2020年湖北省隨州市中考數(shù)學試題

隨州市2020年初中畢業(yè)升學考試數(shù)學試題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，有且只

有一個是正確的）

1.2020的倒數(shù)是（）

11

A.-2020B.2020C.-------D.----------

20202020

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)倒數(shù)的定義解答.

【詳解】2020的倒數(shù)是

2020

故選：C.

【點睛】此題考查倒數(shù)的定義，熟比

2.如圖，直線“〃2,直線/與4，分別交于A，8兩點，若Nl=60°，則N2的度數(shù)是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

如圖：先運用兩直線平行、同位角相等得到N3=Nl=60。，然后再根據(jù)鄰補角的性質(zhì)得到N3+N2=180。，最

后計算即可.

【詳解】解：如圖：

VZl=60°

.?.Z3=Z1=6O°

VZ3+Z2=180°

???Z2=180°-Z3=180°-60°=120°.

故答案為c.

【點睛】本題考查了平行性質(zhì)和鄰補角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)（兩直線平行、同位角相等）是正確

解答本題的關鍵.

3.隨州7月份連續(xù)5天的最高氣溫分別為：29,30,32,30,34（單位：C）,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)

分別為（）

A.30,32B.31,30C.30,31D.30,30

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的求解答案來判斷即可.

【詳解】解：；7月份連續(xù)5天的最高氣溫分別為：29,30,30,32,34（單位：℃）

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是：30

中位數(shù)：30

故選：D

【點睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)，注意有偶數(shù)個數(shù)時中位數(shù)就是中間兩個數(shù)的平均數(shù)，而個數(shù)有奇數(shù)個

時，中位數(shù)就是中間的一個數(shù).

4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（）

A.圓柱B.圓錐C.四棱柱D.四棱錐

【答案】A

【解析】

【分析】

主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，從而得出答案.

【詳解】俯視圖為圓的幾何體為球，圓柱，再根據(jù)其他視圖，可知此幾何體為圓柱.

故選：A.

【點睛】本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學生空間想象能力.

2I

5.=~十工——的計算結(jié)果為()

x—4x~—2x

2x2

C.----D'x(x+2)

x+2x+2x—2

【答案】B

【解析】

分析】

先把分母因式分解，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法,約分化簡得到結(jié)果.

________2_______:_____1___

(x+2)(x—2)x(x-2)

=7----3-----(x-2)

(x+2)(x—2)

2x

x+2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了分式的除法，

6.我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：”今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足,

問雞兔各幾何設雞有》只，兔有丁只，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是()

x+y=35x+y=352x+y=35x+4v=35

A.<B.,C.vD.<

2x+4y=944x+2y=94x+4j=942x+y=94

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)“上有三十五頭''和"下有九十四足”兩個等量關系列二元一次方程組即可.

【詳解】解：設雞有》只，兔有y只

根據(jù)上有三十五頭，可得x+y=35；

下有九十四足，2x+4y=94

x+y=35

即《

2x+4y=94

故答案為A.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，弄清題意、找準等量關系是解答本題的關鍵.

7.小明從家出發(fā)步行至學校，停留一段時間后乘車返回,則下列函數(shù)圖象最能體現(xiàn)他離家的距離（s）與出

發(fā)時間（D之間的對應關系的是（

A.

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，確定出每一步的函數(shù)圖形，再把圖象結(jié)合起來即可求出結(jié)果.

【詳解】解：小明從家出發(fā)步行至學校，可以看作是一條緩慢上升的直線;

中間停留一段時間，可以看作與水平方向平行的直線;

從學校乘車返回家，可以看作是?條迅速下降的直線;

結(jié)合四個選項，B符合題意;

故選：B.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象問題，在解題時要根據(jù)實際情況確定出函數(shù)的圖象是解題的關鍵.

