2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考沖刺函數(shù)與幾何綜合

中考沖刺專題——函數(shù)與幾何綜合

類型一反比例、一次函數(shù)與集合綜合

k

1.反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖像經(jīng)過矩形Q43c對角線的交點(diǎn)"，分別與AB,BC

x

交于點(diǎn)D,E,若四邊形。的面積為9,則左的值為

k

2.矩形Q4BC中，41,0),C(0,2),雙曲線y=勺(0〈左<2)的圖像分別交于點(diǎn)

x

E,F,連接5人。跖=2邑防/，則左的值為

與對角線03交于點(diǎn)尸，以下結(jié)論：

①AQ4D與AOCE的面積和為2,貝k=2；

②②若3點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2),AD:DB=1:3,貝必=1；

③圖中一定有喘=裝

③若點(diǎn)尸是的中點(diǎn)且左=6,則四邊形。D3E的面積為12.

其中一定正確個(gè)數(shù)是()

A1B.2C.3D.4

4.正方形ABC。的邊長為10,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8,0）,點(diǎn)3在y軸上，若反比例函數(shù)>=七

的圖像經(jīng)過點(diǎn)C,則左的值為.

5.如圖，將等腰火地。鉆放置于平面直角坐標(biāo)系中，OA=AB=10,NA=90°,。是

AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)A,5重合），作NACD=60°交。4于點(diǎn)C,若點(diǎn)C,

k

AC=2AD都在雙曲線y=—（左>0,%>0）上，則女的值為（）

x

31

6.已知，如圖22,點(diǎn)A、5分別在反比例函數(shù)）=-一和丁二一上，OA±OB,連接AB與

xx

y=L交于點(diǎn)。，若。為AB中點(diǎn)，貝（JSAOAB二o

x

7.如圖，已知直線y=-犬+2分別與x軸，y軸交于A,5兩點(diǎn)，與雙曲線y二幺交于

x

E,尸兩點(diǎn)，若AB=2即，則上的值是

2

8.如圖，直線y=-九+4分別交x軸，y軸于A,5兩點(diǎn)，尸是反比例函數(shù)y=—(犬>0)圖

x

象上位于直線下文的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)交A5于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作

y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N,交A3于點(diǎn)產(chǎn)，則m?§￡=()

A.2A/2B.4C.4A/2D.8

9.如圖，直線>=-也x+6與y軸交于點(diǎn)A,與雙曲線丁=4在第一象限內(nèi)交于兩點(diǎn)5、

3x

B,且AB?AC=4,則左=.

10.(2019長沙)如圖，函數(shù)y=((%為常數(shù)，%>0)的圖象與過原點(diǎn)。的直線相交于A,

X

8兩點(diǎn)，點(diǎn)”是第一象限內(nèi)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)”在點(diǎn)A的左側(cè))，直線40分別交x軸，

y軸于C,D兩點(diǎn)，連接分別交x,y軸于點(diǎn)E,F,現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①△

與△OG4的面積相等；②若于點(diǎn)貝i]NM&L=3O。；③若點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為1,

△OAM為等邊三角形，則上=2+6；④若及牛=|〃3,則加D=2M4。其中正確結(jié)論的

序號(hào)是0(只填序號(hào))

11.(2018?湖南長沙?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=」(m為常

x

數(shù)，m>1,x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸，y軸分別交

于C,D兩點(diǎn)，點(diǎn)M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂

線，垂足分別為A,B.

(1)求乙OCD的度數(shù)；

(2)當(dāng)m=3,l<x<3時(shí)，存在點(diǎn)M使得△OPMs^ocP,求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)m=5時(shí)，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請說明你的理

k

12.如圖，直線丫=6+仇4/0)與雙曲線y=—(左片0)交于一、三象限內(nèi)的A、8兩點(diǎn)與x軸

x

2

交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,⑼，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(",-2),tanZBOC=y.

⑴求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)E為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，以AE為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)2,直接寫出點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)尸(sj)(s>2)在直線上運(yùn)動(dòng)，軸交雙曲線于〃，PN〃，軸交雙曲線于N,

直線MN分別交x軸，，軸于RG,求需譯值.

13.如圖，已知直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,P,Q為線段A2上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P在。的右側(cè))，且始終滿足乙2。。=45。.

