2023-2024學(xué)年上海市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

2023-2024學(xué)年上海市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、填空題（本大題共有12題，4'*6+5'*6＝54'）1．（4分）設(shè)集合P＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，Q＝{（x，y）|y＝﹣x+7，x∈R}，則P∩Q＝．2．（4分）若要用反證法證明“對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，若a≠c，則a≠b或b≠c”，應(yīng)假設(shè)．3．（4分）空間向量＝（2，2，﹣1）的單位向量的坐標(biāo)是．4．（4分）已知點(diǎn)P（t≠0）是角α其終邊上一點(diǎn)，若，則sinα＝．5．（4分）已知a，b∈R且a≠0，則的最小值是．6．（4分）已知的展開式中的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，若從展開式中任意抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)的概率為．7．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，n∈N*．若{an}是等差數(shù)列，則{an}的通項(xiàng)公式為．8．（5分）已知函數(shù)，將y＝f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，若y＝g（x）的圖象上最高點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離的最小值為1，則φ的值為．9．（5分）已知等腰三角形腰上的中線長為2，則該三角形的面積的最大值是．10．（5分）直線ax+by+c＝0與半圓x2+y2＝1（y≥0）交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)OA，OB的傾斜角是α，β，則cos（α+β）＝．11．（5分）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，他是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人，并且有意識(shí)地“以概念代替直覺”，以其名命名的函數(shù)D（x）＝為狄利克雷函數(shù)，現(xiàn)定義一個(gè)與狄利克雷函數(shù)類似的函數(shù)L（x）＝，則關(guān)于狄利克雷函數(shù)和L函數(shù)有以下四個(gè)結(jié)論：（1）D（1）＝L（1）；（2）函數(shù)L（x）是偶函數(shù)；（3）L函數(shù)圖象上存在四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，使得四邊形ABCD為菱形；（4）L函數(shù)圖象上存在三個(gè)點(diǎn)A、B、C，使得△ABC為等邊三角形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．?12．（5分）已知函數(shù)在R上恒取正值，則實(shí)數(shù)θ的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，4'*2+5'*2＝18'）（多選）13．（4分）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（）A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù) B．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)不等于x1，x2，…，x6的中位數(shù) C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差 D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差14．（4分）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓，下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060﹣90混合動(dòng)力汽車1050﹣60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A．p1＜3p3 B．p2＞10p3 C．p3＝1000p0 D．p2≤p1≤100p215．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A1C1上，若直線OP與平面A1BC1所成的角為θ，則sinθ的取值范圍是（）A． B． C． D．16．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，則（）A．當(dāng)a1＝3時(shí)，{an}為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M≤0，使得an＞M恒成立 B．當(dāng)a1＝5時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M≤6，使得an＜M恒成立 C．當(dāng)a1＝7時(shí)，{an}為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M＞6，使得an＞M恒成立 D．當(dāng)a1＝9時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M＞0，使得an＜M恒成立三、簡答題（本大題共有5題，14“3+18'*2＝78'）17．（14分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為2，M、N分別為A1B、AC的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面BCC1B1；（2）求A1B與平面A1B1CD所成角的大小．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足asinCcosB+bsinAcosC＝．（1）求角A；（2）若△ABC為銳角三角形，求4sin2B﹣4sinBsinC的取值范圍．19．（14分）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，．