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2020-2021學(xué)年福建省寧德市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題(共8小題,每小題5分,共40分).
1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=i(1+i),貝Uz是()
A.-1+iB.-1-zC.1+zD.1-i
2.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,記事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)",事件B="第二枚出現(xiàn)偶
數(shù)點(diǎn)”,則事件A與事件B的關(guān)系為()
A.A與8互斥B.A與8對(duì)立C.A與8獨(dú)立D.4與8相等
3.如圖1、圖2分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項(xiàng)支出的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,下列對(duì)
兩戶居民旅游支出占全年總支出的百分比作出的判斷中,正確的是()
A.甲戶比乙戶大B.乙戶比甲戶大
C.甲、乙兩戶一般大D.無法確定哪一戶大
4.如圖是正方體的平面展開圖,則在這個(gè)正方體中,AM與BN所成角的大小為()
A.0°B.45°C.60°D.90°
5.已知〃7,〃是兩條直線.a,0是兩個(gè)平面,下列說法正確的是()
A.若機(jī)〃〃,“〃a,貝!|機(jī)〃aB.若a_L0,mua,則
C.若機(jī)〃a,wua,則機(jī)〃〃D.若優(yōu)ua,貝!|a_L0
6.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投
籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,
4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃
的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù):204978171935263321947468
579682,據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為()
7.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事.其中,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣
于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬
劣于齊王的下等馬.若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹,且雙方各自隨機(jī)
選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽,則田忌的馬獲勝的概率為()
52
AA.—BD.—C.—D.—
6336
8.如圖,由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,已知
..,.....
AB=a,AD=b,AF=2FE,則AE=()
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)
符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.設(shè)向量之=(1,-1),b=(2,0),則()
A-Ia-b|=Ia|
B.(a-b)//a
C(a-b)_La
D.W在式上的投影向量為(1,0)
10.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=〃+0i(其中〃、/?eR,i為虛數(shù)單位)都可以表示成:z=r(cosB+isin。)
的形式,通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn):z〃=卜(cose+isin0)F
=產(chǎn)(cos〃e+isin"0)(w6N+),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息,下列說
法正確的是()
A.當(dāng)r=l,8=惇,n=l時(shí),平i
c.|訓(xùn)=|才4
D.理)1°在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為第三象限
11.已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N,若線段MN的最小值為2遍,
貝I]()
A.正四面體的外接球的表面積為96TT
B.正四面體的內(nèi)切球的體積為兀
C.正四面體的棱長(zhǎng)為12
D.線段MN的最大值為3找
12.新冠肺炎期間,某社區(qū)規(guī)定:若任意連續(xù)7天,每天不超過6人體溫高于37.3°C,則稱
沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)7天體溫高于37.3C人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中,能判定該社
區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為()
A.中位數(shù)為4,眾數(shù)為3B.均值小于1,中位數(shù)為1
C.均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為?D.均值為3,眾數(shù)為4
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知2=獸二,則|z|=.
14.在△ABC中,若6=1,c=M,ZC=^,則“=.
O
15.如圖,桌面上放置一個(gè)裝有水的圓柱形玻璃水杯,為杯底直徑,現(xiàn)以點(diǎn)2為支點(diǎn)將
TT
水杯傾斜,使A3所在直線與桌面所成的角為二丁,則圓柱母線與水面所在平面所成的角
0
等于
4B
16.菱形48co的邊長(zhǎng)為2,ZA=60°,M為。C的中點(diǎn),若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊
界),則京??麗的最小值為.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知向量7,E滿足2=(LI),lbl=l.
(1)若a,b的夾角9為i“,求a?b;
(2)若(Z+%)1E,求2與E的夾角.
18.如圖,在三棱柱ABC-421G中,AB±AC,AB=AC=1,。是BC的中點(diǎn).
(1)求證:48〃平面AOG;
(2)若面ABB/」面ABC,AAi±AB,44i=2,求幾何體48。-43G的體積.