(1)求證：△^。?！酢鱚尸。；

(2)記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為孫。的縱坐標(biāo)為〃，試判斷：P,。兩點(diǎn)在移動(dòng)的過程中，動(dòng)點(diǎn)

M(m,n)是否始終在一個(gè)確定的反比例函數(shù)上；若是，求出反比例函數(shù)的解析式；若不

是，也請說明理由；

(3)在(2)的情況下:

①請判斷：以線段AP,BQ,PQ圍成的三角形的形狀，并給出理由；

②若△A。。與△8尸。的面積相等時(shí)，記Ltan乙AOP,當(dāng)，W龍W1時(shí)，拋物線、=辦2-

t-

x+2mn(?<0)的最小值恰好等于以線段AP,BQ,尸。圍成的三角形的面積，求該拋物線

類型二二次函數(shù)與線段最值問題

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖像與x軸交于A(-1,O)、3(3,0),與y軸交

于點(diǎn)C(0,3).

⑴求二次函數(shù)的解析式；

(2)若平行于無軸的直線與拋物線交于〃、N兩點(diǎn)，與拋物線的對稱軸交于〃點(diǎn)，若點(diǎn)打到

x軸的距離是線段的g,求線段的長；

⑶拋物線的頂點(diǎn)為D,過定點(diǎn)。的直線＞=依-左+3與二次函數(shù)交于E、F,ZJEF外接圓

的圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，求該拋物線的解析式.

15.如圖，已知拋物線>=尤2+灰+。經(jīng)過原點(diǎn)o,它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)記作點(diǎn)C,對稱軸是

直線x=2,點(diǎn)尸在對稱軸上，從拋物線上的點(diǎn)A出發(fā)，沿對稱軸向上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r

秒，連接OP并延長交拋物線于點(diǎn)8.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖，連接OA,AC,當(dāng)點(diǎn)8位于直線AC下方的拋物線上(不與點(diǎn)A,C重合)

時(shí)，過點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)。求線段2。的最大值；

(3)連接A8,若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒g個(gè)單位，當(dāng)AAOB為直角三角形時(shí)，求r的

值.

類型三二次函數(shù)與角度問題

16.如圖，拋物線y=訃2_2ax-3a（a為常數(shù)，。<0）與x軸分別交于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在

點(diǎn)8的左側(cè)），與>軸交于點(diǎn)C,且O3=OC.

⑴求。的值；

⑵點(diǎn)。是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)%〃）是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接3。、

BC、CD、BP,當(dāng)=時(shí)，求加的值；

⑶點(diǎn)K為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，DK=2,點(diǎn)M為線段3K的中點(diǎn)，連接AM,當(dāng)A"最大時(shí),

求點(diǎn)K的坐標(biāo).

17拋物線>="2+。與X軸交于A、8兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P在拋物線上，且位于X軸下

方.

⑴如圖1,若尸(1,-3)、B(4,0),

①求該拋物線的解析式；

②若。是拋物線上一點(diǎn)，滿足乙。尸。=乙尸。2,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,已知直線以、與y軸分別交于E、尸兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，OF聯(lián)A；-OF是

否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

18.已知拋物線了=近2_4履+3左（%>0）與x軸交于A3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左邊），與

■V軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

⑵點(diǎn)E為無軸下方拋物線了=入2_4日+3左（％>0）上一動(dòng)點(diǎn).

①如圖2,若左=1時(shí)，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)H,直線AE交丁軸于點(diǎn)M,直線

BE交對稱軸DH于點(diǎn)、N,求MO+NH的值；

②如圖3,若％=2時(shí)，點(diǎn)/在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接E尸交無軸于點(diǎn)G,且滿足

NFBA=NEBA,當(dāng)線段E尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，NFG。的度數(shù)大小發(fā)生變化嗎？若不變，請求出

tan/FGO的值；若變化，請說明理由.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=依2+笈+。（。＞0）的頂點(diǎn)為加，經(jīng)過C（L1）,

且與x軸正半軸交于A,3兩點(diǎn)

（1）如圖1,連接0C,將線段0c繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得c落在y軸的負(fù)半軸上，求