（1）求證{an﹣4}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求使不等式成立的所有正整數(shù)m，n的值．20．（18分）已知兩定點(diǎn)，，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y＝kx﹣1與曲線E交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．（1）求曲線E的方程；（2）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）如果，且曲線E上存在點(diǎn)C，使，求m的值和△ABC的面積S△ABC．21．（18分）已知f（x）＝lnx+，g（x）＝f（x）﹣x．（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）容易證明f（x）＞1對(duì)任意的x＞1都成立，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），P、Q為函數(shù)y＝f（x）圖像上橫坐標(biāo)均大于1的不同兩點(diǎn)，試證明：∠PMQ＜30°；（3）數(shù)列{an}滿足a1∈（0，1），an+1＝f（an），證明：．

參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，4'*6+5'*6＝54'）1．【分析】聯(lián)立直線方程，解出x，y，即可求解．【解答】解：集合P＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，Q＝{（x，y）|y＝﹣x+7，x∈R}，聯(lián)立，解得，故P∩Q＝{（3，4）}．故答案為：{（3，4）}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】假設(shè)結(jié)論的反面成立，即可求解．【解答】解：假設(shè)結(jié)論的反面成立，即a＝b且b＝c成立．故答案為：a＝b且b＝c成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反證法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】得出，從而得出的單位向量坐標(biāo)為：，然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算即可．【解答】解：，∴的單位向量的坐標(biāo)為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單位向量的定義及求法，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長度的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義可求t2+3的值，即可求解sinα的值．【解答】解：由題意|OP|＝，由cosα＝＝，解得t＝±，所以sinα＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查三角函數(shù)的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，即可容易求得結(jié)果．【解答】解：由絕對(duì)值三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)楫?dāng)a＞0時(shí)，；當(dāng)a＜0時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝±2時(shí)，等號(hào)成立，所以≥4，當(dāng)且僅當(dāng)或﹣2時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求得n，可得展開式系數(shù)有4項(xiàng)為奇數(shù)，3項(xiàng)為偶數(shù)，從而求得從展開式中任意抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)的概率．【解答】解：∵的展開式中的第4項(xiàng)為xn﹣6，為常數(shù)項(xiàng)，∴n＝6，故展開式的系數(shù)為，r＝0，1，2，3，4，5，6，其中，有4項(xiàng)為奇數(shù)，3項(xiàng)為偶數(shù)，故從展開式中任意抽取一項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)的概率為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，古典概率，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】利用等差數(shù)列的定義以及Sn，an的關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：已知，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a﹣1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2（a﹣2）n+（3﹣a），此時(shí)，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝4（a﹣2）+（3﹣a）＝3a﹣5，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1﹣an＝2（a﹣2），而a2﹣a1＝3a﹣5﹣（2a﹣1）＝a﹣4，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則2（a﹣2）＝a﹣4，所以a＝0，則an＝﹣4n+3．故答案為：an＝﹣4n+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬中檔題．8．【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）＝2sin（2x+2φ+），設(shè)g（x）的對(duì)稱軸x＝x0，由條件求得x0＝0，可得g（0）＝2，即2sin（2φ+）＝2，從而求得φ的值．