8.設邊長為。的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為〃、「、R,則下列結(jié)論不正確的是

A.h-R+rB.R=2rC.r=—aDR=a

4-T

【答案】C

【解析】

【分析】

將圖形標記各點，即可從圖中看出長度關系證明A正確，再由構(gòu)造的直角三角形和30。特殊角證明B正確，利用

勾股定理求出「和R,即可判斷C、D.

如圖所示，標上各點，AO為R,OB為r,AB為/?,

從圖象可以得出AB=AO+OB,即&=R+r,A正確；

?.?三角形為等邊三角形，

ZCAO=30°,

根據(jù)垂徑定理可知NACO=90。，

/.AO=2OC,即R=2r,B正確;

(1

2222

在RSACO中，利用勾股定理可得：AO=AC+OC,即甯=上。+r,

(2)

[IlB中關系可得：+產(chǎn)，解得/，則R=2^。，

所以C錯誤，D正確；

故選：C.

【點睛】本題考查圓與正三角形的性質(zhì)結(jié)合，關鍵在于巧妙利用半徑和構(gòu)建直角三角形.

122

9.將關于x的一元二次方程x-px+q=Q變形為x=px-q,就可以將x表示為關于x的一次多項式，

從而達至『'降次''的目的，又如丁=彳72=彳(0匠-幻=...,我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法

可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，己知：%—i=o,且1〉。，則/一2》3+3彳的值為()

A.1-^/5B.3-75C.1+75D.3+75

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得f=x+i，代入/一2/+3%即可得出答案.

【詳解】：％2_%_1=0,

."=x+l，X_1±]T)2-4X1X(-1)_1±&,

22

?*-x4-2x3+3x

=(%+1)**-2x(x+l)+3x

=x2+2X+1-2X2-2X+3X

=-x2+3%+l

=-(x+l)+3x+l

=2x,

=好，且無>0,

2

.1+小

?,x=------，

2

，原式-2x辿=1+后,

2

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是會將四次先降為二次，再將二次降為一次.

io.如圖所示，已知二次函數(shù)、=/+笈+°的圖象與*軸交于4—1,0)，6(3,0)兩點，與y軸的正半軸

交于點C,頂點為。，則下列結(jié)論：①2a+Z?=0：②2c<3。；③當AA6C是等腰三角形時，。的值有

2個；④當_BCD是直角三角形時，a=--.其中正確的有()

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置可判斷；②把兩個點代入解析式可得到方程組，解出B與C的關系即可；③由

圖象可知，BC^AC,從而得以判斷；④根據(jù)直角三角形的

【詳解】..?二次函數(shù),=辦2+笈+。的圖象與x軸交于A(—1,0),8(3,0)兩點，

-1+3

，二次函數(shù)的對稱軸為x=-----=1,

2

即-2=1,

2a

?*.2〃+b=().

故①正確；

???二次函數(shù)了=0?+法+。的圖象與X軸交于4-1,0),8(3,0)兩點，

a—b+c=0,9a+3b+c—0,

又,：b=4a,

3b--6a，a—(-2a)+c=0,

：.3b--6a，9a—6a+c=0.

2c=-6a，

2c—3b>

故②錯誤；

由圖象可知，當八A8c是等腰三角形時，

BC^AC，只能是A8=4?；駻3=BC，故a有兩個值，

故③正確；

是直角三角形，

/.分兩種情況8。J_C?；颉，8C,

得到的a有兩個值，

故④錯誤；

故答案選B.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，準確分析判斷是解題的關鍵.

二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對

應題號處的橫線上)

11.計算：(-1)2+V9=.

【答案】4

【解析】

【分析】

分別進行乘方運算和開根號，相加即可.

【詳解】原式=1+3=4.

故答案為4.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)運算，準確進行幕的運算是解題的關鍵.

12.如圖，點A，B,。在二。上，AD是/班C的角平分線，若Z8OC=120°，則NCAD的度數(shù)為.

【答案】30°

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角定理求出ABAC,再由角平分線的性質(zhì)可得到結(jié)果；

【詳解】VZBOC=120\

/.ZBAC=60°,

又：是ZBAC的角平分線，

NBAD=ZCAD^-ZBAC=30°,

2

故答案為30。.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理的應用，準確運用角平分線的性質(zhì)是解題的必要步驟.