點(diǎn)C的路徑長；

（2）如圖2,延長線段0C至N,使得ON=7L若NOBN=NONA,且

tanNABM=—,求拋物線的解析式；

2

（3）如圖3,拋物線＞="2+法+。的對稱軸為直線尤=^,與y軸交于（0,5）,經(jīng)過點(diǎn)C的

直線/：＞="+〃斗＞0）與拋物線交于點(diǎn)C、D,若在X軸上存在4、￡，使

ZCP.D=ZCP2D=90°,求上的取值范圍.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=G2-2ax-3a(awO)交x軸的負(fù)半軸

于點(diǎn)A,交x軸的正半軸于點(diǎn)8,交y軸的正半軸于點(diǎn)C,且。8=2OC.

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)和a的值；

⑵如圖L點(diǎn)。，P分別在一、三象限的拋物線上，其中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為。連接BP,交y

3

軸于點(diǎn)E,連接CDDE,設(shè)ACOE的面積為s,若$=t,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

4

⑶如圖2,在(2)的條件下，將線段。E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。F,射線AE與

射線網(wǎng)交于點(diǎn)G,連接AP,若4AG8=24AP5求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2L如圖，拋物線y=N+-+c交無軸于A、8兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),與y軸交于

點(diǎn)C(0,-3).

圖1圖2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,連接AC,點(diǎn)。為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線對稱軸與x軸

的交點(diǎn)，直線AQ、3。分別交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M、N.請問OM+OV是否為定值？如

果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由.

(3)如圖2,點(diǎn)尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足4=24ACO.求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

22.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-23分別交x軸正半軸于點(diǎn)

B,交了軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且AB=4.

⑴如圖L求。的值；

⑵如圖2,。是第一象限拋物線上的點(diǎn)，連AD,過點(diǎn)。作DM//y軸，交CB的延長線于

點(diǎn)M,連接40交8。于點(diǎn)N,若S"BN=S^DMN、求點(diǎn)。的坐標(biāo)以及tan/ZMB的值；

⑶如圖3,在⑵的條件下，連接A。，P是第一象限拋物線上的點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合），過

點(diǎn)尸作AD的垂線，交x軸于點(diǎn)尸，點(diǎn)￡在x軸上（點(diǎn)￡在點(diǎn)歹的左側(cè)），4=13,點(diǎn)G在

直線開＞上，連接EP、0G.若EP=OG、ZPEF+ZG=45,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

類型四二次函數(shù)與面積問題

23.如圖L已知拋物線y=or2+2x+c(。#0),與y軸交于點(diǎn)A(0,6),與無軸交于點(diǎn)B

(6,0).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若在此拋物線上有且只有三個(gè)P點(diǎn)使得△出8的面積是

定值S,求這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及定值S.

(3)若點(diǎn)尸是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸是(2)中位于直線AB上方的點(diǎn)，在拋物線

上是否存在一點(diǎn)。，使得P、。、B、廠為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫

出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存請說明理由.

\X\X

圖1備用圖

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4,0）,C（-1,O）與y

3

軸交于點(diǎn)2,已知tan/BAC=—.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1,點(diǎn)尸為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3,尸是拋物線上異于點(diǎn)P的點(diǎn)，連

接PAPB,當(dāng)S△9=5寸好求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；

⑶如圖2,點(diǎn)。為直線A3上方拋物線上一點(diǎn)，。。交A3于點(diǎn)DQE〃臺(tái)。交A3于點(diǎn)

E.記△"E,一QDB,△BD。的面積分別為S―邑，S3.求今+曾的最大值.

25.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線,=-/+云+2（6是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)

（2,2）.點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,0）,點(diǎn)B在該拋物線上，橫坐標(biāo)為1-.其中〃z<0.

⑴求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑶該拋物線與x軸的左交點(diǎn)為尸，當(dāng)拋物線在點(diǎn)尸和點(diǎn)3之間的部分（包括尸、5兩點(diǎn)）

的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2-機(jī)時(shí)，求用的值.

⑷當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)B作BC_Ly軸于點(diǎn)C,連結(jié)AC、80.若四邊形A0BC的

邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形A03C的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)

F,線段8。的中點(diǎn)為。.當(dāng)以點(diǎn)C、E、0、D（或以點(diǎn)C、F、。、D）為頂點(diǎn)的四

邊形的面積是四邊形A03C面積的一半時(shí)，直接寫出所有滿足條件的加的值.

