2024屆貴州省貴陽市一中高三上學期適應性月考（五）數(shù)學試題及答案

數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時120分鐘.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合M，Nx|x22x3xN*，則MN中的元素個數(shù)為（C.5D.6，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.3B.42i3i2.已知復數(shù)zA.第一象限）B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知平面向量a，b均為單位向量，且它們的夾角為，則ab（）6A.7B.3C.3D.14.自1972年慕尼黑奧運會將射箭運動重新列入奧運會項目以來，這項運動逐漸受到越來越多年輕人的喜愛.已2知甲、乙兩位射箭運動員射中10環(huán)的概率均為，且甲、乙兩人射箭的結(jié)果互不影響，若兩人各射箭一3次，則甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為（）2311123489A.B.C.D.5.秦九韶（1208年~1268.南宋著名數(shù)學家，與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學四大家.1247正根的數(shù)值求法）是有世界意義的重要貢獻.設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2222b1ac面積為S，秦九韶提出的“三斜求積術”公式為Sa42c2，若2a2sinC2sinA，2acB6，則由“三斜求積術”公式可得△ABC的面積為（）312A.3B.C.D.126.中國古代建筑具有悠久的歷史傳統(tǒng)和光輝的成就，這些古建筑除了歷史背景方面的研究價值外，還有著幾何結(jié)構(gòu)的研究意義.例如古建筑屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)形式就分為：圓錐形、三角錐形、四角錐形、八角錐形等，已知某古建筑的屋頂可近似看作一個圓錐，其母線長5m，底面的半徑為，則該屋頂?shù)捏w積約為（B.mC.mD.m）A.m33334123*7.已知等比數(shù)列a中所有項均為正數(shù)，a20222a，若aaa,nN，則的最n20232021mnmn小值為（）3547698A.B.C.D.2x22y228.已知直線l過雙曲線E:ab0)的左焦點F，且與雙曲線的左支交于B，C兩點，并滿ab足CB4FB，點A與點B關于原點對稱，若AFBF，則雙曲線E的離心率e（）55102103A.B.C.D.23二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）a19.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關于直線x2對稱，當x[0,2]時，f(x)1，則x21（）A.a2B.a1C.f(48)f(f(27)D.f(f(48)f(27)10.已知圓C:x2y4上的兩個動點A，B始終滿足|AB4，直線l:x1與x軸交于點M2（M，A，B）A.直線l與圓C恒有交點B.AM03C.△ABM的面積的最大值為D.l被圓C截得的弦長最小值為23211.已知正方體ABCDABCD的棱長為1，點E，M分別為線段AD，AC的中點，點N滿足111111BNBC(，點H為棱AA（包含端點）上的動點，則下列說法正確的是（）1111A.平面截正方體得到的截面多邊形是矩形B.二面角DABC的大小為113C.存在，使得平面平面AB1C23D.若CH平面，則直線CD與平面所成角的正弦值的取值范圍為,32xx12.已知函數(shù)f(x)的圖象與直線yk(kR)有三個交點，記三個交點的橫坐標分別為xxxx，x，x，且xxx，則下列說法正確的是（）123123A.存在實數(shù)k，使得11B.3e3C.k22111e221e331eD.為定值三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）10213.x的二項展開式中，x4項的系數(shù)為______.x14.“圓錐容球”是指圓錐形容器里放了一個球，且球與圓錐的側(cè)面及底面均相切（即圓錐的內(nèi)切球）.已知某圓錐形容器的母線與底面所成的角為60，底面半徑為2，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為______.（容器壁的厚度忽略不計）15.《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑，已知“鱉臑”PABC中，PA平面ABC，PAAB，ABC，ABBC6，則“鱉臑”PABC外接球體積的最小值為______.216.