13.幻方是相當古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮圖.將數(shù)字b9分別填入

如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都是15,則加的值為.

【答案】9

【解析】

【分析】

本題首先根據(jù)每一橫行數(shù)字之和為15求出第一個方格數(shù)字，繼而根據(jù)對角線斜邊數(shù)字和為15求出最后一

格數(shù)字，最后根據(jù)每一豎行數(shù)字之和為15求出m.

【詳解】設第一方格數(shù)字為x,最后一格數(shù)字為y,如下圖所示：

由已知得:x+7+2=15,故x=6；

因為x+5+y=15,將x=6代入求得y=4；

又因2+m+y=15,將y=4代入求得m=9：

故答案為：9.

【點睛】本題考查新題型，本質(zhì)是一元一次方程的求解，理清題意，按照圖示所給信息逐步列方程求解即

可.

14.如圖，A3C中，點。，E，尸分別為AB，AC,BC的中點，點P,M.N分別為DE，DF，

EF的中點，若隨機向，A3C內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為一.

【答案】上

16

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的中位線定理建立面積之間的關系,按規(guī)律求解，再根據(jù)概率公式進行求解即可.

【詳解】根據(jù)三角形中位線定理可得第二個三角形各邊長都等于最大三角形各邊的一半，并且這兩個三角

形相似，

那么第二個△DEF的面積=1△ABC的面積

4

那么第三個△MPN的面積=1△DEF的面積=-!-△ABC的面積

416

???若隨機向八ABC內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為：々

16

故答案為：-4

16

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，概率公式，解決本題的關鍵是利用三角形的中位線定理得到第三

個三角形的面積與第一個三角形的面積的關系，以及概率公式.

k

15.如圖，直線A3與雙曲線y=—(A>0)在第一象限內(nèi)交于A、B兩點,與x軸交于點C,點5為線段AC

x

的中點，連接。4,若△AOC的面積為3,則左的值為一.

【答案】2

【解析】

【分析】

設A點坐標為幺］,C點坐標為(6,0),求出B點坐標為(字,與］,根據(jù)B點在y=K(%>0)上可

Vcij^22aJx

得上上.?=匕整理得〃=3a,再根據(jù)三角形面積公式得一?3。?一二3可得k的值.

22a2a

【詳解】解：設A點坐標為(a,：)C點坐標為3,0),

8恰為AC的中點，

8點的坐標為，

I22a)

k

8點在y=—(左>0)的圖象上，

X

a+bk.

二.---------=k

22a

：,h=3ci

SOAC=3

二.%=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題時注意：

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標同時滿足兩個函數(shù)的解析式.

16.如圖，已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點M，N分別在邊AO，8C上，沿著MN折疊矩形

ABCD,使點A，8分別落在E，F(xiàn)處,且點尸在線段CO上（不與兩端點重合），過點M作

于點〃，連接8E，給出下列判斷：①,MHNs二BCF；②折痕MN的長度的取值范圍為3<MN<”；

4

③當四邊形CDMH為正方形時，N為HC的中點；④若。則折疊后重疊部分的面積為史.其

312

中正確的是.（寫出所有正確判斷的序號）.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

由題意，逐一判定，①由折疊的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可判定；②根據(jù)題意點尸在線段CO

上（不與兩端點重合），假設F分別在C、D兩點，即可得出其取值范圍；③由相似三角形、正方形的性質(zhì)

以及勾股定理構(gòu)建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN的面積和△MEO的面

積，即可得解；

【詳解】

由折疊性質(zhì)，得，BG=FG,BN=FN

ABF±MN

VZBIH=ZMIG,MHIBC

：.ZHBI=ZGMI

,//MHN=NBCF=90°

MHNs&BCF

故①結(jié)論正確；

假設F與C重合時，MN取得最小值，即為3；

假設F與D重合時，MN取得最大值，

?：_MHNSJBCF

.MHBC

?；MH=3,BCM,BF￡BC2+CF2=,42+32=5

MN=—

4

???點F在線段CO上(不與兩端點重合)

