數(shù)學(xué)（江蘇專用新題型結(jié)構(gòu)）-2024年高考考前押題密卷（全解全析）

第第頁2024年高考考前押題密卷數(shù)學(xué)·全解全析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．的展開式中的系數(shù)是，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對，有，故的展開式中的系數(shù)為：，即.故選：D.2．在等差數(shù)列中，，．設(shè)，記為數(shù)列的前n項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由，得到，，從而求得，，，再由求解.【詳解】設(shè)的公差為d．因為，所以，，則，，．因為，所以，解得．故選：B3．已知直線的方程為(，為常數(shù))，曲線的方程為，則“”是“直線與曲線有公共點”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】曲線：，則，所以曲線表示以原點為圓心，半徑的圓在軸及軸上方部分，若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離，解得，即直線與曲線有公共點，可得，故必要性成立；當(dāng)，時直線的方程為，顯然直線與曲線沒有交點，故充分性不成立；所以“”是“直線與曲線有公共點”的必要不充分條件.故選：B4．已知是兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】由條件結(jié)合投影向量的定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論.【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，是兩個單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.5．如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為，山高為是山坡上一點，且．現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，公路上坡路段長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖，利用兩點間的距離，結(jié)合圖象，求最小值．【詳解】依題意，半徑為，山高為，則母線，底面圓周長，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角，如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，顯然，由點向引垂線，垂足為點，此時為點和線段上的點連線的最小值，即點為公路的最高點，段為上坡路段，段為下坡路段，由直角三角形射影定理知，即，解得，所以公路上坡路段長為．故選：D6．在中，已知．若，則（

）A．無解 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由可得，進(jìn)而得到，借助三角形內(nèi)角和與兩角和的正切公式可得，設(shè)，有，可得該方程無解，故不存在這樣的.【詳解】由，即，則，由，知，則，則，又，故，設(shè)，則，有，即，，即該方程無解，故不存在這樣三角形，即無解.故選：A.7．已知點O為坐標(biāo)原點，點在雙曲線C：上，過點P作C的一條漸近線的平行線與另一條漸近線交于點Q．若的面積為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由點在雙曲線上可得，不妨設(shè)直線與漸近線平行，結(jié)合點到直線距離公式，表示的面積，列方程化簡可得，由此可求，根據(jù)離心率的定義求結(jié)論.【詳解】由點在雙曲線C上，得，即．不妨設(shè)直線與漸近線平行，則其方程為．與聯(lián)立，得．所以，點P到直線（即）的距離，所以的面積為，解得．由，化簡得，解得或（舍去）．所以，，所以，所以．故選：A．8．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.【詳解】,,,,,,,故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵是通過計算觀察得到,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．已知隨機變量服從二項分布，則B．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C．已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D．若事件滿足，則事件相互獨立【答案】AD【分析】根據(jù)根據(jù)二項分布知識可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布知識可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)可判斷C，根據(jù)條件概率知識可判斷D.【詳解】因為隨機變量服從二項分布，則，故A正確；因為隨機變量服從正態(tài)分布，則對稱軸為，，故B錯誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯誤；因為，所以，所以事件相互獨立.故選：AD.10．已知，且，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】ACD【分析】設(shè)，由對數(shù)運算及單調(diào)性判斷ACD，特值法判斷B.【詳解】因為，設(shè)對A，知，易知.選項A正確.對C，因為，，，所以，，，于是，選項C正確.對D，若，則，即，則.由知.選項D正確.對B，取，則，而，此時，選項B錯誤.故選：ACD.11．已知直線是曲線上任一點處的切線，直線是曲線上點處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，B．存在，使得C．若與交于點時，且三角形為等邊三角形，則D．若與曲線相切，切點為，則【答案】AD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出兩直線斜率可判斷選項A、B；根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系及和差角公式求出，判斷選項C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率判斷選項D【詳解】由題意得，由，得，如圖，可知與交點是可得，，由，得，所以直線的斜率為，由，得，所以直線的斜率為，即直線的斜率等于直線的斜率，所以，故A對；因為，所以不存在，使得，故B錯；如圖，設(shè)的傾斜角分別為，因為三角形為等邊三角形，所以，又，所以當(dāng)，，整理得，所以（負(fù)值舍去）；當(dāng)，，整理得，所以（負(fù)值舍去）；所以，又由題意可得關(guān)于直線對稱，為等邊三角形，故C錯誤；若與曲線相切，切點為，則，即，又在上，所以，所以，即，故D對；故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線斜率，結(jié)合兩直線平行和垂直的斜率關(guān)系進(jìn)行判斷各項.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，若集合恰有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】解二次不等式化簡集合，再利用二次不等式解的形式與交集的結(jié)果即可得解.【詳解】因為，，又集合恰有兩個元素，所以恰有兩個元素1和2，所以.故答案為：.13．設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與相交于，兩點，，則直線的方程為，的面積為.【答案】12【分析】根據(jù)條件，得到，設(shè)直線的方程為，，，利用拋物線的定義得到，進(jìn)而求出，即可求出直線的方程，再聯(lián)立拋物線方程，求出，再利用，即可求出結(jié)果.【詳解】由焦點為，得，解得，則，設(shè)直線的方程為，，，不妨設(shè)，，則，由，得，解得，因為點在拋物線上，所以，解得，則，將點的坐標(biāo)代入直線方程，得，解得，故直線的方程為，即，將代入中，得，則，所以.故，故答案為：，.14．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用三角形面積公式與余弦定理，可得，再根據(jù)同角關(guān)系式可得，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得，結(jié)合條件可得取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍，令，則，然后由對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求出．【詳解】在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得，進(jìn)而可以求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù).(1)若的圖象在點處的切線與直線垂直，求的值;(2)討論的單調(diào)性與極值.【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)直線垂直可得，即可求解，（2）求導(dǎo)，對進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性和極值.【詳解】（1）由題得，的定義域為..

