2020-2021學(xué)年福建省寧德市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）VIP

2020-2021學(xué)年福建省寧德市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=i（1+i）,貝Uz是（）

A.-1+iB.-1-zC.1+zD.1-i

2.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，事件B="第二枚出現(xiàn)偶

數(shù)點(diǎn)”，則事件A與事件B的關(guān)系為（）

A.A與8互斥B.A與8對(duì)立C.A與8獨(dú)立D.4與8相等

3.如圖1、圖2分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項(xiàng)支出的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)

兩戶居民旅游支出占全年總支出的百分比作出的判斷中，正確的是（）

A.甲戶比乙戶大B.乙戶比甲戶大

C.甲、乙兩戶一般大D.無法確定哪一戶大

4.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為（）

A.0°B.45°C.60°D.90°

5.已知〃7,〃是兩條直線.a,0是兩個(gè)平面，下列說法正確的是（）

A.若機(jī)〃〃，“〃a,貝！|機(jī)〃aB.若a_L0,mua,則

C.若機(jī)〃a,wua,則機(jī)〃〃D.若優(yōu)ua,貝！|a_L0

6.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投

籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,

4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃

的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：204978171935263321947468

579682,據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）

7.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事.其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣

于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬

劣于齊王的下等馬.若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)

選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）

52

AA.—BD.—C.—D.—

6336

8.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，已知

..，.....

AB=a,AD=b,AF=2FE，則AE=（）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)向量之=（1,-1）,b=（2,0），則（）

A-Ia-b|=Ia|

B.（a-b）//a

C（a-b）_La

D.W在式上的投影向量為（1,0）

10.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=〃+0i（其中〃、/?eR,i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=r（cosB+isin。）

的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：z〃=卜（cose+isin0）F

=產(chǎn)(cos〃e+isin"0)(w6N+)，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說

法正確的是()

A.當(dāng)r=l,8=惇，n=l時(shí)，平i

c.|訓(xùn)=|才4

D.理)1°在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為第三象限

11.已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N,若線段MN的最小值為2遍,

貝I]()

A.正四面體的外接球的表面積為96TT

B.正四面體的內(nèi)切球的體積為兀

C.正四面體的棱長(zhǎng)為12

D.線段MN的最大值為3找

12.新冠肺炎期間，某社區(qū)規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過6人體溫高于37.3°C,則稱

沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)7天體溫高于37.3C人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中，能判定該社

區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為()

A.中位數(shù)為4,眾數(shù)為3B.均值小于1,中位數(shù)為1

C.均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為?D.均值為3,眾數(shù)為4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知2=獸二，則|z|=.

14.在△ABC中，若6=1,c=M，ZC=^,則“=.

O

15.如圖，桌面上放置一個(gè)裝有水的圓柱形玻璃水杯，為杯底直徑，現(xiàn)以點(diǎn)2為支點(diǎn)將

TT

水杯傾斜，使A3所在直線與桌面所成的角為二丁，則圓柱母線與水面所在平面所成的角

0

等于

4B

16.菱形48co的邊長(zhǎng)為2,ZA=60°,M為。C的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊

界），則京??麗的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量7,E滿足2=（LI），lbl=l.

（1）若a,b的夾角9為i“，求a?b；

（2）若（Z+%）1E，求2與E的夾角.

18.如圖，在三棱柱ABC-421G中，AB±AC,AB=AC=1,。是BC的中點(diǎn).

（1）求證：48〃平面AOG；

（2）若面ABB/」面ABC,AAi±AB,44i=2,求幾何體48。-43G的體積.

19.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，從生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差（質(zhì)量差=

生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量-標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，單位機(jī)g）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

（1）求樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；

（2）公司從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質(zhì)量差進(jìn)行分揀，若質(zhì)量差在（W-s,彳+s）范圍內(nèi)的

產(chǎn)品為一等品，其余為二等品.其中彳，s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得s

-10（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

①若產(chǎn)品的質(zhì)量差為62mg,試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品；

②假如公司包裝時(shí)要求，3件一等品和2件二等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子

中摸出2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率.