二折痕MN的長度的取值范圍為3<MN〈竺

4

故②結(jié)論正確；

???四邊形為正方形

；.MH=HC=3

；,MHNs；BCF

,MHBC

??而一百

令m=x,則CN=3—x,FN=BN=\+x

???CF=\lFN2-NC2=J(1+X)2-(3_X)2

3________4_______

"*^(1+X)2-(3-X)2

3

?,?%=5，x2=3(不符合題意，舍去)

:.HN=、HC,即N為〃。的中點

2

故③結(jié)論正確；

@VDF=-DC,AB=CD=3

3

，DF=1,CF=2

；?BF=\lBC2+CF2=A/42+22=275

.,.BG=GF=V5

力MHNs乙BCF

.MHBC

.3

，HN=一

2

VAFGN^AMHN

，GN=@

2

33

，BH=BC-HN-NC=4--------=1

22

VZEMO=ZCNF,ZMEO=ZNCF=90°

AAMEO^ANCF

.MENC

''~EO~~CF

4

.\E0=-

3

，折疊后重疊部分的面積為：

S梯形5-5/](哈硒卜上13￡0寸1+|卜3-9*=1|

故④結(jié)論正確；

故答案為：①②③④.

【點睛】此題主要考查矩形的折疊性質(zhì)以及相似三角形的綜合運用，熟練掌握，即可解題.

三、解答題(本大題共8小題，共72分，解答應寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程)

17.先化簡，再求值：?(?+2b)—2b(a+b),其中”b=乖).

【答案】a2-2h2,-1.

【解析】

【分析】

先根據(jù)整式的乘法法則化簡整式，再將字母的值代入結(jié)果計算求值即可.

【詳解】+2b)—2b(a+b)

=Q-+2ab—2ab—2b-

=a2-2b2

當。=&,6時，

原式=(石)2_2x(6y=5_6=_l.

【點睛】本題主要考查了整式的混合運算--化簡求值，解答本題的關鍵是明確整式化簡求值的方法.

18.已知關于x的一元二次方程f+(2m+l)x+加一2=0.

(1)求證：無論加取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有兩個實數(shù)根再，》2，且玉+々+3內(nèi)々=1，求機的值.

【答案】(1)見解析；(2)m=8.

【解析】

【分析】

(1)求出△的值即可證明；

x.+x,=-(2m+l)

(2),根據(jù)根與系數(shù)的關系得到《?~"，代入玉+々+3%為=1,得到關于m的方程，然后

X]/=m-2

解方程即可.

【詳解】(1)證明：依題意可得A=(2根+1)2-4(m一2)

=W+9>0

故無論，"取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)由根與系數(shù)的關系可得：

%+/=-(2m+l)

?：

XyX2=m-2

由玉+%2+3XJ%2=1，得一(2m+1)+3(m—2)=1,解得m=8.

【點睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根

bc

與系數(shù)的關系：xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的兩根時，xi+X2=—-,xiX2=—.

aa

19.根據(jù)公安部交管局下發(fā)的通知，自2020年6月1日起，將在全國開展“一帶一盔”安全守護行動，其中就

要求騎行摩托車、電動車需要佩戴頭盔.某日我市交警部門在某個十字路口共攔截了50名不帶頭盔的騎行

者，根據(jù)年齡段和性別得到如下表的統(tǒng)計信息，根據(jù)表中信息回答下列問題：

年齡X(歲)人數(shù)男性占比

x<20450%

20<x<30m60%

30<x<402560%

40vx<50875%

x>503100%

(1)統(tǒng)計表中m的值為；

(2)若要按照表格中各年齡段的人數(shù)來繪制扇形統(tǒng)計圖，則年齡在“30Wx<40”部分所對應扇形的圓心角

的度數(shù)為；

(3)在這50人中女性有人；

(4)若從年齡在“x<20”的4人中隨機抽取2人參加交通安全知識學習，請用列表或畫樹狀圖的方法，求

恰好抽到2名男性的概率.

