專題25 三角形綜合測試卷（解析版）

專題25三角形綜合測試卷參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若∠1=56°，則∠2的度數(shù)是（

）．

A．26° B．30° C．36° D．56°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠1=56°，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵直尺的兩邊平行，∴∠3=∠1=56°，又∵∠3=30°+∠2，∴∠2=∠3-30°=56°-30°=26°，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外交的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一個條件，不能證明

A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有【詳解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴當(dāng)∠A=∠D時，利用AAS可得△ABF≌當(dāng)∠AFB=∠DEC時，利用ASA可得△ABF≌當(dāng)AB=DC時，利用SAS可得△ABF≌當(dāng)AF=DE時，無法證明△ABF≌故選：D．3．（3分）（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）△ABC的三邊長a，b，c滿足(a-b)2+2a-b-3+|c-32A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由a2+b【詳解】解∵(a-b)又∵a-b2∴a-b2∴a-b=0解得a=3b=3c=3∴a2+b∴△ABC為等腰直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負數(shù)的和為0，每一個非負數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．4．（3分）（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=42，點P為AC邊上的中點，PM交AB的延長線于點M，PN交BC的延長線于點N，且PM⊥PN．若BM=1，則△PMN的面積為（

A．13 B．13 C．8 D．13【答案】D【分析】依據(jù)題意，連接BP，然后先證明△BMP≌△CNP，從而CN=BP=1，又由等腰Rt△ABC可得BC=4，從而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP=NP，從而可得【詳解】解：如圖，連接BP．

在Rt△ABC中，∠ABC=90°∵AB=BC，點P為AC邊上的中點，∴BP⊥AC，∠CBP=∠ABP=12∠ABC=45°，∠BCA=45°∴∠MBP=∠NCP=180°-45°=135°．∵BP⊥AC，PM⊥PN，∴∠BPM+∠MPC=90°，∠CPN+∠MPC=90°．∴∠BPM=∠CPN．又BP=CP，∠MBP=∠NCP，∴△BMP≌△CNPASA∴BM=CN=1，MP=NP．在Rt△BPC中，BC=∴在Rt△MBN中，MN=又在Rt△MPN中，MP=NP∴MP∴MP=NP=13∴S故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．5．（3分）（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線l1∥l2，菱形ABCD和等邊△EFG在l1，l2之間，點A，F(xiàn)分別在l1，l2上，點B，D，E，G在同一直線上：若

A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】如圖，由平角的定義求得∠ADB=180°-∠ADE=34°，由外角定理求得，∠AHD=∠α-∠ADB=16°，根據(jù)平行性質(zhì)，得∠GIF=∠AHD=16°，進而求得∠β=∠EGF-∠GIF=44°．【詳解】如圖，∵∠ADE=146°∴∠ADB=180°-∠ADE=34°∵∠α=∠ADB+∠AHD∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°-34°=16°∵l∴∠GIF=∠AHD=16°∵∠EGF=∠β+∠GIF∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44°

故選：C．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖．在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，點F是AB邊的中點，則DF=（

）

A．54 B．52 C．2 D【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可先求得CD的長度，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系，可求得AE的長度，根據(jù)三角形的中位線定理可求得答案．【詳解】∵∠CAD=90°，∴△CAD為直角三角形．∴CD=A∵點E為Rt△CAD的斜邊CD∴AE=1∵BD=DE，BF=FA，∴DF=1故選：A．【點睛】本題主要考查勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，牢記勾股定理、直角三角形的性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）、三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半）是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B、C在同一條線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線AC同側(cè)，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，連接DE，設(shè)AB=a，BC=b，DE=c，給出下面三個結(jié)論：①a+b<c；②a+b>a2

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】如圖，過D作DF⊥AE于F，則四邊形ACDF是矩形，則DF=AC=a+b，由DF<DE，可得a+b<c，進而可判斷①的正誤；由△EAB≌△BCD，可得BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE=∠CDB，則∠EBD=90°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=AB2+AE2=a2+b2，由【詳解】解：如圖，過D作DF⊥AE于F，則四邊形ACDF是矩形，