19.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,從生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件,測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差(質(zhì)量差=
生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量-標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量,單位機(jī)g)的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
(1)求樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù);
(2)公司從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質(zhì)量差進(jìn)行分揀,若質(zhì)量差在(W-s,彳+s)范圍內(nèi)的
產(chǎn)品為一等品,其余為二等品.其中彳,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得s
-10(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
①若產(chǎn)品的質(zhì)量差為62mg,試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品;
②假如公司包裝時(shí)要求,3件一等品和2件二等品裝在同一個(gè)箱子中,質(zhì)檢員每次從箱子
中摸出2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率.
*.*
0.010
0.005
46566?76X6?6聯(lián)囁整(單位mQ
20.現(xiàn)給出兩個(gè)條件:①26sinA=atanB,@a(sinA-sinC)=bsinB-csinC,從中選出一個(gè)
條件補(bǔ)充在下面的問題中,并以此為依據(jù)求解問題.(選出一種可行的條件解答,若兩
個(gè)都選,則按第一個(gè)解答計(jì)分)
在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若.
(1)求B;
(2)若點(diǎn)。是邊AC靠近A的三等分點(diǎn),且8。長(zhǎng)為1,求△ABC面積的最大值.
21.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試,面試合格者可正式簽約.甲表示只要面試合
格就簽約,乙丙則約定:兩人面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.設(shè)甲面試合
格的概率為春,乙丙每人面試合格的概率都是玄,且三人面試是否合格互不影響.求:
OTT
(1)恰有一人面試合格的概率;
(2)至多一人簽約的概率.
22.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉席”.已
知三棱錐尸-ABC中,PA_L平面ABC.
(1)從三棱錐尸-ABC中選擇合適的兩條棱填空.
若X,則該三棱錐為“鱉席”;
(2)已知三棱錐P-ABC是一個(gè)“鱉膈",且AC=1,AB=2,ZBAC=60°,
①若△PAC上有一點(diǎn)。,如圖1所示,試在平面E4C內(nèi)作出一條過點(diǎn)。的直線/,使得
/與2。垂直,說明作法,并給予證明;
②若點(diǎn)。在線段PC上,點(diǎn)E在線段上,如圖2所示,且尸3,平面ED4,證明NEA2
是平面EAD與平面BAC的二面角的平面角.
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題(共8小題,每小題5分,共40分).
1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=i(l+i),貝Uz是()
A.-1+iB.-1-zC.1+iD.1-i
【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的概念,以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,即可求
解.
解:\"z—i(1+z)=-1+z,
,?z=-l-i-
故選:B.
2.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,記事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)",事件B="第二枚出現(xiàn)偶
數(shù)點(diǎn)”,則事件A與事件B的關(guān)系為()
A.A與B互斥B.A與2對(duì)立C.A與8獨(dú)立D.A與2相等
【分析】事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生,故事件A與事件8既不是互斥事件,也不是對(duì)立
事件;P(A)=三=5,P(B)=?=5,P(AB)=?乂三==,由尸(AB)=尸(A)
6262664
P(B),得A與8獨(dú)立;事件A與事件2不相等.
解:擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,記事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,
事件8="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,
事件A與事件8能同時(shí)發(fā)生,故事件A與事件8既不是互斥事件,也不是對(duì)立事件,故
A,B均錯(cuò)誤;
P(A)=§=《,P(B)=三=5,P(AB)=^-X^-=4>
6262664
VP(AB)=P(A)P(B),A與8獨(dú)立,故C正確;
事件A與事件2不相等,故。錯(cuò)誤.
故選:C.
3.如圖1、圖2分別是甲、乙兩戶居民家庭全年各項(xiàng)支出的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,下列對(duì)
兩戶居民旅游支出占全年總支出的百分比作出的判斷中,正確的是()
A.甲戶比乙戶大B.乙戶比甲戶大
C.甲、乙兩戶一般大D.無法確定哪一戶大
【分析】由柱狀圖計(jì)算出乙戶的旅游支出占比,再與甲的比較即可.
