-0302-函數(shù)單調(diào)性與極值、最值課件

第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值三、函數(shù)的最大值和最小值如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)增加，則它的圖形是隨x的增大而上升的曲線.如果所給曲線上每點(diǎn)處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非負(fù)，即.如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)減少，則它的圖形是隨x的增大而下降的曲線.如果所給曲線上每點(diǎn)處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非正，即.一、函數(shù)的單調(diào)性定理１

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).則有(1)如果在(a,b)內(nèi)，那么，函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.(2)如果在(a,b)內(nèi)，那么，函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.例1解在(－2,1)內(nèi)所給的函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)減少.由此可知，在及內(nèi)，所給函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加，例2解例3解為了研究函數(shù)的單調(diào)性，我們只關(guān)心在上述四個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，這三個(gè)點(diǎn)x=－1，0，1將y的定義域分為四個(gè)子區(qū)間.表中第一欄由小至大標(biāo)出函數(shù)的定義域被三個(gè)特殊點(diǎn)劃分的四個(gè)區(qū)間.第二欄標(biāo)出在各子區(qū)間內(nèi)的符號(hào).第三欄為函數(shù)的增減性.如本例可列表：x－１01－0+不存在－0+y可知所給函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加區(qū)間為.嚴(yán)格單調(diào)減少區(qū)間為.如果F(x)滿足下面的條件：F(x)=f(x)－g(x)往往可以利用單調(diào)性證明不等式.其基本方法是：例4解在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的最大、最小、最遠(yuǎn)、最近、最好、最優(yōu)等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上?？梢詺w結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問題，這里統(tǒng)稱為最值問題.本節(jié)將介紹函數(shù)的極值問題與最值問題.

二、函數(shù)的極值定義１設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有

(1)成立，則稱為f(x)的極大值，稱為f(x)的極大值點(diǎn)；(2)成立，則稱為f(x)的極小值，稱為f(x)的極小值點(diǎn).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).定理２(極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0為f(x)的極值點(diǎn)，則注意：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn).但是需要注意，函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).例如為其駐點(diǎn)，但是x=0不是的極值點(diǎn).還要指出，有些函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是其極值點(diǎn).由上述可知，欲求函數(shù)的極值點(diǎn)，先要求出其駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，然后再用下面的充分條件判別:定理３(判定極值的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)x0可除外).如果在該鄰域內(nèi)如果f(x)在x0的兩側(cè)保持相同符號(hào)，則x0不是f(x)的極值點(diǎn).因此可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).對(duì)于情形(2)也可以進(jìn)行類似分析.分析對(duì)于情形(1)，由函數(shù)單調(diào)性的判別定理可知，當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)減少，(3)判定每個(gè)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)兩側(cè)(在xi較小的鄰域內(nèi))的符號(hào)，依定理３判定xi是否為f(x)的極值點(diǎn).由定理判定函數(shù)極值一般步驟為：令，得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)：x1=–1，x2=2.內(nèi)存在，函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)x1=–1，x2=2把分成三個(gè)子區(qū)間.例1所給函數(shù)的定義域?yàn)?解x–1(–1,2)2+0–0+y極大值極小值–10可知x=0為y的極小值點(diǎn)，極小值為0.例2所給的函數(shù)定義域?yàn)?解非極值極小0y+0+0–1(0,1)0x例3所給的函數(shù)定義域?yàn)?解x–1(–1,0)0(0,1)1–0+不存在–0+y極小值極大值０極小值定理4

(判定極值的第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求，且駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，利用判定極值的第二充分條件判定駐點(diǎn)

是否為極值點(diǎn)比較方便.例4所給的函數(shù)定義域?yàn)?解上述求函數(shù)極值與極值點(diǎn)的方法可總結(jié)為:欲求連續(xù)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，需(1)求出f(x)的定義域.(4)如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)易求，可以利用判定極值第二充分條件判定其是否為極值點(diǎn).(2)求出.在f(x)的定義域內(nèi)求出f(x)的全部駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).(3)判定在上述點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，利用判定極值第一充分條件判定其是否為極值點(diǎn).由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知，如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必定能取得最大值與最小值.如何求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值是本段的基本問題.三、函數(shù)的最大值和最小值求[a,b]上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值的步驟：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)(2)求出f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)比較導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).由上述分析可以看出，最大值與最小值是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的整體性質(zhì)，而極大值與極小值是函數(shù)f(x)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部性質(zhì).例5由于所給函數(shù)為[–1,2]上的連續(xù)函數(shù).解可知f(x)在[0,3]上的最大值點(diǎn)為x=2，最大值為f(2)=1.例6所給函數(shù)為[0,3]上的連續(xù)函數(shù).解最小值點(diǎn)為x=0，最小值為由隱函數(shù)求導(dǎo)法則可以得出過M點(diǎn)的切線斜率例7任取上的點(diǎn)M(x,y)，且x>0，y>0.解因而過M(x,y)的切線方程為可知切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為但是S最小當(dāng)且僅當(dāng)其分母最大.令X=0，得切線在y軸上的截距.令Y=0，得切線在x軸上的截距.而且所求的駐點(diǎn)唯一，因此點(diǎn)為所求最小值點(diǎn)，最小面積為ab.由問題實(shí)際意義知，所圍三角形面積存在最小值，如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)，其駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際意義表明函數(shù)的最大(小)值存在(且不在定義區(qū)間的端點(diǎn)上達(dá)到)，那么所求駐點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn).有必要指出，對(duì)于在實(shí)際的問題中求其最大(小)值，首先應(yīng)該建立目標(biāo)函數(shù).然后求出目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn).如果駐點(diǎn)有多個(gè)，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，只需比較這幾個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.例8欲圍一個(gè)面積為150平方米的矩形場(chǎng)地，所用材料的造價(jià)其正面是每平方米6元，其余三面是