∴DF=AC=a+b，∵DF<DE，∴a+b<c，①正確，故符合要求；∵△EAB≌∴BE=BD，CD=AB=a，AE=BC=b，∠ABE=∠CDB，∵∠CBD+∠CDB=90°，∴∠CBD+∠ABE=90°，∠EBD=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=A∵AB+AE>BE，∴a+b>a2+由勾股定理得DE2=B∴c=2×a故選：D．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．8．（3分）（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．12 B．14 C．18 D．24【答案】C【分析】連接BD，由點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，可得點B、P、D在一條直線上，且BP:PD=2:1，S△BCD=12S△ABC，通過△BEP∽△BCD可得S△BEP=49S【詳解】解：如圖所示，連接BD，

，∵點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，∴點B、P、D在一條直線上，且∵PE∥AC，∴△BEP∽△BCD，∵BP:PD=2:1，∴BP:BD=2:3，∴S∴S∴S∵DF∥BC，∴△BEP∽△DFP，∵BP:PD=2:1，∴S△BEP∴S∵S∴S∴S故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線求面積，熟練掌握三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，把△ADE以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，點M為射線BD、CE的交點．若AB=3，AD=1①BD=CE；②BD⊥CE；③當(dāng)點E在BA的延長線上時，MC=3-④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段MB最短時，△MBC的面積為12其中正確結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】證明△BAD≌△CAE即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明∠DCM∽∠ECA得出MC3=3-12，即可判斷③；以A為圓心，AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙A相切時，MB的值最小，可得四邊形AEMD是正方形，在Rt△MBC中【詳解】解：∵△ABC和△ADE是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，∴BA=CA,DA=EA,∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，故①正確；設(shè)∠ABD=∠ACE=α，∴∠DBC=45°-α,∴∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+∠BCA+∠ACE=45°-α+45°+α=90°，∴BD⊥CE，故②正確；當(dāng)點E在BA的延長線上時，如圖所示

∵∠DCM=∠ECA，∠DMC=∠EAC=90°，∴∠DCM∽∠ECA∴MC∵AB=3，AD=1∴CD=AC-AD=3-1∴MC∴MC=3-32④如圖所示，以A為圓心，AD為半徑畫圓，

∵∠BMC=90°，∴當(dāng)CE在⊙A的下方與⊙A相切時，MB的值最小，∠ADM=∠DAE=∠AEM=90°∴四邊形AEMD是矩形，又AE=AD，∴四邊形AEMD是正方形，∴MD=AE=1，∵BD=EC=A∴MB=BD-MD=2在Rt△MBC中，∴PB取得最小值時，MC=AB∴S故④正確，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）10．（3分）（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC=140°，則∠BOD的度數(shù)為．

【答案】20°/20度【分析】根據(jù)鄰補角得出∠BOC=180°-140°=40°，再由角平分線求解即可．【詳解】解：∵∠AOC=140°，∴∠BOC=180°-140°=40°，∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=20°，故答案為：20°．【點睛】題目注意考查鄰補角及角平分線的計算，找準各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．11．（3分）（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交BC于點D．交AB于點E．連接CE．若CE=CA，∠ACE=40°，則∠B的度數(shù)為．

【答案】35°/35度【分析】先在△ACE中利用等邊對等角求出∠AEC的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=CE，再利用等邊對等角得出∠B=∠BCE，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵CE=CA，∠ACE=40°，∴∠A=∠AEC=180°-∠ACE∵DE是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，又∠AEC=∠B+∠BCE，∴∠B=35°．故答案為：35°．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握等腰三角形的等邊對等角是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為BC的中點，過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，若AC=4，CE=5，則CD

【答案】32/1【分析】先根據(jù)AAS證明△BDA≌△CDE，推出BA=CE=5，再利用勾股定理求出BC，最后根據(jù)中點的定義即可求CD的長．【詳解】解：∵CE∥∴∠BAD=∠CED，∵點D為BC的中點，∴BD=CD，又∵∠BDA=∠CDE，∴△BDA≌△CDEAAS，∴BA=CE=5，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4∴BC=A∴CD=1故答案為：32【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，證明△BDA≌△CDE是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

【答案】22.5°或45°或67.5°【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知∠A=∠A'=30°【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知∠A=∠A'=30°當(dāng)A'D=DE時，

由三角形的外角性質(zhì)得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠此情況不存在；當(dāng)A'

