高考數(shù)學一輪復習課后限時集訓56圓錐曲線中的定點與定值問題文北師大版

課后限時集訓56圓錐曲線中的定點與定值問題建議用時：45分鐘1．(2019·威海模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，直線y＝4與y軸的交點為P，與拋物線C的交點為Q，且|QF|＝2|PQ|.(1)求p的值；(2)已知點T(t，－2)為C上一點，M，N是C上異于點T的兩點，且滿足直線TM和直線TN的斜率之和為－eq\f(8,3)，證明直線MN過定點，并求出定點的坐標．[解](1)設Q(x0,4)，由拋物線的定義，得|QF|＝x0＋eq\f(p,2)，又|QF|＝2|PQ|，∴2x0＝x0＋eq\f(p,2)，解得x0＝eq\f(p,2)，將點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，4))代入拋物線C的方程，得p＝4.(2)由(1)知拋物線C的方程為y2＝8x，∴點T的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))，設直線MN的方程為x＝my＋n，點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),8)，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),8)，y2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,y2＝8x))得y2－8my－8n＝0，∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，∴kMT＋kNT＝eq\f(y1＋2,\f(y\o\al(2,1),8)－\f(1,2))＋eq\f(y2＋2,\f(y\o\al(2,2),8)－\f(1,2))＝eq\f(8,y1－2)＋eq\f(8,y2－2)＝eq\f(8y1＋y2－32,y1y2－2y1＋y2＋4)＝eq\f(64m－32,－8n－16m＋4)＝－eq\f(8,3)，解得n＝m－1，∴直線MN的方程為x＋1＝m(y＋1)，過定點(－1，－1)．2．(2019·鄭州模擬)已知F是拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點，點M是拋物線上的定點，且eq\o(MF,\s\up8(→))＝(4,0)．(1)求拋物線C的方程．(2)直線AB與拋物線C分別相交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|x2－x1|＝3，直線l與AB平行，且與拋物線C相切，切點為N，試問△ABN的面積是否為定值．若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．[解](1)設M(x0，y0)，由題知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\o(MF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x0，\f(p,2)－y0))＝(4,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x0＝4，,\f(p,2)－y0＝0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－4，,y0＝\f(p,2)，))將其代入x2＝2py(p＞0)中，得16＝p2，解得p＝4或p＝－4(舍去)，所以拋物線C的方程為x2＝8y.(2)由題意知，直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝kx＋b.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝8y，))整理得x2－8kx－8b＝0，則x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b，設AB的中點為Q，則點Q的坐標為(4k,4k2＋b)，由條件設切線的方程為y＝kx＋t(t≠b)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,x2＝8y，))整理得x2－8kx－8t＝0.因為直線l與拋物線C相切，所以Δ＝64k2＋32t＝0，所以t＝－2k2.則x2－8kx＋16k2＝0，解得x＝4k，所以y＝2k2.所以切點N的坐標為(4k,2k2)．又點Q的坐標為(4k,4k2＋b)．所以NQ⊥x軸，所以|NQ|＝4k2＋b－2k2＝2k2＋b，因為|x2－x1|＝3，(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝64k2＋32b，所以2k2＋b＝eq\f(9,32).所以S△ABN＝eq\f(1,2)|NQ|·|x2－x1|＝eq\f(1,2)(2k2＋b)·|x2－x1|＝eq\f(27,64)，所以△ABN的面積為定值，且定值為eq\f(27,64).3．(2019·黃山模擬)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，設P，Q分別是橢圓C的上、下頂點，且四邊形PF1QF2的面積為2eq\r(3)，其內切圓周長為eq\r(3)π.(1)求橢圓C的方程；(2)當b＞c時，A，B為橢圓C上的動點，且PA⊥PB，試問：直線AB是否恒過一定點？若是，求出此定點的坐標；若不是，請說明理由．[解](1)依題意，四邊形PF1QF2的面積為2eq\r(3)，則4×eq\f(1,2)×b×c＝2eq\r(3)，即bc＝eq\r(3)，四邊形PF1QF2的內切圓周長為eq\r(3)π，設內切圓半徑為r.由2πr＝eq\r(3)π，得r＝eq\f(\r(3),2)，由bc＝ar＝eq\r(3)，得a＝2，又a2＝b2＋c2＝4，且bc＝eq\r(3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,c＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝\r(3).))所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)因為b＞c，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，則P(0，eq\r(3))．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝kx＋m，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx＋m，))消去y，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(－8km,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(4m2－12,4k2＋3)，Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＞0(*)，由PA⊥PB，可得eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝0，即(x1－0)(x2－0)＋(y1－eq\r(3))(y2－eq\r(3))＝0，即x1x2＋y1y2－eq\r(3)(y1＋y2)＋3＝0，又y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，所以eq\f(4m2－12,4k2＋3)＋eq\f(4k2m2－12k2,4k2＋3)－eq\f(8k2m2,4k2＋3)＋m2＋eq\f(8\r(3)k2m,4k2＋3)－2eq\r(3)m＋3＝0，整理得eq\f(7m2－6\r(3)m－3,