解:由餅狀圖,甲戶的旅游支出占25%;
1912
由柱狀圖,乙戶的旅游支出占1cc;c,0占"~=20%<25%.
1.2+2+1.Z+Lbb
故選:A.
4.如圖是正方體的平面展開圖,則在這個(gè)正方體中,AM與BN所成角的大小為()
A.0°B.45°C.60°D.90°
【分析】把正方體的平面展開圖還原成正方體AOVE-CMEB,由此能求出AM與2N所
成角的大小.
解:如圖,把正方體的平面展開圖還原成正方體AOVE-CMFB,
,:CD〃BN,CDLAM,
:.AM±BN,
在這個(gè)正方體中,AM與8N所成角的大小為90°.
故選:D.
AD
5.已知根,〃是兩條直線.a,0是兩個(gè)平面,下列說法正確的是()
A.若加〃",n//a,則m〃aB.若mca,則m_L0
C.若機(jī)〃a,幾u(yù)a,則機(jī)〃〃D.若機(jī)ua,m±p,貝!Ja_L0
【分析】對(duì)于A,m//a或mua;對(duì)于8,相與0相交、平行或mcp;對(duì)于C,m與n
平行或異面;對(duì)于。,由面面垂直的判定定理得a,B.
解:由加,〃是兩條直線.a,0是兩個(gè)平面,知:
對(duì)于A,若加〃九,n//a,則加〃a或mua,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于5,若。_10,mua,則機(jī)與0相交、平行或機(jī)U0,故8錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若加〃a,〃ua,則相與〃平行或異面,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于£),若mua,m±p,則由面面垂直的判定定理得a_L0,故。正確.
故選:D.
6.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投
籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生。到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,
4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃
的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù):204978171935263321947468
579682,據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為()
13八2門4
AA.—Bo.---C.—D.—
51055
【分析】找出10組隨機(jī)數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的事件,計(jì)算所求的概率值.
解:根據(jù)10組隨機(jī)數(shù):204978171935263321947468579682,
表示三次投籃恰有兩次命中的事件是204,171,263,共3件;
所以該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為P=宜.
故選:B.
7.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事.其中,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣
于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬
劣于齊王的下等馬.若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹,且雙方各自隨機(jī)
選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽,則田忌的馬獲勝的概率為()
.52?1?1
A.-B.—C.—D.—
6336
【分析】基本事件總數(shù)“=3X3=9,利用列舉法求出田忌的馬獲勝包含的基本事件有3
種情況,由此能求出田忌的馬獲勝的概率.
解:田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;
田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.
若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹,且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比
賽,
基本事件總數(shù)"=3X3=9,分別為:
田忌的上等馬對(duì)陣齊王的上等馬,田忌的上等馬對(duì)陣齊王的中等馬,田忌的上等馬對(duì)陣
齊王的下等馬,
田忌的中等馬對(duì)陣齊王的上等馬,田忌的中等馬對(duì)陣齊王的中等馬,田忌的上等馬對(duì)陣
齊王的下等馬,
田忌的下等馬對(duì)陣齊王的上等馬,田忌的下等馬對(duì)陣齊王的中等馬,田忌的下等馬對(duì)陣
齊王的下等馬,
田忌的馬獲勝包含的基本事件有3種情況,分別為:
田忌的上等馬對(duì)陣齊王的中等馬,田忌的上等馬對(duì)陣齊王的下等馬,田忌的中等馬對(duì)陣
齊王的下等馬,
則田忌的馬獲勝的概率為
yo
故選:c.
8.如圖,由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,已知
AB=a,AD=b,AF=2FE,則AE=(
A
ARB
-泰亭-鎮(zhèn)4F
c-曰/D.齊亭
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.
解:???舒■=2FE,
?~~*-*-*-*2―*2-*2_*2y2-*
??AE=AD+DE=AD+wFB=AD?(杷一AF)=AD+5AB一百x^AE,
.13—,■_2—?—?
