有限元理論與方法-第5講

青島大學(xué)講稿講授內(nèi)容備注第5講(第5周)附錄1彈性力學(xué)的根本方程在有限單元法中經(jīng)常要用到彈性力學(xué)的根本方程，關(guān)于它們的詳細(xì)推導(dǎo)可從彈性力學(xué)的有關(guān)教材中查到。彈性體在載荷作用下，體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由6個(gè)應(yīng)力分量，，，，，來(lái)表示。其中，，為正應(yīng)力；，，為剪應(yīng)力。應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：如果某一個(gè)面的外法線(xiàn)方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸正，方向?yàn)檎?，與坐標(biāo)軸反向?yàn)樨?fù)；相反，如果某一個(gè)面的外法線(xiàn)方向與坐標(biāo)軸的負(fù)方向一致，這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，與坐標(biāo)軸同向?yàn)樨?fù)。應(yīng)力分量及其正方向見(jiàn)圖1。圖1應(yīng)力分量應(yīng)力分量的矩陣表示稱(chēng)為應(yīng)力列陣或應(yīng)力向量(1)彈性體在載荷作用下，還將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動(dòng)和形狀的改變。彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移可由沿直角坐標(biāo)軸方向的3個(gè)位移分量u，v，w來(lái)表示。它的矩陣形式是(2)稱(chēng)作位移列陣或位移向量。彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變，可以由6個(gè)應(yīng)變分量，，，，，來(lái)表示。其中，，為正應(yīng)變；，，為剪應(yīng)變。應(yīng)變的正負(fù)號(hào)與應(yīng)力的正負(fù)號(hào)相對(duì)應(yīng)，即應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變是以?xún)蓚€(gè)沿坐標(biāo)軸正方向的線(xiàn)段組成的直角變小為正，反之為負(fù)。圖2的(a)，(b)分別為和前正應(yīng)變狀態(tài)。a正應(yīng)變b剪應(yīng)變圖2應(yīng)變的正方向應(yīng)變的矩陣形式是(3)稱(chēng)作應(yīng)變列陣或應(yīng)變向量。對(duì)于三維問(wèn)題，彈性力學(xué)根本方程可寫(xiě)成如下形式。1.平衡方程彈性體V域內(nèi)任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸x，y，z方向的平衡方程為(4)其中，，為單位體積的體積力在x，y，z方向的分量。平衡方程的矩陣形式為〔5〕其中，A是微分算子，即是體積力矢量，。2.幾何方程—應(yīng)變-位移關(guān)系在微小位移和微小變形的情況下，略去位移導(dǎo)數(shù)的高次冪，那么應(yīng)變向量和位移向量間的幾何關(guān)系有(6)幾何方程的矩陣形式為(7)其中L為微分算子，即(8)3．物理方程—應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系彈性力學(xué)中應(yīng)力-應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系也稱(chēng)彈性關(guān)系〔又稱(chēng)為廣義虎克定律〕。對(duì)于各向同性的線(xiàn)彈性材料，應(yīng)力通過(guò)應(yīng)變的表達(dá)式可用矩陣形式表示：(9)其中(10)稱(chēng)為彈性矩陣。它完全取決于彈性體材料的彈性模量E和泊桑比μ。表征彈性體的彈性，也可以采用拉梅(Lam’e)常數(shù)G和λ：(11)G也稱(chēng)為剪切彈性模量。物理方程中的彈性矩陣D亦可表示為(12)4.邊界條件彈性體V的全部邊界為S。一局部邊界上單位面積外力，，稱(chēng)為力的邊界條件，這局部邊界用Sσ表示；另一局部邊界上彈性體的位移，，，稱(chēng)為幾何邊界條件或位移邊界條件，這局部邊界用Su表示。這兩局部邊界構(gòu)成彈性體的全部邊界，即S=Sσ+Su(13)彈性體在邊界上單位面積的內(nèi)力為，，，根據(jù)平衡應(yīng)有=，=，=(14)設(shè)邊界外法線(xiàn)為N，其方向余弦為nx，ny，nz，那么邊界上彈性體的內(nèi)力可由下式確定(15)式即為力的邊界條件，矩陣形式為(16)在Su上有位移邊界條件u=，v=，w=(17)用矩陣形式表示為(18)以上是三維彈性力學(xué)問(wèn)題中的一組根本方程和邊界條件。同樣，對(duì)于平面問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題等也可以得到類(lèi)似的方程和邊界條件。5.彈性體的應(yīng)變能和應(yīng)變余能單位體積的應(yīng)變能〔應(yīng)變能密度〕為(19)應(yīng)變能是個(gè)正定函數(shù)，只有當(dāng)彈性體內(nèi)所有的點(diǎn)都沒(méi)有應(yīng)變時(shí)，應(yīng)變能才為零。單位體積的余能〔余能密度〕為(20)余能也是個(gè)正定函數(shù)。在線(xiàn)性彈性力學(xué)中彈性體的應(yīng)變能等于余能。