*.*

0.010

0.005

46566?76X6?6聯(lián)囁整（單位mQ

20.現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①26sinA=atanB,@a(sinA-sinC)=bsinB-csinC,從中選出一個(gè)

條件補(bǔ)充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題.(選出一種可行的條件解答，若兩

個(gè)都選，則按第一個(gè)解答計(jì)分)

在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若.

(1)求B；

(2)若點(diǎn)。是邊AC靠近A的三等分點(diǎn)，且8。長(zhǎng)為1,求△ABC面積的最大值.

21.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約.甲表示只要面試合

格就簽約，乙丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)甲面試合

格的概率為春，乙丙每人面試合格的概率都是玄，且三人面試是否合格互不影響.求：

OTT

(1)恰有一人面試合格的概率；

(2)至多一人簽約的概率.

22.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉席”.已

知三棱錐尸-ABC中，PA_L平面ABC.

(1)從三棱錐尸-ABC中選擇合適的兩條棱填空.

若X，則該三棱錐為“鱉席”；

(2)已知三棱錐P-ABC是一個(gè)“鱉膈"，且AC=1,AB=2,ZBAC=60°,

①若△PAC上有一點(diǎn)。，如圖1所示，試在平面E4C內(nèi)作出一條過點(diǎn)。的直線/,使得

/與2。垂直，說明作法，并給予證明；

②若點(diǎn)。在線段PC上，點(diǎn)E在線段上，如圖2所示，且尸3,平面ED4,證明NEA2

是平面EAD與平面BAC的二面角的平面角.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(共8小題，每小題5分，共40分).

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=i(l+i),貝Uz是()

A.-1+iB.-1-zC.1+iD.1-i

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，即可求

解.

解：\"z—i(1+z)=-1+z,

,?z=-l-i-

故選：B.

2.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，事件B="第二枚出現(xiàn)偶

數(shù)點(diǎn)”，則事件A與事件B的關(guān)系為()

A.A與B互斥B.A與2對(duì)立C.A與8獨(dú)立D.A與2相等

【分析】事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生，故事件A與事件8既不是互斥事件，也不是對(duì)立

事件；P(A)=三=5，P(B)=?=5，P(AB)=?乂三==，由尸(AB)=尸(A)

6262664

P(B),得A與8獨(dú)立；事件A與事件2不相等.

解：擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，

事件8="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,

事件A與事件8能同時(shí)發(fā)生，故事件A與事件8既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故

A,B均錯(cuò)誤；

P(A)=§=《，P(B)=三=5，P(AB)=^-X^-=4>

6262664

VP(AB)=P(A)P(B),A與8獨(dú)立，故C正確；

事件A與事件2不相等，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

3.如圖1、圖2分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項(xiàng)支出的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)

兩戶居民旅游支出占全年總支出的百分比作出的判斷中，正確的是()

A.甲戶比乙戶大B.乙戶比甲戶大

C.甲、乙兩戶一般大D.無法確定哪一戶大

【分析】由柱狀圖計(jì)算出乙戶的旅游支出占比，再與甲的比較即可.

解：由餅狀圖，甲戶的旅游支出占25%；

1912

由柱狀圖，乙戶的旅游支出占1cc；c,0占"~=20%<25%.

1.2+2+1.Z+Lbb

故選：A.

4.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，AM與BN所成角的大小為（）

A.0°B.45°C.60°D.90°

【分析】把正方體的平面展開圖還原成正方體AOVE-CMEB,由此能求出AM與2N所

成角的大小.

解：如圖，把正方體的平面展開圖還原成正方體AOVE-CMFB,

,:CD〃BN,CDLAM,

：.AM±BN,

在這個(gè)正方體中，AM與8N所成角的大小為90°.

故選：D.

AD

5.已知根，〃是兩條直線.a,0是兩個(gè)平面，下列說法正確的是（）

A.若加〃"，n//a,則m〃aB.若mca,則m_L0

C.若機(jī)〃a,幾u(yù)a,則機(jī)〃〃D.若機(jī)ua,m±p,貝！Ja_L0

【分析】對(duì)于A,m//a或mua；對(duì)于8,相與0相交、平行或mcp；對(duì)于C,m與n

平行或異面；對(duì)于。，由面面垂直的判定定理得a，B.

