北師大版年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《同步考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》專題1.4線段的垂直平分線(知識(shí)解讀)(原卷版+解析)

專題1.4線段的垂直平分線（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解線段垂直平分線的概念.2.探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理.【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線知識(shí)點(diǎn)2：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知識(shí)點(diǎn)3：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上【典例分析】【考點(diǎn)1：垂直平分線的性質(zhì)】【典例1】（秋?慈溪市期末）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5，△ABD的周長(zhǎng)為16，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18 B．21 C．24 D．26【變式1-1】（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，△BCE的周長(zhǎng)為18，則AC的長(zhǎng)等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【變式1-2】（大石橋市模擬）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝4cm，△ABD的周長(zhǎng)為14cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm【變式1-3】（2021春?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，邊AC的垂直平分線分別AC、BC于點(diǎn)F、G、若BC＝4，則△AEG的周長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．8 D．4【典例2】（2021春?嶗山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度數(shù)為（）A．31° B．62° C．87° D．93°【變式2-1】（2020秋?鄒城市期末）如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，且分別交AB，AC于點(diǎn)D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠EBC等于度．【變式2-2】（秋?東臺(tái)市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝28°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝°．【變式2-3】（2021秋?蘇州期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且AE＝AB．（1）求證：∠B＝2∠C；（2）若AC＝10，AD＝6，求△ABC的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)2：垂直平分線的逆定理】【典例3】如圖，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線．【變式3】如圖，P是∠MON的平分線上的一點(diǎn)，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B．求證：PO垂直平分AB．【考點(diǎn)3：尺規(guī)作圖】【典例5】電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔P，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔P的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡） 【變式5】（2020秋?西山區(qū)期末）尺規(guī)作圖：已知∠AOB和C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)作圖找出一點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到OA，OB的距離相等，而且E點(diǎn)到C，D的距離也相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）專題1.4垂直平分線（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解線段垂直平分線的概念.2.探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理.【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；2.作直線CD，CD為所求直線知識(shí)點(diǎn)2：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知識(shí)點(diǎn)3：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上【典例分析】【考點(diǎn)1：垂直平分線的性質(zhì)】【典例1】（秋?慈溪市期末）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5，△ABD的周長(zhǎng)為16，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18 B．21 C．24 D．26【答案】D【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝CE＝5，而△ABD的周長(zhǎng)是16，即AB+BD+AD＝16，∴AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝16+10＝26，即△ABC的周長(zhǎng)是26．故選：D【變式1-1】（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，△BCE的周長(zhǎng)為18，則AC的長(zhǎng)等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，由題意得，BC+CE+BE＝18，則BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，∴AC＝10，故選：B．【變式1-2】（大石橋市模擬）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝4cm，△ABD的周長(zhǎng)為14cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm【答案】B【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝EC＝4cm，而△ABD的周長(zhǎng)為14cm，即AB+BD+AD＝14cm，∴AB+BD+DC＝14cm，∴AB+BC+AC＝14cm+8cm＝22cm，即△ABC的周長(zhǎng)為22cm．故選：B．【變式1-3】（2021春?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，邊AC的垂直平分線分別AC、BC于點(diǎn)F、G、若BC＝4，則△AEG的周長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．8 D．4【答案】D【解答】解：∵ED，GF分別是AB，AC的垂直平分線，∴AE＝BE，AG＝GC，∴△AEG的周長(zhǎng)為AE+AG+EG＝BC＝4．故選：D．【典例2】（2021春?嶗山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度數(shù)為（）A．31° B．62° C．87° D．93°【答案】C【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝31°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝31°，∴∠A＝180°﹣31°×3＝87°，故選：C．【變式2-1】（2020秋?鄒城市期末）如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，且分別交AB，AC于點(diǎn)D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠EBC等于度．【答案】20【解答】解：∵A＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝50°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝70°﹣50°＝20°，故答案為：20．【變式2-2】（秋?東臺(tái)市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝28°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝°．【答案】96【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝28°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝28°，∴∠A＝180°﹣28°×3＝96°，故答案為：96°．【變式2-3】（2021秋?蘇州期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且AE＝AB．（1）求證：∠B＝2∠C；（2）若AC＝10，AD＝6，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C．（2）在直角三角形ACD中，∵∠ADC＝90°，∴＝8，∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，DE＝BE，∴AB+BC＝AB+BD+DE+CE＝2DE+2CE＝2CD＝2×8＝16，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝16+10＝26．【考點(diǎn)2：垂直平分線的逆定理】【典例3】如圖，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線．【解析】證明：∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB(等邊對(duì)等角)又∵∠ABD=∠ACD(已知)∴∠ABD-∠ABC=∠ACD-∠ACB(等式性質(zhì))即∠DBC=∠DCB∴DB=DC（等角對(duì)等邊）∵AB=AC（已知）DB=DC（已證）∴點(diǎn)A和點(diǎn)D都在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）∴AD是線段BC的垂直平分線?！咀兪?】如圖，P是∠MON的平分線上的一點(diǎn)，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B．求證：PO垂直平分AB．【解析】證明：∵OP是角平分線，∴∠AOP=∠BOP∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴∠OAP=∠OBP=90°∴在△AOP和△BOP中∴△AOP≌△BOP（AAS）∴OA=OB∴PO垂直平分AB（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.【考點(diǎn)3：尺規(guī)作圖】【典例5】電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔P，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔P的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【解析】解：設(shè)兩條公路相交于O點(diǎn)．P為線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線交點(diǎn)或是與∠QON