??司-杷=§研+知,
.—>_6—?9—
.,庇—U軟瓦卜
故選:c.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)
符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.設(shè)向量;=(1,-1),b=(2,0),則()
A-Ia-b|=Ia|
B.(a-b)//a
C(a-b)_La
D.Z在芯上的投影向量為(1,0)
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可
解:因?yàn)閆=(l,-1),b=(2,0),所以Z-E=(T,-1),
對(duì)A:Ia-bl=l'/2,所以la-H=lab故A正確;
對(duì)3因?yàn)镮X(-1)-(-1)X(-1)=-2W0,所以7V與之不平行,故B錯(cuò)誤;
對(duì)C:(a-b)>a=-1+1=0,所以(a-b),之,故C正確;
—?—?
對(duì)。:之在芯上的投影為吟=聾=1,則之在芯上的投影向量為(1,0),故D正確;
lb|2
故選:ACD.
10.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=〃+bi(其中〃、bER,i為虛數(shù)單位)都可以表示成:z=r(cos0+zsin0)
的形式,通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn):z〃=卜(cose+isin0)?
=產(chǎn)(cosn0+zsinn0)(吒N+),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息,下列說
法正確的是()
A.當(dāng)r=l,8=?,n=l時(shí),三。羋i
c.M=|z|4
D.(當(dāng)卷i)10在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為第三象限
【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合復(fù)數(shù)Z的三角形,即可求解.
JT
解:對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)r=l,0=—,n=l
o
zi,故A選項(xiàng)正確,
22
對(duì)B選項(xiàng),弓十呼i)3=(cos^-+s
)3=cosir+simii=-1,故8選項(xiàng)錯(cuò)誤,
對(duì)于C選項(xiàng),*/z=r(cos0+zsin0),
.*.z4=/4(cos49+zsin40),則團(tuán)=/,|z|4=/,\z^\=\z\4,故。選項(xiàng)正確,
對(duì)于。選項(xiàng)'i)1°=(cos^^+sin^-1)10=
1_j/3.即在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(春,二&)位于第四象限,
co黑兀+si2兀i=
2丁122
故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:AC.
11.己知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N,若線段MN的最小值為2娓,
則()
A.正四面體的外接球的表面積為96n
B.正四面體的內(nèi)切球的體積為8&兀
C.正四面體的棱長(zhǎng)為12
D.線段的最大值為3氓
【分析】設(shè)這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為。,利用分割補(bǔ)形法求其外接球的半徑,由等體積法求其
內(nèi)切球半徑,再由已知列式求解。,然后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.
解:設(shè)這個(gè)四面體的棱長(zhǎng)為。,
四面體可看作棱長(zhǎng)為*的正方體截得的,
故四面體的外接球即為正方體的外接球,
外接球直徑為正方體體對(duì)角線長(zhǎng),2R外=,3X呼a)2=^a,
?□V6
??H外=---a,
4
四面體的高仁厚”根據(jù)等體積法,?g4義君”,解得廠內(nèi)=嘩°,
33312
a
依題意得R外_r內(nèi)=^^~Q~~^^~2,^,
.\a=12,故C正確;
正四面體外接球的半徑3近,則正四面體外接球的表面積為47iX54=216m故A錯(cuò)誤;
正四面體內(nèi)切球的半徑為遙,則內(nèi)切球的體積丫=今兀X6加=8遙兀,故B正確;
O
線段MN的最大值為:R外+廠內(nèi)=3遙+7^=4\后,故。錯(cuò)誤.
故選:BC.