【答案】(1)10；(2)180°：(3)18；(4)P(恰好抽到2名男性)=-.

6

【解析】

【分析】

⑴用50-4-25-8-3可求出m的值;

(2)用360。乘以年齡在“30Kx<40”部分人數(shù)所占百分比即可得到結(jié)論；

(3)分別求出每個年齡段女性人數(shù)，然后再相加即可；

(4)年齡在"％<20”的4人中，男性有2人，女性有2人，分別用Ai,A2表示男性，用Bi,B2表示女性,

然后畫出樹狀圖表示出所有等可能結(jié)果數(shù)，以及關注的事件數(shù)，然后利用概率公式進行求解即可.

【詳解】解：⑴m=50-4-25-8-3=10；

故答案為：10；

(2)360°x—=180°；

50

故答案為：180。；

(3)在這50人中女性人數(shù)為：

4x(1-50%)+10x(1-60%)+25x(1-60%)+8x(1-75%)+3x(1-100%)

=2+4+10+2+0

=18；

故答案為：18；

(4)設兩名男性用4,A?表示，兩名女性用瓦，當表示，根據(jù)題意：

可畫出樹狀圖:

A\4BiB,

A,B\B:A\B\BiA\AzA\Ai&

或列表:

第2人

A4B2

第1人

AA國

A444片4名

耳g4耳44鳥

82A

B2B2A2

由上圖(或上表)可知，共有12種等可能的結(jié)果，符合條件的結(jié)果有2種，

21

故P(恰好抽到2名男性)=一=一.

126

【點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

20.如圖，某樓房A8頂部有一根天線跳:，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點C,D,

A，在點。處測得天線頂端￡的仰角為60°，從點。走到點。，測得8=5米，從點。測得天線底端5的

仰角為45°，已知A，B,￡在同一條垂直于地面的直線上，AB=25米.

(1)求A與C之間的距離：

(2)求天線8E的高度.(參考數(shù)據(jù)：gal.73,結(jié)果保留整數(shù))

【答案】(1)AC之間的距離為30米；(2)天線BE的高度約為27米.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，ZBAD=90°,ZBDA=45°,故AD=AB,已知CD=5,不難算出A與C之間的距離.

(2)根據(jù)題意，在改&CE中，ZACE=60°,利用三角函數(shù)可算出AE的長，又已知AB,故EB即可

求解.

【詳解】(1)依題意可得，在RtAABO中，ZADB=45°,

.?.4)=45=25米，

8=5米，.?.AC=AD+C￡>=25+5=30米.

即AC之間的距離為30米.

(2)在必/VICE中，NACE=60°，AC=30米，

=30tan60°=3073(米)，

AB=25米，.?.8E=AE-A8=(30G-25)米.

由6y1.73.并精確到整數(shù)可得BE，27米.

即天線BE的高度約為27米.

【點睛】(1)本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關鍵.

(2)本題主要考查三角函數(shù)的靈活運用，正確運用三角函數(shù)是解答本題的關鍵.

21.如圖，在ABC中，NACB=90°，以斜邊AB上的中線CO為直徑作：j。，與BC交于點M,與AB

的另一個交點為E，過“作垂足為N.

(1)求證：MN是00的切線;

3

(2)若的直徑為5,sinB=-,求的長.

7

【答案】(1)見解析；(2)ED=-.

【解析】

【分析】

(1)欲證明MN為。。的切線，只要證明0MLMN.

32

(2)連接。M,CE,分別求出BD=5,BE=y,根據(jù)ED=BE—求解即可.

【詳解】(1)證明：連接,

0C=0M,

:./0CM=/0MC.

在Rf.ABC中，CO是斜邊AB上的中線，

；.CD=LAB=BD,

2

：.ZDCB=ZDBC,

:.NOMC=NDBC,

:.OM//BD,

MN±BD,：.MNYOM,

:.MN是。的切線.