∠A'=30°由三角形的外角性質(zhì)得75°=30°+2α，解得α=22.5°；當(dāng)EA'=DE

∴∠DEA由三角形的外角性質(zhì)得120°=30°+2α，解得α=45°；當(dāng)A'D=A

∴∠ADC=∠A∴α=∠ACD=180°-30°-82.5°=67.5°；綜上，∠α的度數(shù)為22.5°或45°或67.5°．故答案為：22.5°或45°或67.5°．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=8，點C是線段AB上的動點，將線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，點F為DE的中點，連接AF

【答案】3【分析】連接CF，BF，BF，CD交于點P，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得BF垂直平分CF，∠ABF=60°為定角，可得點F在射線BF上運動，當(dāng)AF⊥BF時，【詳解】解：連接CF，BF，BF，∵∠DCE=90°，點F為∴FC=FD，∵∠E=30∴∠FDC=60°,∴△FCD是等邊三角形，∴∠DFC=∠FCD=60°；∵線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD∴BC=BD，∵FC=FD，∴BF垂直平分CF，∠ABF=60°，∴點F在射線BF上運動，∴當(dāng)AF⊥BF時，AF最小，此時∠FAB=90°-∠ABF=30°，∴BF=1∵∠BFC=1∴∠FCB=∠BFC+∠ABF=90°，∴BC=1∵PB=1∴由勾股定理得PC=B∴CD=2PC=23∴S△BCD

故答案為：3．【點睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點F的運動路徑是關(guān)鍵與難點．15．（3分）（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是AC延長線上的一點，CD=2．M是邊BC上的一點（點M與點B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作?CMND．連接AN并取AN的中點P，連接PM，則PM

【答案】2【分析】過點B作BN'∥CD交CD的延長線于點N'，連接AN'，過點P作BC的平行線交AN'于點P'，交AD于點P″，連接BP'【詳解】解：過點B作BN'∥CD交CD的延長線于點N'，連接AN'，過點P作BC的平行線交AN'于點P'，交

由題意得：點N在線段N'N″上運動（不與點N',N″故：BP'為PM的最大值，P″∵∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∵B∴∠∵?CMND且CD=2∴B∵P為AN的中點∴B∵P為AN的中點∴P″為A∴A∵∠ACB=45°∴P故P∵點M與點B、C不重合∴PM的取值范圍是2故答案為：2【點睛】本題綜合考查了勾股定理、動點軌跡問題．根據(jù)題意確定動點軌跡是解題關(guān)鍵．16．（3分）（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=23,AA1=2，點M

【答案】19【分析】：如圖，連接B1M，由題意可得：底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1，AB=23,AA1=2，點M為AC的中點，當(dāng)B1在右側(cè)處時，可得MB1=22+332=31，當(dāng)B1在下方時，由等邊三角形的性質(zhì)可得：B1K=232-32=3【詳解】解：如圖，連接B1M，由題意可得：底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C

當(dāng)B1∴BB1=A∴MB當(dāng)B1在下方時，由等邊三角形的性質(zhì)可得：B此時B1如圖，當(dāng)按下圖方式展開時，延長AC，過C1作C1N⊥AC于N，作B1T⊥AC于T，作C1K⊥∴C1N=KT，

則∠C∴∠B∵B1C1∴C1N=1，CN=3，C∴此時C,T重合，∴B1T=3+1=4，∴B1∵31>5>∴小蟲爬行的最短路程等于19．故答案為：19．【點睛】本題考查的是三棱柱的展開圖，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，最短路徑的理解，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB和CD相交于點O，AC∥BD，點O為AB的中點，求證：

【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠B，∠C=∠D，再由線段中點的定義得到△AOC≌△BOD，由此即可證明【詳解】證明：∵AC∥BD，∴∠A=∠B，∵點O為AB的中點，∴OA=OB，在△AOC和△BOD中，∠A=∠B∠C=∠D∴△AOC≌△BODAAS∴AC=BD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD，直線MN與AB,CD分別交于點E，F(xiàn)，CD上有一點G且GE=GF，∠1=122°．求