解：由加，〃是兩條直線.a,0是兩個(gè)平面，知：

對(duì)于A,若加〃九，n//a,則加〃a或mua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于5,若。_10,mua,則機(jī)與0相交、平行或機(jī)U0,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加〃a,〃ua,則相與〃平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡）,若mua,m±p,則由面面垂直的判定定理得a_L0,故。正確.

故選：D.

6.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投

籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,

4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃

的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：204978171935263321947468

579682,據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）

13八2門4

AA.—Bo.---C.—D.—

51055

【分析】找出10組隨機(jī)數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的事件，計(jì)算所求的概率值.

解：根據(jù)10組隨機(jī)數(shù):204978171935263321947468579682,

表示三次投籃恰有兩次命中的事件是204,171,263,共3件；

所以該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為P=宜.

故選：B.

7.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事.其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣

于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬

劣于齊王的下等馬.若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)

選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）

.52?1?1

A.-B.—C.—D.—

6336

【分析】基本事件總數(shù)“=3X3=9,利用列舉法求出田忌的馬獲勝包含的基本事件有3

種情況，由此能求出田忌的馬獲勝的概率.

解：田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；

田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.

若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比

賽，

基本事件總數(shù)"=3X3=9,分別為：

田忌的上等馬對(duì)陣齊王的上等馬，田忌的上等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的上等馬對(duì)陣

齊王的下等馬，

田忌的中等馬對(duì)陣齊王的上等馬，田忌的中等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的上等馬對(duì)陣

齊王的下等馬，

田忌的下等馬對(duì)陣齊王的上等馬，田忌的下等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的下等馬對(duì)陣

齊王的下等馬，

田忌的馬獲勝包含的基本事件有3種情況，分別為：

田忌的上等馬對(duì)陣齊王的中等馬，田忌的上等馬對(duì)陣齊王的下等馬，田忌的中等馬對(duì)陣

齊王的下等馬，

則田忌的馬獲勝的概率為

yo

故選：c.

8.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，已知

AB=a,AD=b,AF=2FE，則AE=(

A

ARB

-泰亭-鎮(zhèn)4F

c-曰/D.齊亭

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.

解：???舒■=2FE，

?~~*-*-*-*2―*2-*2_*2y2-*

??AE=AD+DE=AD+wFB=AD?(杷一AF)=AD+5AB一百x^AE,

.13—,■_2—?—?

??司-杷=§研+知，

.—>_6—?9—

.,庇—U軟瓦卜

故選：c.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)向量；=(1,-1),b=(2,0)，則()

A-Ia-b|=Ia|

B.(a-b)//a

C(a-b)_La

D.Z在芯上的投影向量為(1,0)

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可

解：因?yàn)閆=(l,-1),b=(2,0)，所以Z-E=(T，-1)，

對(duì)A：Ia-bl=l'/2,所以la-H=lab故A正確；

對(duì)3因?yàn)镮X(-1)-(-1)X(-1)=-2W0,所以7V與之不平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：(a-b)>a=-1+1=0,所以(a-b),之，故C正確；

—?—?

對(duì)。：之在芯上的投影為吟=聾=1，則之在芯上的投影向量為(1，0),故D正確；

lb|2

故選：ACD.

10.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=〃+bi(其中〃、bER,i為虛數(shù)單位)都可以表示成：z=r(cos0+zsin0)

的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：z〃=卜(cose+isin0)?

=產(chǎn)(cosn0+zsinn0)(吒N+),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說

法正確的是()

A.當(dāng)r=l,8=?,n=l時(shí)，三。羋i

c.M=|z|4

D.(當(dāng)卷i)10在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為第三象限

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)Z的三角形,即可求解.

JT

解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)r=l,0=—,n=l

o

zi，故A選項(xiàng)正確，

22

對(duì)B選項(xiàng)，弓十呼i)3=(cos^-+s

)3=cosir+simii=-1,故8選項(xiàng)錯(cuò)誤,

對(duì)于C選項(xiàng),*/z=r(cos0+zsin0),

.*.z4=/4(cos49+zsin40),則團(tuán)=/,|z|4=/,\z^\=\z\4,故。選項(xiàng)正確,

對(duì)于。選項(xiàng)'i)1°=(cos^^+sin^-1)10=

1_j/3.即在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(春，二&)位于第四象限,

co黑兀+si2兀i=

2丁122

故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.己知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N,若線段MN的最小值為2娓,