(2)連接￡)M,CE,易知OM，BC,CE_LA3,

由(1)可知BO=C￡>=5,故M為8c的中點，

,?3

sin?=-,

5

4

cosB=一，

5

在RtABMD中,BM=BDcosB=4,

:.BC=2BM=8.

32

在Rt二CEB中，BE—BC-cosB->

327

：.ED=BE-BD=---5=-.

55

【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識；熟練掌握切線的判定定

理是解題的關鍵.

22.2020年新冠肺炎疫情期間，部分藥店趁機將口罩漲價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)某藥店某月（按30天計）前5天的

某型號口罩銷售價格夕（元/只）和銷量夕（只）與第x天的關系如下表：

第X天12345

銷售價格〃（元/只）23456

銷量q（只）7075808590

物價部門發(fā)現(xiàn)這種亂象后，統(tǒng)一規(guī)定各藥店該型號口罩的銷售價格不得高于1元/只，該藥店從第6天起將

該型號口罩的價格調(diào)整為i元/只.據(jù)統(tǒng)計，該藥店從第6天起銷量g（只）與第x天的關系為

4=一2》2+80》一200（6<x<30,且尤為整數(shù)），已知該型號口罩的進貨價格為0.5元/只.

（1）亶號號號該藥店該月前5天的銷售價格P與x和銷量4與x之間的函數(shù)關系式；

（2）求該藥店該月銷售該型號口罩獲得的利潤W（元）與x的函數(shù)關系式，并判斷第幾天的利潤最大；

（3）物價部門為了進一步加強市場整頓，對此藥店在這個月銷售該型號口罩的過程中獲得的正常利潤之外

的非法所得部分處以加倍的罰款，若罰款金額不低于2000元，則加的取值范圍為.

【答案】（1），=x+l,且x為整數(shù)，q=5x+65,且x為整數(shù)；（2）

5X2+—X+—,掇!k5且x為整數(shù)小「一口」8

W22,第5天時利潤最大；（3）m...-.

-x2+40x-100,6M30且%為整數(shù)5

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，p是x的一次函數(shù)，q是x的一次函數(shù)，分別求出解析式即可；

（2）根據(jù)題意，求出利潤w與x的關系式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出利潤的最大值.

（3）先求出前5天多賺的利潤，然后列出不等式，即可求出m的取值范圍.

【詳解】（1）觀察表格發(fā)現(xiàn)p是x的一次函數(shù)，q是x的一次函數(shù)，

設p=kix+bi,

2=左1+々

將x=l,p=2；x=2,p=3分別代入得：<

3=2Z[+b]

解得：〈

所以p=x+l,

經(jīng)驗證p=x+l符合題意,

所以〃=x+l,且X為整數(shù);

設q=k2x+b2,

70=k?+b?

將x=l,q=70；x=2,q=75分別代入得：v

75=2k2+b2

k=5

解得：〈2

=65

所以q=5x+65,

經(jīng)驗證q=5x+65符合題意，

所以4=5X+65,且x為整數(shù);

(2)當1WXW5且x為整數(shù)時，

W=(x+1—0.5)(5x+65)

13565

=5x2+---x-\---

22

當6WxW30且x為整數(shù)時，

2

W=(1-0.5)(-2x+80%-200)=*+40x-100；

「,13565

5xH---XH---,啜k5且x為整數(shù)

即有W=<22

—x^+40x—100,6別：30且x為整數(shù)

當KW5且x為整數(shù)時，售價，銷量均隨x的增大而增大,

故當x=5時，W最大=495（元）

當6WxK30且x為整數(shù)時，W=-/+40x-100=-(x—20)2+300

故當x=20時，%大=300(元)；

由495>300,可知第5天時利潤最大.

(3)根據(jù)題意，

前5天的銷售數(shù)量為：4=70+75+80+85+90=400(只)，

...前5天多賺的利潤為:

W=(2x70+3x75+4x80+5x85+6x90)-1x400=1650-400=1250(元),

A1250m>2(XX).