12.新冠肺炎期間,某社區(qū)規(guī)定:若任意連續(xù)7天,每天不超過6人體溫高于37.3°C,則稱
沒有發(fā)生群體性發(fā)熱.下列連續(xù)7天體溫高于37.3C人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中,能判定該社
區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為()
A.中位數(shù)為4,眾數(shù)為3B.均值小于1,中位數(shù)為1
C.均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為?D.均值為3,眾數(shù)為4
【分析】根據(jù)題意,假設(shè)設(shè)連續(xù)7天,每天的體溫高于37.3C的人數(shù)分別為a,b,c,d,
e,f,g,且OWaWbWcWdWeW/Wg,由此依次分析選項(xiàng),可得答案.
解:由題意,設(shè)連續(xù)7天,每天的體溫高于37.3C的人數(shù)分別為a,b,c,d,e,/,g,
依次分析選項(xiàng):
對(duì)于A,a,b,c,d,e,f,g依次取3,3,3,4,5,5,7,則滿足中位數(shù)為4,眾數(shù)
為3,但是第7天的人數(shù)為7>6,不符合題意;
對(duì)于8,若g27,中位數(shù)為1,貝lj有,■(〃+b+c+d+e4#g)>/g21,與均值小于1矛盾,
可以判定該社區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱,符合題意;
對(duì)于C,若均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為愿,則有—Ca+b+c+d+e+f+g)=2,y[(a-2)?+…+
(g-2)2]=3,變形可得〃+/?+c+d+e4戶g=14,(。-2)2+---+(g-2)2=21,
若g27,則(g-2)2225,與標(biāo)準(zhǔn)差為代矛盾,可以判定該社區(qū)沒有發(fā)生群體性發(fā)熱,
符合題意;
對(duì)于。,a,b,c,d,e,f,g依次取0,1、2,3,4,4,7,滿足均值為3,眾數(shù)為4,
但是第7天的人數(shù)為7>6,不符合題意;
故選:BC.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知z=-,則|z|=1
1一/1
【分析】根據(jù)已知條件,運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,以及復(fù)數(shù)模的公式,即可求解.
部.._l+2i_(l+2i)(l+2i)34.
的「亙=(12)(1+21)二萬二
故答案為:1.
14.在△A3C中,若b=l,。=炳,NC=21,則a=1
O
【分析】先根據(jù)b,c,Nc,由正弦定理可得sinB,進(jìn)而求得8,再根據(jù)正弦定理求得a.
1M
解:在△ABC中由正弦定理得sinB-.2兀,
sm3
':b<c,
故,,人兀手則rIA=E兀
由正弦定理得一\b
sinAsinB
b.、一
.sinA=l
sinbD
故答案為:1
15.如圖,桌面上放置一個(gè)裝有水的圓柱形玻璃水杯,A3為杯底直徑,現(xiàn)以點(diǎn)3為支點(diǎn)將
水杯傾斜,使小斤在直線與桌面所成的角為看,則圓柱母線與水面所在平面所成的角
【分析】作出圖形,數(shù)形結(jié)合能求出結(jié)果.
解:如圖,以點(diǎn)5為支點(diǎn)將水杯傾斜,使A3所在直線與桌面所成的角為丁,
b
NABD=3,水面所在直線跖〃桌面所在直線CO,NABF=3,
oZ
,兀
.?/CBF=H
0
...圓柱母線與水面所在平面所成的角ZEFB=ZCBF=^.
O
故答案為:-T-.
O
16.菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,ZA=60°,M為。C的中點(diǎn),若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊
界),則高?麗的最小值為-4.
【分析】設(shè)而在向量羸方向上的投影為無,結(jié)合圖形可知當(dāng)N點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)x最小,
所以(B『AM)min=BAAH,進(jìn)而可得答案.
解:設(shè)BN在向量AM方向上的投影為了,貝1JBN.AM=|AM|x,
當(dāng)x最小時(shí),麗?前取得最小值,
結(jié)合圖形可知當(dāng)N點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)x最小,
所以(BNAM)min=BAAM=-AB(AD-^AB)=-(ADAB+^-AB)=
-(2X2Xy-kj-X22)=-4.
故答案為:-4.