已知平面向量a，b，c，d滿足：|a|b2，ab，ctabt，|cd2，設向量dnb（m，nmn的取值范圍為______.四、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）31f(x)2xsinx0)的最小正周期為.已知函數(shù)22（1）求的值，并寫出f(x)的對稱軸方程；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)BbC，求函數(shù)f()的取值范圍.18.（本小題滿分12分）a已知數(shù)列n為等差數(shù)列，55330，且a8.2n（1）求n；1（2）記S為數(shù)列的前n項和，求S.nnn19.（本小題滿分12分）某校高三年級嘟嘟老師準備利用高中數(shù)學知識對甲、乙、丙三名學生在即將到來的全省適應性考試成績進行預測，為此，他收集了三位同學近三個月的數(shù)學月考、周測成績（滿分150100分則稱為“破百”.甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；丙：92，102，97，105，89，94，92，97.假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三名同學的考試成績相互獨立.（1）分別估計甲、乙、丙三名同學“破百”的概率；（2）設這甲、乙、丙三名同學在這次決賽上“破百”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E(X).20.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABCABC中，ABAC，ABC60，D為BC的中點，平面BBCC平面11111ABC.（1）證明：AB//平面ACD；11277（2）若ABCC2，二面角CADC的余弦值為，求平面ACD與平面ABBA夾角的余弦1111111值.21.（本小題滿分12分）x22y221已知橢圓C:ab的左焦點為F，上頂點為A，離心率為，且|AF2.ab2（1）求橢圓C的標準方程；（2）若過F且斜率為k(k0)的直線l與橢圓C交于D，E兩點，橢圓C的左、右頂點分別為A，A，12證明：直線AD與AE的交點在定直線上.1222.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)2sinxsinax1，x.2（1）若a2，求函數(shù)g(x)f(x)1的值域；f(x)sinx1（2）是否存在正整數(shù)a，使得3cosx恒成立？若存在，求出正整數(shù)a的取值集合；若不x存在，請說明理由.貴陽第一中學2024屆高考適應性月考卷（五）數(shù)學參考答案一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）題號答案12345678CDDDBAAC【解析】Nx|1xxNMN2,3,5,，共5個元素，故選C.*2i(2i)(3i)113ii)(3i)2211222.因為zi，則在復平面內(nèi)對應的點,位于第四象限，故選D.3|ab|2a22abb212331，所以|ab1，故選D.3.224.記“甲射中10環(huán)”為事件A“乙射中10環(huán)”為事件B，P()P(B)，甲、乙兩人中至少有一人322射中10環(huán)的概率為：P1P(AB)1P(A)P(B)111，故選D.3389，由題意得a2c2b262ac2，故a2sinC2sinA得a2c2a，ac25.由22222b1ac123Sa2c24，故選B.424226.如圖所示為該圓錐軸截面，由題知該圓錐的底面半徑為，高為5234m，所以該屋頂?shù)捏w積約為2134m3，故選A.2327.設a的公比為q，則aq211q，n1因為10，所以q2q20，解得q2或1aaa2m1a2n1a212mn21612，mn1141141故mn24，即mn6，(mn)mn6mn164nmn164nm324152，mmn4nm當且僅當，即m4，n2時，等號成立，mn413故的最小值等于，故選A.mn28.設雙曲線的右焦點為F，連接AF，AF，BF，111又因為AFBF，所以四邊形AF1BF為矩形，設|BF|t，則|CFt，由雙曲線的定義可得：12at，CF12at，又因為CBF1為直角三角形，所以212CF2，1|BC|BF即(4t)2(2at)(2at)2，解得ta，所以BF1a，|BFa，2又因為△BFF為直角三角形，F(xiàn)F2c，所以|BF|2BF2FF2，1111c225c10即：a29a24c2，所以，即e，故選C.a2a2二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）題號答案9101112BDABDACDBCD【解析】9.