26.已知拋物線C|:y=-1x2,將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得拋物線

圖1

⑴拋物線的解析式為：_

(2)如圖1,拋物線C?與x軸正半軸交于點(diǎn)A,直線y=gx+6經(jīng)過點(diǎn)A,交拋物線C?于另一

點(diǎn)A在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得=?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由；

⑶如圖2,MNE的頂點(diǎn)/、N在拋物線C1上，點(diǎn)/在點(diǎn)N右邊，兩條直線ME、NE

與拋物線C|均有唯一公共點(diǎn)，ME、均與＞軸不平行?若腦VE的面積為27,設(shè)/、

N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為優(yōu)、n,求優(yōu)與"的數(shù)量關(guān)系.

類型五二次函數(shù)與特殊三角形問題

27.二次函數(shù)的圖像與X軸交于兩點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,若J1OC或，3OC為等腰直

角三角形，則我們稱之為“梅斜拋物線”.

(1)如圖L請判斷二次函數(shù)y=-V-x+2的圖像是否是“梅斜拋物線”，并說明理由；

⑵如圖2,已知二次函數(shù)y=o%2+桁+c(awo)的圖像是"梅斜拋物線”，與y軸交于點(diǎn)

C(0,-3),與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)5,點(diǎn)3在x軸的正半軸，點(diǎn)。在線段0C上.

①若/CBD=/ACO,求。點(diǎn)坐標(biāo)；

②若=求△BCD的外接圓半徑.

28.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-gN+笈+c出。為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P,等腰

直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-1）,C的坐標(biāo)為（4,3）,平行于x軸，直

⑵平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)尸在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)。.

①若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、。三點(diǎn)為頂

點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②取BC的中點(diǎn)N,連接NP,BQ,試探究是否存在最大值？若存在，求出該最

Jyr+D（2

大值，若不存在，請說明理由.

29.如圖，在直角坐標(biāo)系中有RfAAOB,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB=l,tanZABO=3,將此三角

形繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到HACQD,二次函數(shù)y=-d+云+c的圖象剛好經(jīng)過

A,B,C三點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)過定點(diǎn)。的直線/：y=履-左+3與二次函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn).

①若S"“N=2,求左的值；

②證明：無論％為何值，APMN恒為直角三角形；

③當(dāng)直線/繞著定點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，APMN外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，直接寫出該拋物

線的表達(dá)式.

30.如圖，已知拋物線〉=依2_2以-30與天軸交于48兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且頂點(diǎn)

的縱坐標(biāo)為了，點(diǎn)。是線段8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別是線段08,OC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在點(diǎn)E,￡使得OEF為等邊三角形？若存在，請求出點(diǎn)E,尸的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)NBFD的度數(shù)最大時(shí)，求tan4OBF的值.

類型六二次函數(shù)與平行四邊形問題

31.如圖，拋物線y=/+fov+c(b、c是常數(shù))的頂點(diǎn)為C,與x軸交于A、3兩點(diǎn),

A(LO),AB=4,點(diǎn)尸為線段A3上的動(dòng)點(diǎn)，過尸作PQ〃8c交AC于點(diǎn)。.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)3是直線C4上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)且四邊形PCDE

是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶求CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

32.已知拋物線y=f+(租—1)X-2〃Z-2(WJ<-3)

(1)求證：無論機(jī)為何值，此拋物線恒過x軸上一定點(diǎn)；

(2)設(shè)拋物線恒過無軸上的定點(diǎn)為4與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為8,過點(diǎn)A的直線

y=fcr+Z?(左片0)與y軸交于點(diǎn)C,交拋物線對稱軸于點(diǎn)。，若直線>=辰+6(左片0)與拋物

線)=f+(〃2T)%-2m—2(機(jī)<一3)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且5AAM)=；5AAsc，求加'人的

值；

(3)(2)的條件下，在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)E,使得以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)

的四邊形為平行四邊形，如果存在直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.

*用

33.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=a(x+3)(x-1)(a>

0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)2的左側(cè)).

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足4MA。不大于45。，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)機(jī)

的取值范圍.