【解答】解：把函數(shù)的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g（x）＝2sin[2（x+φ）+]＝2sin（2x+2φ+）的圖象，再根據(jù)y＝g（x）的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離的最小值為1，設(shè)g（x）的對(duì)稱軸x＝x0，則最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，2），它與點(diǎn)（0，3）的距離的最小值為1，即＝1，求得x0＝0，可得g（0）＝2，即2sin（2φ+）＝2，∴φ＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，三角恒等變換，圖象的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)性及相關(guān)的運(yùn)算問題，屬于中檔題．9．【分析】建系，設(shè)C（m，0），B（﹣m，0），A（0，n），可得D（，），進(jìn)而由題意可得BD2＝（）2+（）2＝4，故三角形的面積S＝mn＝??≤?＝，注意等號(hào)成立的條件即可．【解答】解：以等腰三角形底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)C（m，0），則B（﹣m，0），A（0，n），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得D（，），由題意可得BD2＝（）2+（）2＝4，∴三角形的面積S＝mn＝??≤?＝當(dāng)且僅當(dāng)＝即n＝3m時(shí)取等號(hào)，∴三角形的面積的最大值為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式求最值，建立坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．10．【分析】由三角函數(shù)的定義得：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝x1x2﹣y1y2，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)橹本€OA，OB的傾斜角分別為α，β，由三角函數(shù)的定義得：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝x1x2﹣y1y2，聯(lián)立可得（a2+b2）x2+2acx+c2﹣b2＝0，，b2y1y2＝（﹣ax1﹣c）（﹣ax2﹣c）＝a2x1x2+ac（x1+x2）+c2＝，所以cos（α+β）＝x1x2﹣y1y2＝﹣＝．故答案為：＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義，結(jié)合奇偶性即可判斷（1）（2）；利用反證法證明（3）錯(cuò)誤；直接取點(diǎn)說明（4）正確．【解答】解：由題意得，D（1）＝L（1）＝1，故（1）正確；由L（x）＝，得L（﹣1）＝﹣1，L（1）＝1，不滿足L（﹣1）＝L（1），則函數(shù)L（x）不是偶函數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；L函數(shù)圖像上的點(diǎn)要么在直線y＝x上，要么在直線y＝0上，若L函數(shù)圖像上存在四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，使得四邊形ABCD為菱形，∵菱形的對(duì)角線互相垂直平分，則直線y＝x和y＝0不是對(duì)角線所在直線方程，不妨設(shè)A（a，a），B（b，b），C（m，0），D（n，0），則AC與BD互相垂直平分，可得，可得A與B，C與D重合，且方程組不成立，故（3）錯(cuò)誤；取L函數(shù)圖象上三個(gè)點(diǎn)A（3，3），B（3﹣，0），C（3+，0），則AB＝BC＝AC＝2，使得△ABC為等邊三角形，故（4）正確．故答案為：（1）（4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了狄利克雷函數(shù)及該函數(shù)的奇偶性，綜合運(yùn)算能力，是中檔題．12．【分析】由題意可得4x（cosθ+1）+9x（sinθ+1）＞2×6x恒成立，即（）x（cosθ+1）+（）x（sinθ+1）＞2恒成立，設(shè)t＝（）x，則有t（cosθ+1）+（sinθ+1）≥2，進(jìn)而得sinθcosθ+sinθ+cosθ＞1，令μ＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），則有μ2+2μ﹣3＞0，從而得1＜μ≤，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：已知條件等價(jià)于不等式4x（cosθ+1）+9x（sinθ+1）＞2×6x恒成立，上式兩邊同除以6x，則有（）x（cosθ+1）+（）x（sinθ+1）＞2，設(shè)t＝（）x，則t∈（0，+∞），下面求（）x（cosθ+1）+（）x（sinθ+1）＝t（cosθ+1）+（sinθ+1）的最小值，由t（cosθ+1）+（sinθ+1）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時(shí)，上式等號(hào)成立，于是t（cosθ+1）+（sinθ+1）的最小值為2，根據(jù)題意得2＞2，即sinθcosθ+sinθ+cosθ＞1．①令μ＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），則μ∈[﹣，]，因此式①化為μ2+2μ﹣3＞0，解得μ＜﹣3或μ＞1，結(jié)合μ的范圍，得1＜μ≤．則＜sin（θ+）≤1．于是2kπ+＜θ+＜2kπ+（k∈Z）．故θ的取值范圍是（2kπ，2kπ+）（k∈Z）．故答案為：（2kπ，2kπ+）（k∈Z）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用、三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共有4題，4'*2+5'*2＝18'）13．【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差的概念逐一判定即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，令樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6為1，2，2，2，2，9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為2，而x1，x2，?