則()

A.正四面體的外接球的表面積為96n

B.正四面體的內(nèi)切球的體積為8&兀

C.正四面體的棱長(zhǎng)為12

D.線段的最大值為3氓

【分析】設(shè)這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為。，利用分割補(bǔ)形法求其外接球的半徑，由等體積法求其

內(nèi)切球半徑，再由已知列式求解。，然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

解：設(shè)這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為。，

四面體可看作棱長(zhǎng)為*的正方體截得的，

故四面體的外接球即為正方體的外接球，

外接球直徑為正方體體對(duì)角線長(zhǎng)，2R外=，3X呼a)2=^a，

?□V6

??H外=---a,

4

四面體的高仁厚”根據(jù)等體積法，?g4義君”，解得廠內(nèi)=嘩°,

33312

a

依題意得R外_r內(nèi)=^^~Q~~^^~2，^，

.\a=12,故C正確；

正四面體外接球的半徑3近，則正四面體外接球的表面積為47iX54=216m故A錯(cuò)誤；

正四面體內(nèi)切球的半徑為遙，則內(nèi)切球的體積丫=今兀X6加=8遙兀，故B正確；

O

線段MN的最大值為：R外+廠內(nèi)=3遙+7^=4\后，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.新冠肺炎期間，某社區(qū)規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過6人體溫高于37.3°C,則稱

沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)7天體溫高于37.3C人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中，能判定該社

區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為()

A.中位數(shù)為4,眾數(shù)為3B.均值小于1,中位數(shù)為1

C.均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為?D.均值為3,眾數(shù)為4

【分析】根據(jù)題意，假設(shè)設(shè)連續(xù)7天，每天的體溫高于37.3C的人數(shù)分別為a,b,c,d,

e,f,g,且OWaWbWcWdWeW/Wg,由此依次分析選項(xiàng)，可得答案.

解：由題意，設(shè)連續(xù)7天，每天的體溫高于37.3C的人數(shù)分別為a,b,c,d,e,/,g,

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,a,b,c,d,e,f,g依次取3,3,3,4,5,5,7,則滿足中位數(shù)為4,眾數(shù)

為3,但是第7天的人數(shù)為7>6,不符合題意；

對(duì)于8,若g27,中位數(shù)為1,貝lj有，■(〃+b+c+d+e4#g)>/g21,與均值小于1矛盾，

可以判定該社區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，符合題意；

對(duì)于C,若均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為愿，則有—Ca+b+c+d+e+f+g)=2,y[(a-2)?+…+

(g-2)2]=3,變形可得〃+/?+c+d+e4戶g=14,(。-2)2+---+(g-2)2=21,

若g27,則(g-2)2225,與標(biāo)準(zhǔn)差為代矛盾，可以判定該社區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱,

符合題意；

對(duì)于。，a,b,c,d,e,f,g依次取0,1、2,3,4,4,7,滿足均值為3,眾數(shù)為4,

但是第7天的人數(shù)為7>6,不符合題意；

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知z=-,則|z|=1

1一/1

【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.

部.._l+2i_(l+2i)(l+2i)34.

的「亙=(12)(1+21)二萬二

故答案為：1.

14.在△A3C中，若b=l,。=炳，NC=21，則a=1

O

【分析】先根據(jù)b，c,Nc,由正弦定理可得sinB,進(jìn)而求得8,再根據(jù)正弦定理求得a.

1M

解：在△ABC中由正弦定理得sinB-.2兀，

sm3

'：b<c,

故,,人兀手則rIA=E兀

由正弦定理得一\b

sinAsinB

b.、一

.sinA=l

sinbD

故答案為：1

15.如圖，桌面上放置一個(gè)裝有水的圓柱形玻璃水杯，A3為杯底直徑，現(xiàn)以點(diǎn)3為支點(diǎn)將

水杯傾斜，使小斤在直線與桌面所成的角為看，則圓柱母線與水面所在平面所成的角

【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合能求出結(jié)果.

解：如圖，以點(diǎn)5為支點(diǎn)將水杯傾斜，使A3所在直線與桌面所成的角為丁,

b

NABD=3，水面所在直線跖〃桌面所在直線CO,NABF=3，

oZ

,兀

.?/CBF=H

0

...圓柱母線與水面所在平面所成的角ZEFB=ZCBF=^.

