2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第1章集合常用邏輯用語不等式第2講常用邏輯用語課件

第二講常用邏輯用語知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點(diǎn)一充分條件、必要條件與充要條件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要知識點(diǎn)二全稱量詞與存在量詞1．命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以__________的陳述句叫做命題．2．全稱量詞命題與存在量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“____”表示．含有____________的命題，叫做全稱量詞命題．(2)短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“____”表示．含有___________的命題，叫做存在量詞命題．判斷真假?全稱量詞?存在量詞3．全稱量詞命題和存在量詞命題的否定量詞命題量詞命題的否定結(jié)論?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)存在量詞命題的否定是__________命題?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)全稱量詞命題的否定是__________命題全稱量詞存在量詞歸

納

拓

展1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若A

B，則p是q的充分不必要條件；(5)若A

B，則p是q的必要不充分條件；(6)若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．2．充分條件與必要條件的兩個(gè)特征：(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”．(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．注意：不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時(shí)，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題．3．含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．4．對省略了全稱量詞的命題否定時(shí)，要對原命題先加上全稱量詞再對其否定．5．命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可判斷此命題的否定的真假．××××√AC3．(必修1P22習(xí)題T2改編)“a>b”是“ac2>bc2”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件[解析]

當(dāng)a>b時(shí)，若c2＝0，則ac2＝bc2，所以a>b

ac2>bc2，當(dāng)ac2>bc2時(shí)，c2≠0，則a>b，所以ac2>bc2?a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件．B4．(必修1P23T5改編)使－2<x<2成立的一個(gè)充分條件是(

)A．x<2 B．0<x<2C．－2≤x≤2 D．x>0B題組三走向高考5．(2023·天津，2,5分)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件[解析]由a2＝b2得|a|＝|b|；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，∴a＝b.a＝b?|a|＝|b|，而由|a|＝|b|不能推出a＝b.∴“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件，故選B.B6．(2023·全國甲理，7,5分)設(shè)甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則(

)A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B[解析]

充分性：當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時(shí)，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cos2β，∴sinα＝±cosβ，即sinα＋cosβ＝0或sinα－cosβ＝0，所以充分性不成立；必要性：當(dāng)sinα＋cosβ＝0時(shí)，sin2α＝cos2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以必要性成立．∴甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選B.7．(2016·浙江)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(

)A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2[解析]

根據(jù)含有量詞的命題的否定的概念可知，選D.

D考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究全稱量詞命題與存在量詞命題——自主練透1.(多選題)下列命題的否定中，是真命題的有()A．某些平行四邊形是菱形B．?x∈R，x2－3x＋3<0C．?x∈R，|x|＋x2≥0D．?x∈R，x2－ax＋1＝0有實(shí)數(shù)解BD[解析]

根據(jù)原命題和它的否定真假相反的法則判斷，即可求解．對于A，某些平行四邊形是菱形，是真命題；對于B，Δ＝9－12＝－3<0，則原命題是假命題；對于C，?x∈R，|x|＋x2≥0，是真命題；對于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2時(shí)，x2－ax＋1＝0有實(shí)數(shù)解，是假命題；根據(jù)原命題和它的否定真假相反的法則判斷，選項(xiàng)BD中，原命題的否定是真命題．故選BD.2．(2023·武漢模擬)命題“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(

)A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0D．?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0[解析]

含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”，所以，命題“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0”，故選C.C3．(多選題)下列存在量詞命題中，為真命題的是()A．?x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除C．?x∈R，|x|<0D．有些自然數(shù)是偶數(shù)[解析]

因?yàn)榉匠蘹2－2x－3＝0的兩根為3和－1，所以x∈Z，故A正確；因?yàn)?能同時(shí)被2和3整除，且6∈Z，故B正確；根據(jù)絕對值的意義可得|x|≥0恒成立，不存在x滿足|x|<0，故C錯(cuò)誤；2,4等既是自然數(shù)又是偶數(shù)，故D正確；故選ABD.ABD4．已知命題“?x∈R，ax2－x＋2≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.名師點(diǎn)撥：1．全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對象使命題為真否定為假假存在一個(gè)對象使命題為假否定為真存在量詞命題真存在一個(gè)對象使命題為真否定為假假所有對象使命題為假否定為真2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，若命題中無量詞，則要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進(jìn)行改寫；(2)否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.充分條件與必要條件的判斷——多維探究方法1：定義法判斷1.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則“x＋y>4”是“l(fā)nx＋lny>2ln2”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件BC當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝a1＋2(n－2)d′，∴an－an－1＝a1＋2(n－1)d′－a1－2(n－2)d′＝2d′，∴{an}是以a1為首項(xiàng)，2d′為公差的等差數(shù)列，綜上，甲是乙的充要條件，故選C.B方法3等價(jià)轉(zhuǎn)化法判斷1.給定兩個(gè)條件p，q，若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]

因?yàn)榻恜是q的必要不充分條件，則q?綈p，但綈p

q，其等價(jià)命題為p?綈q，但綈q

p，所以p是綈q的充分不必要條件．A[解析]

解法一(集合法)：設(shè)全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，則A的補(bǔ)集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補(bǔ)集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，顯然C

D，所以B

A，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．解法二(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)：x＝y(tǒng)?cosx＝cosy，而cosx＝cosy

x＝y(tǒng)，故“x＝y(tǒng)”是“cosx＝cosy”的充分不必要條件，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分條件．名師點(diǎn)撥：有關(guān)充要條件的判斷常用的方法1．根據(jù)定義判斷：(1)弄清條件p和結(jié)論q分別是什么；(2)嘗試p?q，q?p.若p?q，則p是q的充分條件；若q?p，則p是q的必要條件；若p?q，q

p，則p是q的充分不必要條件；若p

q，q?p，則p是q的必要不充分條件；若p?q，q?p，則p是q的充要條件．2．利用集合判斷3.利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對于帶有否定性詞語的命題，常用此法，即要判斷p是q的什么條件，只需判斷綈q是綈p的什么條件．記法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}關(guān)系A(chǔ)

BB

AA＝BA?B且B?A結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件【變式訓(xùn)練】1．設(shè)a，b∈R，則“a3>b3”是“a2>b2”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]

取特值并根據(jù)充分條件和必要條件的定義可得答案．當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，a3>b3不能推出a2>b2，當(dāng)a＝－1，b＝0時(shí)，a2>b2不能推出a3>b3，所以“a3>b3”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件．故選D.DB[解析]

選項(xiàng)A，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函數(shù)，f(－x)＝f(x)?x2－(1－a2)(－x)＋3＝x2－(1－a2)x＋3?1－a2＝0，可得a＝±1，故P是Q的充分不必要條件；選項(xiàng)B，在△ABC中，△ABC是等邊三角形，可得sinA＝sinB＝sinC，當(dāng)sinA＝sinB＝sinC時(shí)，因?yàn)锳，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，所以有A＝B＝C，△ABC是等邊三角形，所以P和Q互為充要條件；充分、必要條件的應(yīng)用——師生共研(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍是_________.(2)在(1)中若把條件“若x∈P是x∈S的必要條件”改為“若x∈P是x∈S的必要不充分條件”，則m的取值范圍是__________.[0,3][0,3]名師點(diǎn)撥：本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題化歸為簡單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題時(shí)，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要條件，則實(shí)數(shù)a的值為______.2．已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一個(gè)充分不必要條件，求m的取值范圍．1名師講壇·素養(yǎng)提升一、抽象命題間充要條件的判定

已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件