的圖象在點處的切線與直線l:2x垂直，，

解得6分（2）由（1）知.①當(dāng)時，恒成立.在上為減函數(shù)，此時無極值;

②當(dāng)時，由，得，由，得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為.

綜上可得，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，無極值;當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的極小值為，無極大值13分16．（15分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，點為線段的中點.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接，交于點，連接，利用線面平行的判定定理證明；（2）由已知可知，為等邊三角形，故，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得底面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角余弦值.【詳解】（1）連接，交于點，連接，因為側(cè)面是平行四邊形，所以為的中點，又因為點為線段的中點，所以，因為面，面，所以面6分（2）連接，，因為，，所以為等邊三角形，，因為點為線段的中點，所以，因為側(cè)面底面，平面平面，平面，所以底面，過點在底面內(nèi)作，如圖以為坐標(biāo)原點，分布以，，的方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，又因為平面的法向量為，則，經(jīng)觀察，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為15分17．（15分）某商場為了吸引客戶開展抽獎活動，在商場門口擺放有甲、乙、丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外都相同的5個球，其中甲箱有3個藍(lán)球和2個黑球，乙箱有4個紅球和1個白球，丙箱有2個紅球和3個白球，摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出1個球，若從甲箱中摸出的是藍(lán)球，則從乙箱中摸出1個球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個球；若從甲箱中摸出的是黑球，則從丙箱中摸出1個球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個球.(1)求最后從乙箱中摸出2個球顏色相同的概率；(2)若最后摸出的2個球顏色相同，求這2個球是從丙箱中摸出的概率；(3)若最后摸出每個紅球得消費抵扣券面值100元，每個白球得消費抵扣券面值50元，用隨機變量X表示顧客抽獎一次所得的面值數(shù)額，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)(3)，分布列見解析【分析】（1）根據(jù)題意分別求解從甲中摸出藍(lán)球與黑球的情況求解即可；（2）記事件為“這2個球是從丙箱中摸出的”，為“最后摸出的2個球顏色相同”，再分情況分別求解概率，結(jié)合條件概率公式求解即可；（3）由題意可知的所有可能取值為100，150，200，然后分別求概率可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意知，從甲箱中摸出藍(lán)球的概率，摸出黑球概率.記事件為“最后從乙箱中摸出的2個球顏色相同”，則3分（2）記事件為“這2個球是從丙箱中摸出的”，為“最后摸出的2個球顏色相同”，則.又因為.，所以8分（3）的所有可能取值為100，150，200，則，；.所以X的分布列為100150200的數(shù)學(xué)期望15分18．（17分）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)橢圓的右頂點為、是橢圓上不與頂點重合的動點．（i）若點，點在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點，設(shè)和的面積分別為，若，求點的坐標(biāo)：（ii）若直線與直線交于點，直線交軸于點，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析，【分析】（1）依題意可得，解得、、，即可得解；（2）（i）連接，由面積公式推導(dǎo)出，從而得到，即可求出的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出點坐標(biāo)；（ii）設(shè)直線的斜率為，的方程為，再求出直線的方程，聯(lián)立求出、點坐標(biāo)，從而求出的方程，即可求出點坐標(biāo)，再由斜率公式計算可得.【詳解】（1）由題意得，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3分（2）（i）由（1）可得，連接，因為，，所以，，，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），9分（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，所以，由，得，由，則，所以，則，，依題意、不重合，所以，即，所以，直線的方程為，令即，解得，，，為定值17分【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19．（17分）對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且．這種“變換”記作，繼續(xù)對數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束．(1)寫出數(shù)列，經(jīng)過6次“變換”后得到的數(shù)列；(2)若不全相等，判斷數(shù)列經(jīng)過不斷的“變換”是否會結(jié)束，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求的最小值．【答案】(1)；(2)不可能結(jié)束，理由見解析；(3)64.【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的新定義寫出經(jīng)過6次“變換”后得到的數(shù)列即可；（2）先假設(shè)數(shù)列經(jīng)過不斷的"變換"結(jié)束，不妨設(shè)最后的數(shù)列設(shè)數(shù)列，，，且，，則非零數(shù)量可能通過“變換”結(jié)束，或者數(shù)列為常數(shù)列，進(jìn)而得到可能出現(xiàn)的情況，推出矛盾，故假設(shè)不成立，即可證明；（3）先往后推幾項，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，假設(shè)1次“變換"后