普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試臨考沖刺卷（三）文科數(shù)學(xué)

普通高等學(xué)校2018年招生全國統(tǒng)一考試臨考沖刺卷(三)文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，∴，∴．選C．2．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位．特別是當(dāng)時(shí)，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最優(yōu)美的公式，數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由已知有，因?yàn)?，所以在第三象限，所以，，故表示的?fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限，選C．3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（陰影部分）圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形的概率為，則途中直角三角形中較大銳角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)小正方形的邊長為，直角三角形的直角邊分別為，，，由幾何概型可得，解得，（舍），所以直角三角形邊長分別為，，，直角三角形中較大銳角的正弦值為，選B．4．下列命題中：①“”是“”的充分不必要條件②定義在上的偶函數(shù)最小值為5；③命題“，都有”的否定是“，使得”④已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋_命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】①或，所以“”是“”的充分不必要條件；②因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)槎x區(qū)間為，所以，因此最小值為5；③命題“，都有”的否定是“，使得”；④由條件得，，；因此正確命題的個(gè)數(shù)為①②④，選C．5．《九章算術(shù)》中的玉石問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176兩），問玉、石重各幾何？”其意思為：“寶玉1立方寸重7兩，石料1立方寸重6兩，現(xiàn)有寶玉和石料混合在一起的一個(gè)正方體，棱長是3寸，質(zhì)量是11斤（即176兩），問這個(gè)正方體中的寶玉和石料各多少兩？”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個(gè)求解算法，運(yùn)行該程序框圖，則輸出的，分別為（）A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102，74【答案】C【解析】執(zhí)行程序：，，；，，；，，；，，，故輸出的，分別為，．故選：C．6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三視圖可知：該幾何體由兩部分構(gòu)成，一部分側(cè)放的四棱錐，一部分為四分之一球體，∴該幾何體的體積是，故選：D．7．已知實(shí)數(shù)，滿足：，則的最大值（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】根據(jù)不等式組畫出可行域是封閉的四邊形區(qū)域，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分類，當(dāng)時(shí)，令，，這時(shí)可行域?yàn)橹本€下方的部分，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)有最大值．當(dāng)時(shí)，令，，這時(shí)可行域?yàn)橹本€上方的部分，這時(shí)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)有最大值，代入得到最大值為．故答案為：D．8．設(shè)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將的圖象向右平移個(gè)單位后對應(yīng)的函數(shù)為，∵函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，所以有，即，又，，故，故選A．9．已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在圖象的下方，滿足；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在圖象的下方，滿足；所以滿足的解集為或，故選D．10．若正項(xiàng)遞增等比數(shù)列滿足，則的最小值為（）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最小值為，選D．11．設(shè)正三棱錐的高為，且此棱錐的內(nèi)切球的半徑，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取線段中點(diǎn)，設(shè)在底面的射影為，連接，，設(shè)，則，設(shè)，則正三棱錐的表面積，由體積得，，，，，，，選D．12．已知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如下圖，，，，令，則，因?yàn)橐腥齻€(gè)零點(diǎn)，∴有解，設(shè)為，，由，根據(jù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，，，符合題意，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可求得，不符合題意．綜上所述，，故選D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．向量，滿足，，與的夾角為，則________．【答案】【解析】由可得，即，代入可得，整理可得，解得，故答案為．14．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且不在直線上，則周長的最小值為____________．【答案】【解析】由拋物線定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于這點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即．所以周長，填．15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，且，則面積的最大值為________．【答案】【解析】由已知有，，由于，，又，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．故面積的最大值為．16．過雙曲線的焦點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于(、分別為雙曲線的實(shí)半軸長與虛半軸長)．已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)是雙曲線上位于第四象限的任意一點(diǎn)，直線是雙曲線的經(jīng)過第二、四象限的漸近線，于點(diǎn)，且的最小值為，則雙曲線的通徑為__________．【答案】【解析】如圖所示：連接，由雙曲線的定義知，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)，由到直線的距離，，由定義知通徑等于，故答案為．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分，每個(gè)試題12分．17．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴當(dāng)時(shí)，，得；····1分當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即，····3分又，····4分∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．····5分∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．····6分（2）由（1）知，，····7分，····8分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；····10分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，∴．····12分18．2018年為我國改革開放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數(shù)分布表如下：年齡段人數(shù)（單位：人定：此單位45歲~59歲為中年人，其余為青年人，現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會(huì)的觀眾．（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事，其余人熱衷關(guān)心民生大事．完成下列列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)？熱衷關(guān)心民生大事不熱衷關(guān)心民生大事總計(jì)青年12中年5總計(jì)30（3）若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機(jī)抽取2人上臺(tái)表演節(jié)目，則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少？0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828．【答案】（1），；（2）列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)；（3）．【解析】（1）抽出的青年觀眾為18人，中年觀眾12人····2分（2）列聯(lián)表如下：熱衷關(guān)心民生大事不熱衷關(guān)心民生大事總計(jì)青年61218中年7512總計(jì)131730····4分，····6分∴沒有的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)．····7分（3）熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾有6人，記能勝任才藝表演的四人為，，，，其余兩人記為，，則從中選兩人，一共有如下15種情況：，，，，，，，，，，，，，，，····10分抽出的2人都能勝任才藝表演的有6種情況，····11分所以．····12分19．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，平面平面，，，在棱上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)在何處時(shí)，平面；（2）已知為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面；（2）．【解析】（1）如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，····2分證明∵四邊形是菱形，可得：，又∵為的中點(diǎn)，可得：，∴為的中位線，····3分可得，····4分

又∵平面，平面，∴平面．····6分（2）為的中點(diǎn)，，則，又，，且，又，．．．····9分又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，到平面的距離為．····11分．····12分20．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線與線段交于點(diǎn)．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線（斜率存在）與曲線相交于，兩點(diǎn)，且存在點(diǎn)（其中，，不共線），使得被軸平分，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，，圓的半徑為，依題意有：，····1分····3分故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，即，，．故點(diǎn)的軌跡的方程為．····5分（2）令，，因，，不共線，故的斜率不為0，可令的方程為：，則由，得則，①····7分被軸平分，，即，亦即②····8分而代入②得：③····9分①代入③得：····10分∵直線的斜率存在，∴，∴，此時(shí)的方程為：，過定點(diǎn)，綜上所述，直線恒過定點(diǎn)．····12分21．設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）由題意得，．····1分當(dāng)時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，；∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增····2分當(dāng)時(shí)，令得，，①當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以f(x)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減····3分②當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增····4分③當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．····5分（2）令，有．····6分令，有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．∴，即．····7分①當(dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增，，不等式恒成立····9分②當(dāng)，時(shí)，有一個(gè)解，設(shè)為根．∴有，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，；單調(diào)遞增，有．∴當(dāng)時(shí)，不恒成立；····11分綜上所述，的取值范圍是．····12分（二）選考題（共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做第一題計(jì)分）22．【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，），將曲線經(jīng)過伸縮變換：得到曲線．（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（2）若直線（為參數(shù)）與，相交于，兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）的普通方程為，把，代入