第2章有限單元法根底理論結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法梁結(jié)構(gòu)問(wèn)題比桁架復(fù)雜一些，也可用矩陣分析法〔線(xiàn)性代數(shù)方程組〕得到問(wèn)題的精確解。在ANSYS軟件中上述兩類(lèi)問(wèn)題的建模和求解較為簡(jiǎn)單。定義單元用ET指令，考慮材料各種特性選不同的Link、Beam單元。有限單元法把桿系結(jié)構(gòu)的矩陣分析方法推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)：把連續(xù)介質(zhì)離散化，用有限個(gè)單元的組合體代替原來(lái)的連續(xù)介質(zhì)，這樣一組單元只在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相互連接，因而包含有限個(gè)自由度，可用矩陣方法進(jìn)行分析。平面問(wèn)題有限元法對(duì)一些特殊情況可把空間問(wèn)題近似地簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題，只須考慮平行于某個(gè)平面的位移分量、應(yīng)變分量與應(yīng)力分量，且這些量只是兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。平面問(wèn)題分平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題兩類(lèi)。設(shè)有很薄的均勻薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面并且不沿厚度變化，記薄板的厚度為t，以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線(xiàn)為z軸．由于板面上不受力，且板很薄，外力不沿厚度變化，可以認(rèn)為恒有，，不為零的應(yīng)力分量為、、，這種問(wèn)題就稱(chēng)為平面應(yīng)力問(wèn)題。設(shè)有無(wú)限長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化。以任一橫截面為xy面，任一縱線(xiàn)為z軸，由于對(duì)稱(chēng)性〔任一橫截面都可以看做對(duì)稱(chēng)面〕，此時(shí)，不為零的應(yīng)變分量為、、，這種問(wèn)題就稱(chēng)為平面應(yīng)變問(wèn)題。二維連續(xù)介質(zhì)，用有限單元法分析的步驟如下：用虛擬的直線(xiàn)把原介質(zhì)分割成有限個(gè)三角形單元，這些直線(xiàn)是單元的邊界，幾條直線(xiàn)的交點(diǎn)即為節(jié)點(diǎn)。假定各單元在節(jié)點(diǎn)上互相鉸接，節(jié)點(diǎn)位移是根本的未知量。選擇一個(gè)函數(shù)，用單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移惟一地表示單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移，此函數(shù)稱(chēng)為位移函數(shù)〔位移模式〕。通過(guò)位移函數(shù)，用節(jié)點(diǎn)位移惟一地表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變；再利用廣義虎克定律，用節(jié)點(diǎn)位移可惟一地表示單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力。利用能量原理找到與單元內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)等效的節(jié)點(diǎn)力；再利用單元應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，建立等效節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。這是有限單元法求解應(yīng)力問(wèn)題的最重要的一步。將每一單元所承受的荷載，按靜力等效原那么移置到節(jié)點(diǎn)上。在每一節(jié)點(diǎn)建立用節(jié)點(diǎn)位移表示的靜力平衡方程，得到一個(gè)線(xiàn)性方程組；解出這個(gè)方程組，求出節(jié)點(diǎn)位移；然后可求得每個(gè)單元的應(yīng)力。1.單元的位移模式及插值函數(shù)由于三角形單元對(duì)復(fù)雜邊界有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，因此很容易將一個(gè)二維域離散成有限個(gè)三角形單元。在邊界上以假設(shè)干段直線(xiàn)近似原來(lái)的曲線(xiàn)邊界，隨著單元增多，這種擬合將越精確。下面以3節(jié)點(diǎn)三角形單元為代表討論平面問(wèn)題的有限元格式。圖2-13節(jié)點(diǎn)三角形單元設(shè)三角形單元節(jié)點(diǎn)編碼為i,j,m，以逆時(shí)針?lè)较蚓幋a為正向，否那么后面求出的面積A為負(fù)值。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)位移分量如圖2-1所示，節(jié)點(diǎn)位移為δe=[ui,vi,uj,vj,um,vm]T節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi,yi)、(xj,yj)、(xm,ym)。在有限單元法中單元的位移模式〔也稱(chēng)位移函數(shù)和插值函數(shù)〕一般采用多項(xiàng)式作為近似函數(shù)，因?yàn)槎囗?xiàng)式運(yùn)算簡(jiǎn)便，并且隨著項(xiàng)數(shù)的增多，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線(xiàn)。多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低次到高次。3節(jié)點(diǎn)三角形單元位移模式選取一次多項(xiàng)式(2-1單元內(nèi)的位移是坐標(biāo)x,y的線(xiàn)性函數(shù)。β1～β6是待定系數(shù)，稱(chēng)之為廣義坐標(biāo)。6個(gè)廣義坐標(biāo)可由單元的6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。在式〔2-1-1〕中代入三角形單元各(2-1式中，A為三角形的面積