【答案】64°【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，從而得到∠EFG=58°，再由GE=GF，可得【詳解】解：∵AB∥CD∴∠DFE=∠1=122°，∴∠EFG=180°-∠DFE=58°，∵GE=GF，∴∠FEG=∠EFG=58°，∴∠2=180°-∠FEG-∠EFG=64°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，D為AB的中點，以CD為直角邊作含30°角的Rt△CDE，∠DCE=90°，且點E與點A在CD【答案】作圖見解析，線段AE的長為AE=23或【分析】先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AB=2BC=4，AC=3BC=23，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等邊三角形的判定證明△BCD為等邊三角形，可得∠BCD=∠BDC=60°，∠ACD=30°，分∠CED=30°和【詳解】解：如圖，當(dāng)∠CED=30°時，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=60∴∠BAC=90°-∠B=30°，又BC=2，∴AB=2BC=4，AC=3BC=2∵D為AB的中點，∴CD=BD=AD=1∴△BCD為等邊三角形，∴∠BCD=∠BDC=60°，∠ACD=30°，∵∠DCE=90°，DC=2，∴∠ACE=90°-∠ACD=60°，CE=3∴△ACE是等邊三角形，∴AE=AC=23如圖，當(dāng)∠CDE=30°時，

∵∠BDC=60°，∴∠ADE=∠BDC+∠CDE=90°在Rt△DCE中，DC=2，則DE=在Rt△ADE中，AD=2，則AE=綜上，滿足條件的線段AE的長為AE=23或AE=【點睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，熟練掌握等邊三角形和直角三角形的相關(guān)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．20．（8分）（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，D為AB上的一點，過點D作BC的平行線DE交AC于點E，點P是線段DE上的動點（點P不與D、E重合）．將△ABP繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACQ，連接EQ、PQ,PQ交

(1)證明：在點P的運動過程中，總有∠PEQ=120°．(2)當(dāng)APDP為何值時，△AQF【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用四點共圓知識解答即可．（2）只有∠AFQ=90°，△AQF是直角三角形，解答即可．【詳解】（1）∵等邊三角形ABC，∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，∵DE∥BC，∴∠AEP=∠ACB=60°，∵△ABP繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACQ，∴∠PAQ=60°,AP=AQ，∴△APQ時等邊三角形，∴∠AQP=∠APQ=60°，∴∠AQP=∠AEP=60°，∴A、∴∠APQ=∠AEQ=60°，∴∠PEQ=∠AEP+∠AEQ=120°．（2）如圖，根據(jù)題意，只有當(dāng)∠AFQ=90°時，成立，∵△ABP繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACQ，∴∠PAQ=60°,AP=AQ，∴△APQ時等邊三角形，∴∠PAQ=60°，∵∠AFQ=90°，

