái).（1）求三棱臺(tái)的體積；（2）若為棱上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求取最小值時(shí)線段的長(zhǎng)度.解：（1）作