A13
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知向量Z,E滿足2=(1,1),l%=L
(1)若a,b的夾角。為求a,b;
(2)若(Z+E)iE,求之與己的夾角.
【分析】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算公式求解即可;
(2)由G+E)j_E得(;+E)E=o,進(jìn)而求出ZE=-i,再根據(jù)平面向量夾角公式求
解即可.
解:(1)a=(l,1),所以歷
所以a,b=|al-lb|cos^-=V2x
42
(2)因?yàn)椋╝+b)J_b,所以(a+b)b=0,
所以軟?b+b2=0,所以a?b=-L
ab二一]二_e
所以cos
Ia||b|V22
Qjr
因?yàn)?e[O,TI],所以8味一.
4
故之與E的夾角為箸.
18.如圖,在三棱柱ABC-AiBiCi中,ABLAC,AB=AC=1,。是8C的中點(diǎn).
(1)求證:A由〃平面ADG;
(2)若面A881A」面ABC,AAi±AB,AAi=2,求幾何體ABO-481cl的體積.
【分析】(1)連接4C,交AG于。,連接。。,可得OD〃AiB,再由直線與平面平行
的判定得AS〃平面ADCi;
(2)由平面A32iAi_L平面ABC,AB±AAi,利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得A4i_L平面
ABC,再由已知求得三棱錐ABC-A1B1G與三棱錐G-AOC的體積,作差可得幾何體
ABD-43G的體積.
【解答】(1)證明:連接4C,交AG于0,連接。。,
:?!辏┦茿CA出的中位線,J.OD//A1B,
又。。u平面A。。,ABiCiFffiADCi,
〃平面ADCi;
(2)解:?.?平面A88i4_L平面4BC,平面A2B14Cl平面A8C=AB,
ABLAAi,AAiu平面ABBiAi,
平面ABC,
':AB±AC,AB=AC=1,且A4i=2,
X1X1X2=1,xx1X1X2
???WMIC1=|VC.-ADC^^iV
19.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,從生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件,測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差(質(zhì)量差=
生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量-標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量,單位機(jī)g)的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:
(1)求樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù);
(2)公司從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質(zhì)量差進(jìn)行分揀,若質(zhì)量差在(彳-s,彳+s)范圍內(nèi)的
產(chǎn)品為一等品,其余為二等品.其中彳,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得s
-10(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
①若產(chǎn)品的質(zhì)量差為62mg,試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品;
②假如公司包裝時(shí)要求,3件一等品和2件二等品裝在同一個(gè)箱子中,質(zhì)檢員每次從箱子
中摸出2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率.
*.*
0.010
0.005
46566?76X6?6聯(lián)囁整(單位mQ
【分析】(1)求出頻率力=0.1,月=0.2,力=0.45,力=0.2,力=0.05,力切切切=0.95;
力甘切=0.75,從而80%分位數(shù)一定位于[76,86)內(nèi),由此能估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的80%分位
數(shù).
(2)①求出平均數(shù),得到底-s,7+s)=(60,80),再由62G(60,80),得該產(chǎn)品
屬于一等品.
②記三件一等品為A,B,C,兩件二等品為a,b,利用列舉法求出摸出兩件產(chǎn)品總基本
事件共10個(gè),
法一:
記A:摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品,利用列舉法求出A包含的基本事件共9個(gè),
由此能求出所求概率.
法二:
記事件人摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品,A:摸出兩個(gè)產(chǎn)品,沒有一個(gè)一等品,基
本事件共一個(gè)(a,b).利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出所求概率.
解:(1)因?yàn)轭l率力=01,速=02力=0.45,力=0.2,力=0.05,
力切切歷=0.95;力切切=0.75,
所以,80%分位數(shù)一定位于[76,86)內(nèi),
所以76月*殳X10=76片警X10=78.5.
所以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為78.5.
(2)①£51X0.1+61X0.2+71X0.45+81X0.2+91X0.05=7,
所以d-s,7+2)=(60,80),又62e(60,80)
可知該產(chǎn)品屬于一等品.