∴∠PAF=∠QAF=30°，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，∵DE∥BC，∴∠ADP=∠ABC=60°，∴∠DAP=30°,∠APD=90°，∴tan∠ADP=【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點共圓，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點共圓，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點O為AB的中點，點D在直線AB上（不與點A,B重合），連接CD，線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，過點B作直線l⊥BC，過點E作EF⊥l，垂足為點F，直線EF交直線OC(1)如圖，當(dāng)點D與點O重合時，請直接寫出線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點D在線段AB上時，求證：CG+BD=2(3)連接DE，△CDE的面積記為S1，△ABC的面積記為S2，當(dāng)EF:BC=1:3時，請直接寫出【答案】(1)EF=2(2)見解析．(3)59或17【分析】（1）可先證△BCD≌△BCE，得到BD=BE，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到BE和EF的數(shù)量關(guān)系，進而得到線段AD與線段EF的數(shù)量關(guān)系．（2）可先證△ACD≌△GEC，得到DA=CG，進而得到CG+BD=DA+BD=AB，問題即可得證．（3）分兩種情況：①點D在線段AB上，過點C作CN垂直于FG，交FG于點N，過點E作EM垂直于BC，交BC于點M，設(shè)EF=a，利用勾股定理，可用含a的代數(shù)式表示EC，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案．②點D在線段BA的延長線上，過點E作EJ垂直于BC，交BC延長線于點J,令EF交AC于點I,連接BE,設(shè)EF=b，可證△CDA≌△CEB，進一步證得△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ，利用勾股定理，可用含b的代數(shù)式表示EC，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案【詳解】（1）解：EF=2理由如下：如圖，連接BE．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CD=CE．由題意可知，△ABC為等腰直角三角形，∵CD為等腰直角三角形△ABC斜邊AB上的中線，∴∠BCD=45°，AD=BD．又∠DCE=90°，∴∠BCE=45°．在△BCD和△BCE中，CD=CE∴△BCD≌△BCE．∴BD=BE，∴∠EBF=45°．∴EF=BE·sin∴EF=2（2）解：∵CO為等腰直角三角形△ABC斜邊AB上的中線，∴AO=BO．∵∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠BCE．∵BC⊥l，EF⊥l，∴BC∥∴∠G=∠OCB=45°，∠GEC=∠BCE．∴∠G=∠A，∠ACD=∠GEC．在△ACD和△GEC中，∠ACD=∠GEC∴△ACD≌△GEC．∴DA=CG．∴CG+BD=DA+BD=AB=2（3）解：當(dāng)點D在線段AB延長線上時，不滿足條件EF:BC=1:3，故分兩種情況：①點D在線段AB上，如圖，過點C作CN垂直于FG，交FG于點N；過點E作EM垂直于BC，交BC于點M．設(shè)EF=a，則BC=AC=3a．根據(jù)題意可知，四邊形BFEM和CMEN為矩形，△GCN為等腰直角三角形．∴EF=BM=a，CM=NE=2a．由（2）證明可知△ACD≌△GEC，∴AC=GE=3a．∴NG=NC=a．∴NC=EM=a．根據(jù)勾股定理可知CE=E△CDE的面積S1與△ABC的面積SS②點D在線段BA的延長線上，過點E作EJ垂直于BC，交BC延長線于點J,令EF交AC于點I,連接BE,由題意知，四邊形FBJE，F(xiàn)BCI是矩形，∵∠DCE=∠ACB=90°∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE即∠DCA=∠ECB又∵CD=CE，CA=CB∴△CDA≌△CEB∴∠DAC=∠EBC而∠DAC=180°-∠CAB=180°-45°=135°∴∠EBC=135°∠EBJ=180°-∠EBC=45°∴△EBJ是等腰直角三角形，EJ=BJ設(shè)EF=b，則BC=IF=3b，EJ=BJ=CI=b∴EI=EF+IF=4bRt△CIE中，△CDE的面積S1與△ABC的面積SS【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知AB=AC,∠A>90°，點E為AC上一動點，將△ABE以BE為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進行如下探究：獨立思考：小明：“當(dāng)點D落在BC上時，∠EDC=2∠ACB．”小紅：“若點E為AC中點，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”實踐探究：奮進小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點D落在BC上時，求證：∠EDC=2∠ACB；（2）如圖2，若點E為AC中點，AC=4,CD=3，求BE的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A<90°的等腰三角形，可以將問題進一步拓展．問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，則求BC的長．【答案】（1）見解析；（2）3+572；問題2【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得∠ABC=∠C，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得∠BDE=∠A=180°-2∠C，根據(jù)鄰補角互補可得∠EDC+∠BDE=180°，即可得證；（2）連接AD，交BE于點F，則EF是△ADC的中位線，勾股定理求得AF,BF，根據(jù)BE=BF+EF即可求解；問題2：連接AD，過點B作BM⊥AD于點M，過點C作CG⊥BM于點G，根據(jù)已知條件可得BM∥CD，則四邊形CGMD是矩形，勾股定理求得AD，根據(jù)三線合一得出MD,CG，根據(jù)勾股定理求得【詳解】（1）∵等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到∴∠ABC=∠C，∠BDE=∠A=180°-2∠C，∵∠EDC+∠BDE=180°，∴∠EDC=2∠ACB；（2）如圖所示，連接AD，交BE于點F，

∵折疊，∴EA=ED，AF=FD，AE=12AC=2∵E是AC的中點，∴EA=EC，∴EF=1在Rt△AEF中，AF=在Rt△ABF中，BF=∴BE=BF+EF=3+問題2：如圖所示，連接AD，過點B作BM⊥AD于點M，過點C作CG⊥BM于點G，

∵AB=BD，∴AM=MD，∠ABM=∠DBM=1∵2∠BDC=∠ABD，∴∠BDC=∠DBM，∴BM∥∴CD⊥AD，又CG⊥BM，∴四邊形CGMD是矩形，則CD=GM，在Rt△ACD中，CD=1，AD=4,AD=∴AM=MD=152在Rt△BDM中，BM=∴BG=BM-GM=BM-CD=72在Rt△BCG中，BC=【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23．（8分）（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距