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則f(0)0，即f(0)1a0，解得a1，B正確；A錯誤；11又因為f(x4)f(x)0，即f(xf(x4)f(x)，從而周期為8，f(f(f，f(48)f(0)，f(27)f(f.22xx111因為當0x2時，f(x)，所以f，3113從而f(f，f(48)0，f(27)，3所以f(f(48)f(27)，D正確；C錯誤，故選BD.10.直線l:x1與軸交于點，xMM0)C:xy422內(nèi)部，所以與恒有公共點，A正確；lC，且在圓M因為點M在圓C:x2y24內(nèi)部，為鈍角，故AMMB0，B正確；1M到AB的最大距離，即到圓心的距離為1S412，故C錯誤；2l被C截得的弦的長度的最小時，圓心到直線的距離最大，且此距離為M到圓心的距離為1，故弦長為2211.由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標系，2123，故D正確，故選ABD.2則D(0,0)，B0)，C0)，0)，D(0,，C，B，111設Hh)，其中0h1，對于A：連接AD，BC，BC，則ADADE，11111由正方體的性質(zhì)可得點E是側(cè)面A的中心，點M是正方體的中心，11所以連接EM并延長交側(cè)面BCCB于點P，則點P是側(cè)面BCCB的中心，且PE//AB.1111設平面EPN交AD于點F，交AD于點G，交BC于點I，連接NF，，11因為平面ABCD//平面ABCD，所以//NF，NF.1111因為PE//AB，AB平面ABCD，所以PE//平面ABCD，又平面ABCD，所以PE//，所以AB//，易知AB，所以，所以平面截正方體得到的截面多邊形NFGI是矩形，故A正確；對于B：AB，AD(，AC(0)，11mAB0yz0xz0設平面ABD的法向量為m(x,y,z)，則1，即，11mAD01取z1，則x1，y1，故m.nAB0bc0ab0設平面ABC的法向量為n(a,b,c)，則1，即，1nAC0cosm,n113取b1，則a1，c1，故n，故，3311而二面角DC為銳二面角，故其余弦值為，不為，1132故二面角DC的平面角不是，故B錯誤.113對于C：因為點M是正方體的中心，所以D，M，B三點共線，所以平面ADM即為平面ABCD，1111因為BC，ABBC，ABBCB，AB，BC平面ABCD，1111111所以BC平面ABCD，又BC平面ABC，所以平面ABC平面ABCD，11111111即平面ABC平面ADM，當1時，點N與點C重合，111平面即為平面ABCD，由此可知平面ABC平面ABCD，11111即平面ABC平面，故C正確；對于D：設直線CD與平面所成的角為.CHh)因為CH平面，故為平面的法向量，11而0)，故sin|cosDC,CH，h22h22213而h，,，故D正確，故選ACD.32h22elnxxelnx1elnxx12.由方程k0，可得k0.xelnxxx1elnx1t12ktk10.令t，則有txk0，即tx1x令函數(shù)g(x)，則g(x)e，xx2令g(x)0，解得0xe，令g(x)0，解得xe，所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,)上單調(diào)遞減，elne所以g(x)g(e)1，作出圖象如圖所示，eelnxx要使關于x的方程k0有三個不相等的實數(shù)解x，x，x，且xxx，123123xelnxx結(jié)合圖象可得關于t的方程t2ktk10一定有兩個實根t，t，12且t0，0t1或t1，0t1，1212令gt)tktk1，若t0，0t1，212g(0)32則g故1k.k2k32g32若t1，0t1，則g(0)無解，綜上k，故C正確；12k22k3由圖結(jié)合單調(diào)性可知3e，故B正確；3k若fk1k0，則k1，又，故A不正確；22222111221331t1t1t1t1t112212eeeeeeeeeeeee2t1t1eeee111111112tt12tt(k(k，故D正確，故選222e212e2e2e2eeeBCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）題號答0,9603【解析】10r2213.x的二項展開式的通項公式為Tr1Cr10x10rrC210r102r，xxx令2r4，得r3，所以x4項的系數(shù)為C3102960.314.作圓錐的軸截面圖，如圖，由圖，母線PA與底面所成的角為△PAB為等邊三角形，AO2，所以POAOtan6023，所以在正△PAB中，30，設內(nèi)切球球心為，則在PO上，且OCR，23在△C中，C2R，所以2R23R，解得R，316所以外接球表面積SR2.315.