(3)經(jīng)過點(diǎn)8的直線/：y=fcv+b與y軸正半軸交于點(diǎn)C.與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)

D,且0=48。.若點(diǎn)尸在拋物線對稱軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)5D,P,Q為頂點(diǎn)

的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

類型七二次函數(shù)與相似問題

34.如圖，拋物線y=-d+/zx+c與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知8點(diǎn)的坐

標(biāo)為（3,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,3）.

⑴求拋物線的解析式；

（2）圖1中，點(diǎn)尸為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過P,B兩點(diǎn)作直線/交y軸于點(diǎn)

D,交直線AC于點(diǎn)E.是否存在這樣的直線/：以CD,E為頂點(diǎn)的三角形與3OD相

似？若存在，請求出這樣的直線/的解析式；若不存在，請說明理由.

⑶圖2中，點(diǎn)C和點(diǎn)C'關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)M在拋物線上，且

NMBA=ZCBC,求M點(diǎn)的橫坐標(biāo).

35.如圖，拋物線>=辦2-2ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,-2),頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-

Q

-),與X軸交于A、8兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

AF

(2)連接AC,E為直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和一的值.

AB

(3)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為H,當(dāng)。FC+BF取最小值時(shí)，在拋物線的對稱軸上是否存

在點(diǎn)。，使△QHF是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

36.已知拋物線y=a(x+3)(x-l)("0),與x軸從左至右依次相交于A、8兩點(diǎn)，與y軸相

⑵若在第四象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、尸為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求

點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B

出發(fā)，沿線段3E以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E再沿線段ED以每秒氈個(gè)單位的速

3

度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少？

37.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中直線y=x-l與拋物線"-犬+云+c交于A3兩點(diǎn)，其中

A（m,O）,B（4,?）該拋物線與V軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn)D.

⑴求相、”的值及該拋物線的解析式;

⑵如圖2.若點(diǎn)P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)（不與4。重合）.分別以AP、。尸為斜邊,在直線AD

的同側(cè)作等腰直角△APM和等腰直角△OPN,連接MN，試確定小MPN面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐

標(biāo).

⑶如圖3.連接8。、8,在線段8上是否存在點(diǎn)Q,使得以4D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△

的相似，若存在,請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

類型八二次函數(shù)與圓

B

圖3

(1)求乙AOB的度數(shù)；

⑵如圖2,以點(diǎn)A為圓心，4為半徑作。A,點(diǎn)M在。4上.連接。加、8M

①當(dāng)△OBM是以08為底的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

②如圖3,取0M的中點(diǎn)N,連接BN,當(dāng)點(diǎn)M在。A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段BN長度的取值范

圍.

39.已知一次函數(shù)：y=-3x-3與x軸交于點(diǎn)A,與y交于點(diǎn)C.拋物線

y=ax2-(4+m)ax+4ma(縱機(jī)為常數(shù))過定點(diǎn)8,連接8C,點(diǎn)。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求出點(diǎn)2的坐標(biāo)；

(2)過。作。尸，AC于點(diǎn)P,。。，苫于點(diǎn)。，設(shè)。點(diǎn)橫坐標(biāo)為f,DP長度為d,試求d

關(guān)于f的函數(shù)解析式；

(3)①當(dāng)機(jī)=0,。＞0時(shí)，該拋物線上存在唯一的點(diǎn)H使4CA”=45。，求此時(shí)拋物線的

解析式；

②過點(diǎn)。作。ELBC交線段08于點(diǎn)E,連接CE并延長交△OBC的外接圓于點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)

。在BC上移動(dòng)時(shí)，求ODEF的最大值.

圖1圖2

40.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=；xLbx+c交x軸于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(4,0),與y軸于交于點(diǎn)C(0,-2).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上取點(diǎn)D,若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5,求點(diǎn)D的坐標(biāo)及乙ADB的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線對稱軸/交x軸于點(diǎn)H,4ABD的外接圓圓心為M(如

圖1),

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)及。M的半徑；

②過點(diǎn)B作OM的切線交/于點(diǎn)P(如圖2),設(shè)Q為OM上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中

券的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由.

圖1圖2

Q

41.已知頂點(diǎn)為M(1,-)的拋物線y=a/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(0,4),且與尤軸交于A,

8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的右邊).