O

故答案為：-T-.

O

16.菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,ZA=60°,M為。C的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊

界)，則高?麗的最小值為-4.

【分析】設(shè)而在向量羸方向上的投影為無，結(jié)合圖形可知當(dāng)N點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)x最小，

所以(B『AM)min=BAAH,進(jìn)而可得答案.

解：設(shè)BN在向量AM方向上的投影為了，貝1JBN.AM=|AM|x，

當(dāng)x最小時(shí)，麗?前取得最小值，

結(jié)合圖形可知當(dāng)N點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)x最小，

所以(BNAM)min=BAAM=-AB(AD-^AB)=-(ADAB+^-AB)=

-(2X2Xy-kj-X22)=-4.

故答案為：-4.

A13

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量Z,E滿足2=（1，1），l%=L

（1）若a,b的夾角。為求a，b；

（2）若（Z+E）iE，求之與己的夾角.

【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算公式求解即可；

（2）由G+E）j_E得（；+E）E=o，進(jìn)而求出ZE=-i，再根據(jù)平面向量夾角公式求

解即可.

解：（1）a=（l,1），所以歷

所以a，b=|al-lb|cos^-=V2x

42

（2）因?yàn)椋╝+b）J_b，所以（a+b）b=0，

所以軟?b+b2=0，所以a?b=-L

ab二一］二_e

所以cos

Ia||b|V22

Qjr

因?yàn)?e[O,TI],所以8味一.

4

故之與E的夾角為箸.

18.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，ABLAC,AB=AC=1,。是8C的中點(diǎn).

（1）求證：A由〃平面ADG；

(2)若面A881A」面ABC,AAi±AB,AAi=2,求幾何體ABO-481cl的體積.

【分析】（1）連接4C,交AG于。，連接。。，可得OD〃AiB,再由直線與平面平行

的判定得AS〃平面ADCi；

（2）由平面A32iAi_L平面ABC,AB±AAi,利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得A4i_L平面

ABC,再由已知求得三棱錐ABC-A1B1G與三棱錐G-AOC的體積，作差可得幾何體

ABD-43G的體積.

【解答】（1）證明：連接4C,交AG于0,連接。。,

：?！辏┦茿CA出的中位線，J.OD//A1B,

又。。u平面A。。，ABiCiFffiADCi,

〃平面ADCi；

(2)解：?.?平面A88i4_L平面4BC,平面A2B14Cl平面A8C=AB,

ABLAAi,AAiu平面ABBiAi,

平面ABC,

'：AB±AC,AB=AC=1,且A4i=2,

X1X1X2=1,xx1X1X2

???WMIC1=|VC.-ADC^^iV

19.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，從生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差（質(zhì)量差=

生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量-標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，單位機(jī)g）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

（1）求樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；

（2）公司從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質(zhì)量差進(jìn)行分揀，若質(zhì)量差在（彳-s,彳+s）范圍內(nèi)的

產(chǎn)品為一等品，其余為二等品.其中彳，s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得s

-10（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

①若產(chǎn)品的質(zhì)量差為62mg,試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品；

②假如公司包裝時(shí)要求，3件一等品和2件二等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子

中摸出2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率.

*.*

0.010

0.005

46566?76X6?6聯(lián)囁整（單位mQ

【分析】（1）求出頻率力=0.1,月=0.2,力=0.45,力=0.2,力=0.05,力切切切=0.95；

力甘切=0.75,從而80%分位數(shù)一定位于［76,86）內(nèi)，由此能估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的80%分位

數(shù).

（2）①求出平均數(shù)，得到底-s,7+s）=（60,80）,再由62G（60,80）,得該產(chǎn)品

屬于一等品.

②記三件一等品為A,B,C,兩件二等品為a,b,利用列舉法求出摸出兩件產(chǎn)品總基本

事件共10個(gè)，

法一：

記A：摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品，利用列舉法求出A包含的基本事件共9個(gè)，

由此能求出所求概率.

法二：

記事件人摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品，A：摸出兩個(gè)產(chǎn)品，沒有一個(gè)一等品，基

本事件共一個(gè)（a，b）.利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出所求概率.