.8

??機…一；

5

Q

...用的取值范圍為九

【點睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應用，一次函數(shù)的應用，不等式的應用，也考查了二次函數(shù)的基本

性質(zhì)，另外將實際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題.

23.勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》

中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖

1）后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（1）①請敘述勾股定理；

②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定

理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）

圖3

6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三

個圖形中面積關系滿足5,+S2=/的有個;

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別

為5，邑，直角三角形面積為邑，請判斷耳，S2,S3的關系并證明:

S3

圖7

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復

這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹’'的某部分圖形中，設大正方形M的

邊長為定值〃？，四個小正方形A，B,C,。的邊長分別為b，c,d,已知Nl=N2=N3=Na,

則當Na變化時，回答下列問題：（結(jié)果可用含加的式子表示）

@a2+b2+c2+d2=

【答案】（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為。力，斜邊為c,那么（或者：在直角三

角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）；②證明見解析；（2）①3,②結(jié)論S+S?=§3；（3）①/，

@b=c,a+d=m.

【解析】

【分析】

（1）①根據(jù)所學的知識，寫出勾股定理的內(nèi)容即可；

②根據(jù)題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；

（2）①根據(jù)題意，設直角三角形的三邊分別為a、b、c,利用面積相等的方法，分別求出面積的關系，即

可得到答案；

②利用三角形的面積加上兩個小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；

（3）①由（1）（2）中的結(jié)論，結(jié)合勾股定理的應用可知，a2+b2+c2+d2

②由Nl=N2=N3=Na,則sinl=sin2=sin3=sina,同理可得cosl=cos2=cos3=cosa,利用

解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案.

【詳解】解：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為。力，斜邊為c,那么。2+〃=/.

（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）

②證明：

在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即c?--ab-4+（b-a）2,

2

化簡得02+6=。2

在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即(a+b)2=c2+ga0,4,化簡得

在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和.

111,

即一(tz+b)(a+b)=—cib,24—c~,化簡/+=c?.

222

(2)①根據(jù)題意，則如下圖所示：

在圖4中，直角三角形的邊長分別為a、b、c,則

由勾股定理，得〃+b2=c2,

￡+S2=S3；

在圖5中，三個扇形的直徑分別為a、b、c,則

41

-22211

萬

--=-乃QS=g%.（―）=[71b,S3=g7.（]）2="兀C,

2-2)82

1

8-

Q2+2

在圖6中，等邊三角形的邊長分別為a、b、c,則

122

5.=—asin60°=^-?>S2=—b~sin600=^-b~>5,=—c~sin60°=c>

124224324

???￡+$2=￥（〃+/）,cr+lr=c2，

?/212、V32

----（〃-+。~）=——C-

4------4

/.S]+S2=S3；

...滿足E+S2=S3的有3個,

故答案為：3；

②結(jié)論5,+52=53；

abI+S3亨回

S,+S=-^I+%

22JJ

.*.S]+S,=&7（。2+_c~）+S3

a2+h2=c2，

<S|+S?=S3；

(3)①如圖9,正方形A、B、C、D、E、F、M中，對應的邊長分別為a、b、c、d、e、f、m,則有

圖9

由（1）（2）中的結(jié)論可知，面積的關系為：A+B=E,C+D=F,E+F=M,

a2+b2-e2-c2+d2=f2,e2+f2=m2,

a2+b2+c2+d2=m2

故答案為：”/；

②；Nl=N2=N3=Na,

sin1=sin2=sin3=sina,cos1=cos2=cos3=cosa,

由解直角三角形和正方形的性質(zhì)，則

e=m*cosAa,Z?=e*sinNa,

/?=m?cosZa*sinNa；

同理：c=7〃?sinNa?cosNa；

a=m?cosZ.a?cosZ.a；

d=m?sinZa*sinNa；

b=c,

a+d-m?（cos2a+sin2a）,

cos2a+sin2a=1>

?*-a+d=m.