⑴求拋物線的解析式；

(2)若尸(X[,%),Q(4，％)是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)"2＜芯＜〃?+3,%25時(shí)，均有

求機(jī)的取值范圍；

⑶若在第一象限的拋物線的下方有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。，滿足D4=OA,過。作。GLx軸于點(diǎn)G,

設(shè)△AZJG的內(nèi)心為/,試求CI的最小值.

42.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(九0乂0＜根＜⑹、8(2亞,0),以A8為邊在x

軸下方作正方形ABCD,點(diǎn)E是線段。。與正方形ABCD的外接圓的交點(diǎn)，連接BE與AD

相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：BF=DO；

(2)若AE=OE，試求經(jīng)過3、F、。三點(diǎn)的拋物線/的解析式；

⑶在(2)的條件下，將拋物線/在無軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得

到一個(gè)新圖象，若直線3E向上平移t個(gè)單位與新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，試求t的取值范圍.

類型八二次函數(shù)與對稱旋轉(zhuǎn)

43.如圖，二次函數(shù)>=辦2+法+。的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,作

CELy軸交函數(shù)圖象上于點(diǎn)E,已知03=1,OC=CE=2,直線是拋物線的對稱軸，D

⑴求二次函數(shù)的解析式；

⑵連接AD,線段0C上的點(diǎn)N關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)V恰好在線段AD上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

⑶探究：拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)T,使得線段繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，點(diǎn)B的

對應(yīng)點(diǎn)？恰好也落在此拋物線上？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

44.如圖，拋物線y=aN+bx+c(a<0,a、b、c為常數(shù))與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸

交于8點(diǎn)，A(-4,0),C(1,0),B(0,3).

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)已知點(diǎn)M(孫0)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線/,分別與直線

A8和拋物線交于。、E兩點(diǎn)，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，恰好是以。E為底邊的等腰三角形；

(3)在(2)問條件下，當(dāng)△8OE恰好是以QE為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置

記為點(diǎn)防，將。腸繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON(旋轉(zhuǎn)角在0。到90。之間)；

NP

①探究：線段。8上是否存在定點(diǎn)P(P不與0、8重合)，無論ON如何旋轉(zhuǎn)，)始終保

NB

持不變，若存在，試求出尸點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；

2

②試求出此旋轉(zhuǎn)過程中，+的最小值.

45.已知拋物線、=-]/+云+4上有不同的兩點(diǎn)￡(3,左)和尸(-1,k).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，拋物線,=反+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和8,M為A8的

中點(diǎn)，4PMQ在A3的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且4PMQ=45。，MP交y軸于點(diǎn)C,MQ交x

軸于點(diǎn)。設(shè)的長為根(m>0),8C的長為w,求”和機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)機(jī)，〃為何值時(shí)，乙PMQ的邊過點(diǎn)尸.

0

46.如圖，已知拋物線y=一空尤+6與X軸交于A、8兩點(diǎn)(A點(diǎn)在8點(diǎn)的左側(cè)),

33

與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)。.

⑴請直接寫出A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)及/ACB的度數(shù)；

(2)如圖1,若點(diǎn)尸為拋物線對稱軸上的點(diǎn)，且NBPC=NOCB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)E、歹分別為線段AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且OE1O/，過E、歹分別作x

軸的垂線，垂足分別為M、N.在E、尸兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，試探究：

①4”是否是一個(gè)定值？如果是，請求出這個(gè)定值，如果不是，請說明理由；

DN

②若將VADE沿著翻折得到一,將V由m沿著/卯翻折得到_3力?,當(dāng)點(diǎn)歹從點(diǎn)

3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，求點(diǎn)A，和點(diǎn)？的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度之和.

類型九二次函數(shù)其他問題

47.(2019湖南長沙,中考真題)如圖，拋物線>=加+6"(a為常數(shù)，。>0)與x軸交于

O,A兩點(diǎn)，點(diǎn)8為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為a0)(-3<?<0),連接2。并延長與過

O,A,2三點(diǎn)的。尸相交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)C作。尸的切線CE交x軸于點(diǎn)E.①如圖1,求證：CE=OE；②如圖2,連接

AC,BE,BO,當(dāng)NCAE=NOBE時(shí)，求二----二的值

ODOE

s

圖1圖2

48.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一拋物