，x6的平均數(shù)為3，兩者不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，不妨令x1，x2，…，x6從小到大排列，所以x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于的中位數(shù)等于，故B正確；對(duì)選項(xiàng)于C，令樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6為0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，?，x6的平均數(shù)是5，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是5，所以x1，x2，?，x6的方差+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2，x2，x3，x4，x5的方差，所以，∴s1＞s2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，不妨令x1，x2，…，x6從小到大排列，則x6≥x5，x2≥x1，∴x6﹣x1≥x5﹣x2，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差的概念，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)公式得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)公式得到；C選項(xiàng)，根據(jù)公式得到p3＝100p0；D選項(xiàng)，根據(jù)公式得到．【解答】解：A選項(xiàng)，燃油汽車，解得，混合動(dòng)力汽車，解得，電動(dòng)汽車，解得，因?yàn)?0≤L1≤90，50≤L2≤60，L3＝40，所以，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故p2≤p1≤100p2，D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．15．【分析】設(shè)＝λ，以B1為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則＝（1，1，1）是平面A1BC1的一個(gè)法向量．＝（﹣λ，λ﹣，1）的坐標(biāo)，得出sinα＝|cos＜，＞|關(guān)于λ的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出sinθ的取值范圍．【解答】解：設(shè)正方體邊長為1，＝λ（0≤λ≤1）．以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O（，，0），P（1﹣λ，λ，1），∴＝（﹣λ，λ﹣，1），∵易證DB1⊥平面A1BC1，∴＝（1，1，1）是平面A1BC1的一個(gè)法向量．∴sinθ＝|cos＜，＞|＝，當(dāng)λ＝時(shí)sinθ取得最大值，當(dāng)λ＝0或1時(shí)，sinθ取得最小值．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．16．【分析】利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤．【解答】解：因?yàn)椋?，?duì)于A，若a1＝3，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an﹣6≤﹣3，即an≤3，證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1﹣6＝﹣3≤﹣3，此時(shí)不等關(guān)系an≤3成立；設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak﹣6≤﹣3成立，則，故ak+1﹣6≤﹣3成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得an≤3成立．而，，an﹣6＜0，故an+1﹣an＜0，故an+1＜an，故{an}為減數(shù)列，注意ak+1﹣6≤﹣3＜0，故，結(jié)合an+1﹣6＜0，所以，故，故，若存在常數(shù)M≤0，使得an＞M恒成立，則，故，故，故an＞M恒成立僅對(duì)部分n成立，故A不成立．對(duì)于B，若a1＝5，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：﹣1≤an﹣6＜0，即5≤an＜6，證明：當(dāng)n＝1時(shí)，﹣1≤a1﹣6＝﹣1≤0，此時(shí)不等關(guān)系5≤an＜6成立；設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，5≤ak＜6成立，則，故﹣1≤ak+1﹣6＜0成立，即由數(shù)學(xué)歸納法可得5≤ak+1＜6成立．而，，an﹣6＜0，故an+1﹣an＞0，故an+1＞an，故{an}為增數(shù)列，若M＝6，則an＜6恒成立，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)a1＝7時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜an﹣6≤1，即6＜an≤7，證明：當(dāng)n＝1時(shí)，0＜a1﹣6≤1，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，6＜ak≤7成立，則，故0＜ak+1﹣6≤1成立，即6＜ak+1≤7由數(shù)學(xué)歸納法可得6＜an≤7成立．而，故an+1＜an，故{an}為減數(shù)列，又，結(jié)合an+1﹣6＞0可得：，所以，若，若存在常數(shù)M＞6，使得an＞M恒成立，則恒成立，故，n的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，當(dāng)a1＝9時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an﹣6≥3即an≥9，證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1﹣6＝3≥3，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak≥9成立，則，故ak+1≥9成立由數(shù)學(xué)歸納法可得an≥9成立．