故答案為：b=c；a+d=m.

【點睛】本題考查了求扇形的面積，解直角三角形，勾股定理的證明，以及正方形的性質(zhì)，解題的關鍵是

掌握勾股定理的應用，注意歸納推理等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、歸納總結(jié)能力，是

中檔題.

24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ar2+必:+1的對稱軸為直線》二萬，其圖象與x軸交于點A和

點8（4,0）,與>軸交于點C.

（1）直接寫出拋物線的解析式和NC4O的度數(shù)；

（2）動點M，N同時從A點出發(fā)，點M以每秒3個單位的速度在線段A3上運動，點N以每秒收個

單位的速度在線段AC上運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設運動的時間為

f（f>0）秒，連接MN,再將線段MN繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°，設點N落在點。的位置，若點。恰好落

在拋物線上，求，的值及此時點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，設p為拋物線上一動點，。為y軸上一動點，當以點c,p,。為頂點的三角形

與△MDB相似時，請直按與出點尸及其對應的點。的坐標.（每寫出一組正確的結(jié)果得1分，至多得4分）

133（3、

【答案】（1）y=--x2+-x+i,NC4O=45°；（2）t=一，。點坐標為；（3）

444V2J

小3一小C3，一I53I）；p3k3

2222吟;

1151)

-Q9-)

4用割可。「第借溪”。，-翳）

片借卷”[。卷｝%信卷）e（0瑞.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸以及點B坐標可求出拋物線表達式：

（2）過點N作NE_LAB于E,過點。作。FJ_A3于F,證明&V￡M段，得到

NE=MF,EM=DF,從而得到點D坐標，代入拋物線表達式，求出t值即可；

13

（3）設點P（m,--rrT+-m+\）,當點P在y軸右側(cè)，點Q在y軸正半軸，過點P作PRLy軸于點R,

44

CPPR

過點D作DS，x軸于點S,根據(jù)△CPQs△MDB,得到礪=而，從而求出m值,再證明△CPQs/\MDB,

求出CQ長度，從而得到點Q坐標，同理可求出其余點P和點Q坐標.

3

【詳解】解：（1）??,拋物線了=0^+"+1的對稱軸為直線苫=],

,h3

??----=—，貝ijb=-3a,

2a2

???拋物線經(jīng)過點B（4,0）,

：.\6a+4b+1=0,將b=-3a代入，

13

解得：a=--，b=—,

44

13

拋物線的解析式為：y=—x2+-x+1,

44

令y=0,解得：x=4或-1,

令x=0,則y=L

/.A（-1,0）,C（0,1）,

?/co1

..tanZCAO=---=1,

AO

/.440=45。；

(2)由(1)易知4(-1,0),

過點N作NE_LAB于E,過點。作加'_LA8于凡

；/DMN=90。，

ZNME+ZDMF=90°,又ZNME+ZENM=90°,

/DMF=NENM,

NM=DM,ZDMN=90°,

QNEM”MFD(AAS),

:.NE=MF,EM=DF,

由題意得：Z.CA0—45°,AN--J2t>AM-3t.

AE=CE=t,EM=AM-AE=2t,

：.DF=2t,MF=t,OF=4t-\,

.-.Z)(4r-l,2r),

!-(4r-l)2+-(4r-l)+l=2r,又/>0,

44

3

故可解得：t=—或0(舍)，

4

3

經(jīng)檢驗，當1二一時，點M,N均未到達終點，符合題意,

4

此時。點坐標為（2,g

(3)由(2)可知：D(2,g],t=3時，M(-,0),B(4,0),C(0,1),

I2；44

13

設點P(m,——m"9+一加+1),

44

如圖，當點P在y軸右側(cè)，點Q在y軸正半軸，

過點P作PR±y軸于點R,過點D作DS，x軸于點S,

3

則PR=m,DS=—,

2

若^CPQs/XMDB,

.CPPR.CP2