②記三件一■等品為A,B,C,兩件二等品為a,b,
這是古典概型,摸出兩件產(chǎn)品總基本事件共10個(gè),分別為:
(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),
(B,〃),(B,b),(C,〃),(C,b),(〃,b),
方法一:
記A:摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品,A包含的基本事件共9個(gè),分別是:
(A,B),(A,C),(A,。),(A,b),(B,C),
(B,〃),(B,b),(C,a),(C,b),
所以P(A)=^.
方法二:
記事件A:摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品,
A:摸出兩個(gè)產(chǎn)品,沒有一個(gè)一等品,基本事件共一個(gè)(a,b).
Q
所以P(A)=1-P
20.現(xiàn)給出兩個(gè)條件:①2bsinA=atanB,②a(sinA-sinC)—bsinB-csinC,從中選出一個(gè)
條件補(bǔ)充在下面的問題中,并以此為依據(jù)求解問題.(選出一種可行的條件解答,若兩
個(gè)都選,則按第一個(gè)解答計(jì)分)
在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若.
(1)求2;
(2)若點(diǎn)。是邊AC靠近A的三等分點(diǎn),且8。長(zhǎng)為I,求AABC面積的最大值.
【分析】(1)①根據(jù)正弦定理以及同角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解;②利用正弦定理和余弦定理
進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
(2)根據(jù)點(diǎn)。是邊AC靠近A的三等分點(diǎn),方法1:根據(jù)條件得到關(guān)于a,c的關(guān)系式,
然后利用基本不等式求出ac的范圍,再得到面積的最大值;方法2,直接利用余弦定理,
結(jié)合基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
解:(1)若選①,由2bsinA=atan8,得2sin8sinA=sinA至當(dāng)■
COSD
由sinAWO,sinBWO,得cosB='
因?yàn)锽e(0,TT),所以2=60°.
若選②,由a(sinA-sinC)—bsinB-csinC,得必M?-匕2=改
2工2_,2i
所以cosB=-----------節(jié)
ac2
因?yàn)锽e(0,n),所以8=60°.
?.1
(2)方法一:BCBA=accosB=yac,
BD=BA+AD=BA-t^-AC=BA-ty(AB+BO-yBA-
由|說|=L平方得?以2V記?年前?前,
,42122
B即n1節(jié)C『+g-c-a,
l=fc241a21.百Q(mào)學(xué)a,
所以4c
所以l>|ac,即ac4|,當(dāng)且僅當(dāng)a=2c=?時(shí),取等號(hào),
又白坐挈,此時(shí)a值且.a
所以S*
22
方法二:AABC中,由余弦定理,可得62=°2+°2_ac,
由NA£)B+NC£)8=7i,得cosZADB=-cosZCDB,
i2nv2
(W)+l~c2+l-a2
所以3----------=一------------
2X^-X12XybX1
oo
所以b2V(a2+2c2-3),即〃2+4C2+2〃C=9,
由基本不等式,得9》2山.2c2+2ac=6ac
即ac《,,當(dāng)且僅當(dāng)a=2c=J§,取等號(hào),
所以s[acsinB=噂ac<乎X日壽,即S<繆,
所以S=3y,此時(shí)且尊.
-axgV2
21.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試,面試合格者可正式簽約.甲表示只要面試合
格就簽約,乙丙則約定:兩人面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.設(shè)甲面試合
格的概率為當(dāng),乙丙每人面試合格的概率都是玄,且三人面試是否合格互不影響.求:
OTT
(1)恰有一人面試合格的概率;
(2)至多一人簽約的概率.
【分析】(1)利用對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可;
(2)事件E:至多一人簽約,事件?恰好一人簽約,事件G:沒人簽約,然后由互斥
事件的加法公式得到尸(£)=P(F)+P(G),再利用對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)
立事件的概率乘法公式分別求解尸(F),尸(G),即可得到答案.
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