解：（1）因?yàn)轭l率力=01，速=02力=0.45,力=0.2,力=0.05,

力切切歷=0.95；力切切=0.75,

所以，80%分位數(shù)一定位于［76,86）內(nèi)，

所以76月*殳X10=76片警X10=78.5.

所以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為78.5.

（2）①￡51X0.1+61X0.2+71X0.45+81X0.2+91X0.05=7，

所以d-s,7+2）=（60,80）,又62e（60,80）

可知該產(chǎn)品屬于一等品.

②記三件一■等品為A,B,C,兩件二等品為a,b,

這是古典概型，摸出兩件產(chǎn)品總基本事件共10個(gè)，分別為：

(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),

(B,〃),(B,b),(C,〃),(C,b),(〃，b),

方法一：

記A：摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品，A包含的基本事件共9個(gè)，分別是：

(A,B),(A,C),(A,。),(A,b),(B,C),

(B,〃),(B,b),(C,a),(C,b),

所以P(A)=^.

方法二：

記事件A：摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品，

A：摸出兩個(gè)產(chǎn)品，沒有一個(gè)一等品，基本事件共一個(gè)(a,b).

Q

所以P(A)=1-P

20.現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①2bsinA=atanB,②a(sinA-sinC)—bsinB-csinC,從中選出一個(gè)

條件補(bǔ)充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題.(選出一種可行的條件解答，若兩

個(gè)都選，則按第一個(gè)解答計(jì)分)

在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若.

(1)求2；

(2)若點(diǎn)。是邊AC靠近A的三等分點(diǎn)，且8。長(zhǎng)為I,求AABC面積的最大值.

【分析】(1)①根據(jù)正弦定理以及同角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；②利用正弦定理和余弦定理

進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

(2)根據(jù)點(diǎn)。是邊AC靠近A的三等分點(diǎn)，方法1：根據(jù)條件得到關(guān)于a,c的關(guān)系式,

然后利用基本不等式求出ac的范圍，再得到面積的最大值；方法2,直接利用余弦定理,

結(jié)合基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

解：(1)若選①，由2bsinA=atan8,得2sin8sinA=sinA至當(dāng)■

COSD

由sinAWO,sinBWO,得cosB='

因?yàn)锽e(0,TT),所以2=60°.

若選②，由a(sinA-sinC)—bsinB-csinC,得必M？-匕2=改

2工2_,2i

所以cosB=-----------節(jié)

ac2

因?yàn)锽e(0,n),所以8=60°.

?.1

（2）方法一：BCBA=accosB=yac,

BD=BA+AD=BA-t^-AC=BA-ty（AB+BO-yBA-

由|說|=L平方得?以2V記?年前?前,

,42122

B即n1節(jié)C『+g-c-a,

l=fc241a21.百Q(mào)學(xué)a,

所以4c

所以l＞|ac，即ac4|，當(dāng)且僅當(dāng)a=2c=?時(shí)，取等號(hào),

又白坐挈，此時(shí)a值且.a

所以S*

22

方法二：AABC中，由余弦定理，可得62=°2+°2_ac,

由NA￡)B+NC￡)8=7i,得cosZADB=-cosZCDB,

i2nv2

(W)+l~c2+l-a2

所以3----------=一------------

2X^-X12XybX1

oo

所以b2V(a2+2c2-3)，即〃2+4C2+2〃C=9,

由基本不等式，得9》2山.2c2+2ac=6ac

即ac《,，當(dāng)且僅當(dāng)a=2c=J§,取等號(hào)，

所以s[acsinB=噂ac＜乎X日壽，即S＜繆，

所以S=3y,此時(shí)且尊.

-axgV2

21.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約.甲表示只要面試合

格就簽約，乙丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)甲面試合

格的概率為當(dāng)，乙丙每人面試合格的概率都是玄，且三人面試是否合格互不影響.求：

OTT

(1)恰有一人面試合格的概率;

(2)至多一人簽約的概率.

【分析】(1)利用對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可；

(2)事件E：至多一人簽約，事件?恰好一人簽約，事件G：沒人簽約，然后由互斥

事件的加法公式得到尸(￡)=P(F)+P(G),再利用對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)

立事件的概率乘法公式分別求解尸(F)，尸(G),即可得到答案.