而，故an+1＞an，故{an}為增數(shù)列，又，結(jié)合an﹣6＞0可得：，所以，若存在常數(shù)M＞0，使得an＜M恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立，是中檔題．三、簡答題（本大題共有5題，14“3+18'*2＝78'）17．【分析】（1）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面BCC1B1的法向量，利用空間向量證明即可，（2）求出平面A1B1CD的法向量，利用空間向量求解即可．【解答】（1）證明：如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），所以，因?yàn)镈C⊥平面BCC1B1，所以平面BCC1B1的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，因?yàn)镸N不在平面BCC1B1內(nèi)，所以MN∥平面BCC1B1．（2），，，設(shè)平面A1B1CD的一個(gè)法向量為則，令z＝1，則x＝﹣1，y＝0，所以，設(shè)A1B與平面A1B1CD所成角為θ，則，因?yàn)?°≤θ＜180°，所以A1B與平面A1B1CD所成角為30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的證明，線面角的計(jì)算，空間向量及其應(yīng)用，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題．18．【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sin2A＝sinA，由A∈（0，π），sinA≠0，可求sinA＝，進(jìn)而可求得A的值；（2）由題意可求得A＝，可求得＜B＜，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求4sin2B﹣4sinBsinC＝1﹣2sin（2B+），進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)閍sinCcosB+bsinAcosC＝，所以由正弦定理可得sinAsinCcosB+sinBsinAcosC＝sinA，所以sinA（sinCcosB+sinBcosC）＝sinAsin（B+C）＝sin2A＝sinA，因?yàn)锳∈（0，π），sinA≠0，所以sinA＝，可得A＝或；（2）若△ABC為銳角三角形，由（1）可得A＝，所以，可得＜B＜，因?yàn)?sin2B﹣4sinBsinC＝4sin2B﹣4sinBsin（﹣B）＝4sin2B﹣4sinB（cosB+sinB）＝2sin2B﹣2sinBcosB＝1﹣（cos2B+sin2B）＝1﹣2sin（2B+），又B∈（，），可得2B+∈（，），所以sin（2B+）∈（﹣，1），所以4sin2B﹣4sinBsinC＝1﹣2sin（2B+）∈（﹣1，2），即4sin2B﹣4sinBsinC的取值范圍是（﹣1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．19．【分析】（1）令bn＝an﹣4，利用等比數(shù)列的定義即可證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，即可解得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）利用（1）中求得的解得，代入不等式分析并分類討論，根據(jù)不等式的解法即可解得正整數(shù)m，n的值．【解答】解：（1）證明：由題意，令bn＝an﹣4，則b1＝a1﹣4＝﹣2，由題意，，易知bn≠0，∴，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為﹣2，公比為的等比數(shù)列，∴，∴．（2）解：由（1）知，則，∴不等式即，∵2n＜2n+1，∴，∴，∵當(dāng)m≥4時(shí)，，，∴，不滿足要求；∴m＜4，又m∈N*，n∈N*∴當(dāng)m＝1時(shí)，，即可解得：，∴n＝1；當(dāng)m＝2時(shí)，，即，可解得：1＜2n＜4，∴n＝1；當(dāng)m＝3時(shí)，，即，可解得：2＜2n＜8，∴n＝2．綜上，使不等式成立的所有正整數(shù)m，n的值為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義，數(shù)列不等式，屬于較難題．20．【分析】（1）首先根據(jù)曲線的定義判斷出曲線E是雙曲線的左支，a和c已知，則可求得b，曲線E的方程可得；（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，聯(lián)立不等式求得k的范圍；（3）根據(jù)弦長公式求得|AB|的表達(dá)式，根據(jù)結(jié)果為6求得k，則直線AB的方程可得，設(shè)C（x0，y0），根據(jù)，可得；根據(jù)x1+x2和y1+y2的值求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得m的值，進(jìn)而求得點(diǎn)C到直線AB的距離，最后利用三角形面積公式求得三角形ABC的面積．【解答】解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知b＝1，故曲線E的方程為x2﹣y2＝1（x＜0）．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意建立方程組，消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，有，解得．所以k的取值范圍是．（3）∵＝＝＝，依題意得，整理后得28k4﹣55k2+25＝0，∴或，但，∴，故直線AB的方程為，設(shè)C（x0，y0），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）＝（mx0，my0），∴，（m≠0）又，∴點(diǎn)C將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得，解得m＝±4，但當(dāng)m＝﹣4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，∴m＝4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，C到AB的距離為，∴△ABC的面積．故△ABC的面積為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了雙曲線的方程，考查了直線與雙曲線相交，考查了方程思想，屬于難題．21．【分析】（1）求導(dǎo)分析f′（x）的符號(hào)