根據(jù)題意三棱錐PABC可以補成分別以BC，AB，PA為長、寬、高的長方體，如圖，其中PC為長方體的對角線，則三棱錐PABC的外接球球心即為PC的中點，要使三棱錐PABC的外接球的體積最小，則PC最小.設ABx，則PAx，6x，|PCAB2PA2BC2x2)24，2所以當x2時，|26，則有三棱錐PABC的外接球的球半徑最小為6，4所以R38.316.如圖所示建立坐標系，以A為坐標原點，邊長為2的正方形ABCD的AB，AD所在直線為x軸、y軸，設ABb，ADa，Q為線段BC上一點，則AQc，|cd2以Q為圓心，2為半徑畫圓，點P為圓上一點，設P(x,y)，AB(2,0)，AD(0,2)APmABnAD(2m,2n)，11所以x2m，y2n，所以zmnxy，所以yx2z，22它表示斜率為1，縱截距為2z的直線，當圓心為點B時，AP與B相切且點P在x軸的下方時，11P，此時mn0，取得最小值；2233當圓心為點C時，AP經(jīng)過圓心時，P，此時mn3，取得最大值，22mn的取值范圍為[0,3].四、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）311cos2x312f(x)2xsinxsinx1）2222316sinx2xsinx.221126T，故f(x)sinx，4令1xk，kZ，解得x2k，kZ，2623故對稱軸方程為：x2k，kZ.3（2）由(2ac)BbC得(2sinAsinC)BsinB，2sinABsinBCBsinCsin(BC)sinA.1sinA0B，B，B(0,)23126Af()sinA，0A，362621A2612sin1f(),1.218.（本小題滿分12分）a1）因為數(shù)列n為等差數(shù)列，naaa5523235d所以，，為該數(shù)列第、、項，并設公差為，23a3352d15因為aa，且a8，所以，解得：，532a3a2241anaa11所以n的通項公式為：n(nd3(n1n2，nnn即n2，所以an(n.n11111（2）由（1）可得：nn(n，所以a，n(n2)nn22n11111111所以Sn，即S，n132435n(n2)123an1111132435111，所以S1nnn223整理得：S111，n2n1n2213111所以數(shù)列的前n項和為：S.n2n1n22an19.（本小題滿分12分）1）甲同學“破百”的概率為P()21，10551乙同學“破百”的概率為P(B)丙同學“破百”的概率為PC)，12.4（2）X的可能取值為0，1，2，3，則：111524103P(X0)111，11111111119P(X111111，524524524401111111115245245241P(X2)111，5111P(X，524401所以X的分布列為XP012153131919401940311所以，期望E(X)0123.10405402020.（本小題滿分12分）（1）證明：如圖，連接AC與AC相交于點E，連接ED，11三棱柱ABCABC中，側(cè)面ACCA是平行四邊形，11111則E為AC的中點，又D為BC的中點，有AB//ED，11AB平面ACD，ED平面ACD，111所以AB//平面ACD.11（2）解：平面BBCC平面ABC，平面BBCC平面ABCBC，1111底面ABC為正三角形，D為BC的中點，則ADBC，AD平面ABC，則AD平面BBCC，11CD，CD平面BBCC，CDAD，CDAD，111127則二面角CADC的平面角為C，有余弦值為C，11171中，由余弦定理121D2CD2CDCDC，1147即41D21CD，解得CD7，117過1作直線BC的垂線，垂足為F，277則CDC72，故F在BC的延長線上，11CFCD22743，11BC//，BC，CFBC，四邊形B為矩形，則BDBC，11111111以D為原點，，，DB1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0)，3,，B(0)，B(0,3)，1C(2,3)，3,0)，(2,3)，11n3y0設平面ACD的一個法向量為n(x,y,z)，則有，1n2x3z01令x3，則y0，z2，即n(3,0,2).AB(3,0)，BB3)，1mABab0設平面ABBA的一個法向量為m(a,b,c)，則有，11mBBac01令a3，則b1，c1，即m(3,，nm32357平面ACD與平面ABBA夾角的余弦值為.11175|n||m|21.（本小題滿分12分）（1）解：依題意可得：ec12.a又|AFb2c2a2，a2cb2，故b3，c1，2x2y2所以橢圓C的標準方程為1.43（2）證明：由（1）得F(0)，所以直線的方程為yk(xk，lyk(x可得34kx8kx4k120，2222由x22y1432設Dx,y，Ex,y，顯然0，1128k264k21215所以xx2，xx1，12221234k22334k4k34k5故12.xx41221由（1